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出版者:

作者:Miller, Julie/ O'Neill, Molly/ Hyde, Nancy

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2009-7

价格:$ 142.95

装帧:

isbn号码:9780077366582

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 二次方程

好的，这是一份关于《高等微积分》（Advanced Calculus）的图书简介，内容详尽，不涉及任何代数中间内容，力求自然流畅。 --- 《高等微积分》（Advanced Calculus）：深入解析极限、连续性与测度的理论基石 导言：超越计算，迈向理论的殿堂 《高等微积分》不仅仅是一本数学工具书，它是一扇通往数学分析核心理论的门户。本书旨在为读者——无论是严谨的数学专业学生、寻求深入理解的物理学家，还是对分析学原理充满热情的工程师——提供一个严密、清晰且富有洞察力的微积分理论基础。 本书深刻理解微积分的本质：它并非仅关乎导数和积分的公式计算，而在于对极限、连续性、收敛性以及无穷序列和级数背后的严格逻辑的深刻把握。我们从最基础的实数系统公理出发，精心构建起整个分析学的宏伟建筑，确保每一步推导都建立在无可指摘的逻辑基础之上。 第一部分：实数系统与拓扑基础 分析学的坚实基石在于对实数集的精确刻画。本书伊始，我们将深入探讨实数系统的完备性公理，这是所有后续收敛性论证的出发点。我们将详尽阐述上确界（Supremum）和下确界（Infimum）的概念，并证明它们的关键性质，这对于理解数列的收敛至关重要。 随后，我们自然过渡到拓扑学基础。虽然本书专注于实数线 $mathbb{R}$，但我们会引入必要的拓扑概念，如开集、闭集、邻域和聚点。特别地，我们将对 $mathbb{R}$ 上的子集进行细致的拓扑分析，讨论紧致性（Compactness）的定义——无论是通过 Heine-Borel 定理还是通过极限点序列的完备性来定义——并展示它在证明中无与伦比的重要性。紧致集上的连续函数性质，例如最大值和最小值定理，将在这一部分得到严谨的证明。 第二部分：极限、连续性与微分的严格定义 经典微积分中的“任意小”和“最终”概念将在本部分得到$varepsilon-delta$ 语言的精确量化。 极限的严谨性： 我们将系统地分析数列的极限，并严格证明极限的唯一性、和、差、积、商的极限性质。随后，我们将把焦点转向函数的极限，详细剖析 $varepsilon-delta$ 定义，并针对不同类型的函数（如多项式、有理函数）进行极限的构造性证明。 连续性： 基于极限的定义，我们将建立函数连续性的严格框架。我们不仅关注点态连续性，还将深入探讨一致连续性（Uniform Continuity）的概念，并解释它与点态连续性的本质区别及其在分析中的实际意义（例如，一致连续函数在紧致区间上的性质）。 导数的重建： 微分概念将从其定义——差商的极限——重新审视。我们将重点讨论中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的严密证明，并阐述它们在函数行为分析中的核心地位。对于高阶可微函数，我们将深入探讨泰勒定理的精确表述及其拉格朗日和佩亚诺余项的性质，这些是理解函数局部行为的强大工具。 第三部分：黎曼积分的理论构建 本部分的核心是将直觉上的“面积”概念转化为严谨的积分定义。我们将引入黎曼可积性的概念，这需要对上和（Upper Sum）与下和（Lower Sum）进行细致的比较。 我们将系统地证明哪些函数类是黎曼可积的： 1. 连续函数在闭区间上是黎曼可积的。 2. 单调函数在闭区间上是黎曼可积的。 3. 一个函数在闭区间上黎曼可积的充要条件是其不连续点的集合测度为零。 此外，本书还将详述微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）的两个部分，从严格的积分定义出发，推导出微分和积分之间的深刻联系。我们将讨论积分的性质，如积分的线性性、保序性，以及更高级的积分的广义定义（如瑕积分）的引入背景。 第四部分：序列与级数的收敛性 分析学的核心挑战之一是处理无穷过程。本部分将建立判断无穷序列和级数收敛性的强大判据。 序列收敛性： 我们将重新审视柯西序列（Cauchy Sequence）的概念，并从完备性的角度阐述柯西序列的收敛性，这直接导出了对 $mathbb{R}$ 的另一种定义方式。 级数收敛性： 对于无穷级数 $sum a_n$，我们将系统地检验各种测试： 比较检验法（Comparison Test） 和 极限比较检验法（Limit Comparison Test）。 比值检验法（Ratio Test） 和 根值检验法（Root Test），及其在幂级数半径确定中的应用。 积分检验法（Integral Test），它将级数收敛问题转化为对无穷积分的分析。 最关键的是，本书将区分条件收敛（Conditional Convergence）和绝对收敛（Absolute Convergence）。我们将详尽证明绝对收敛准则，并探讨黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）的惊人结论，即条件收敛级数的和可以被任意重排。 第五部分：多变量函数的微积分（R^n 空间） 随着对 $mathbb{R}$ 深入理解的巩固，本书将把分析的视角扩展到更高维度 $mathbb{R}^n$。 空间结构： 我们将定义 $mathbb{R}^n$ 上的范数、距离、开闭集和紧致性，并将其拓扑性质推广到多维空间。 偏导数与方向导数： 偏导数的概念被推广为方向导数，这需要对向量导向的微小变化保持清晰的认识。 多元函数的微分： 梯度（Gradient）、Hessian 矩阵（Hessian Matrix）和雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的引入是关键。我们将严格定义全微分（Total Differentiability），并证明它比仅仅存在偏导数更为严格。我们将详述链式法则（Chain Rule）在多变量情况下的精确表述。 多重积分的理论： 本部分将构建Riemman-Stieltjes 积分的推广，即多重黎曼积分。我们将讨论Fubini 定理的条件和应用，该定理允许我们通过迭代积分计算多重积分，并深入探讨其背后的测度论的初步思想。 总结 《高等微积分》提供了一个从基础公理到复杂理论的无缝过渡。本书的重点在于证明的严谨性、概念的清晰度以及理论之间的内在联系。通过系统学习，读者将不仅掌握计算技巧，更将建立起对分析数学逻辑结构的深刻洞察力。

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拿到这本书时，我最直观的感受是其内容的密度极高，翻开任意一页，你会发现图表和符号几乎占据了所有的空间，几乎没有大段的文字叙述来分散注意力。这对于我这种喜欢用视觉辅助来理解抽象概念的人来说，起初确实是个挑战。书中的章节安排很有逻辑性，它遵循着从线性方程到函数、再到多项式和有理表达式的经典路径，但其切入点往往更为锐利和高效。它似乎更侧重于“工具箱”的构建，即如何快速、准确地运用代数工具去解决具体问题。举个例子，在讲解如何将实际问题转化为代数模型时，书中的案例选择非常贴近工程或物理学的实际应用场景，这使得抽象的数学语言有了具象的载体。然而，这种高效也带来了一个小小的副作用——对“直觉培养”的侧重略显不足。我感觉自己像是在学习一种高精度的操作手册，而不是在进行一场思维的漫步。对于那些希望通过反复的、生活化的情景代入来内化数学思维的读者，可能需要不断地将书中的公式反向套用到自己熟悉的生活场景中去验证和巩固，才能真正感受到代数语言的魅力。

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阅读体验上，这本书给我一种非常“硬核”的感觉，它毫不留情地将你推入纯粹的数学逻辑之中。我注意到，与其他代数教材不同的是，它对概念的定义和引理的陈述异常精确和简洁，很少使用比喻或类比来软化数学的棱角。这种风格无疑极大地提高了学习的效率，尤其是在复习和查漏补缺阶段，能够迅速定位到知识点的核心。但对于我这个在学习过程中需要不断与自身认知障碍进行“对话”的人来说，有时候会感到有些“冷”。比如，当我在努力理解某个复杂不等式组的几何意义时，这本书会迅速跳到下一个更复杂的代数技巧上，留给我的反思时间很少。我不得不频繁地使用笔在书页空白处进行大量的草图和推演，否则那些精妙的代数变换很快就会在脑海中消散。它更像是为那些已经具备强大自我驱动力和抽象思维能力的“数字原住民”量身定做的，它提供的是最坚固的骨架，但血肉和温度需要学习者自己去填充。

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这本书在内容广度上做到了令人印象深刻的平衡，它没有像某些教材那样为了追求覆盖面而浅尝辄止，也没有过度深挖到大学微积分的前置知识点。它精准地卡在了“中级代数”的黄金分割点上。我特别欣赏它在处理函数这一核心主题时的处理方式。作者似乎非常清楚函数是如何将代数从一堆孤立的等式提升到关系和映射的层面的。书中的分段函数和复合函数的例子设计得非常巧妙，它们不是孤立的练习题，而是构成了一个逐步递进的思维链条。当我做完这部分的练习后，我对“输入”与“输出”之间的关系有了更清晰的认识。当然，这种清晰度是建立在对之前基础知识的牢固掌握之上的。如果对指数或根式的运算规则不够熟练，那么在进行函数求值或反函数推导时，很容易因为基础的小错误而导致整个推导过程的失败。因此，这本书的有效性很大程度上取决于读者前期积累的熟练度，它不是一本用来“补课”的书，而是一本用来“精进”的宝典。

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从排版和使用体验的角度来看，这本书的设计哲学是极简主义的极致体现。没有花哨的彩色插图，没有鼓励性的口号，一切都围绕着数学符号的清晰呈现。纸张的质感不错，能够很好地承受铅笔的反复涂写而不易洇墨，这对于需要大量演算的学习者来说是一个非常实际的优点。然而，这种极简风格在处理需要空间想象力的内容时，确实暴露出了局限性。例如，在介绍抛物线或椭圆的标准方程及其图形变换时，虽然公式推导无懈可击，但缺乏高质量的动态或三维视图辅助，使得我必须在脑海中进行相当努力的“空间构建”。它更偏向于纯粹的符号操作，而不是一种多感官的学习体验。总的来说，这本书是为那些认为“数学之美在于其简洁的逻辑结构”的读者准备的。它就像一把精心打磨过的手术刀，锋利、精确，但需要使用者有足够稳定的双手和清晰的头脑才能驾驭自如，它不会为你铺设红毯，只会给你最锋利的工具。

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这本书的封面设计得非常朴实，几乎没有多余的装饰，这让我对它的内容抱持着一种既期待又略带谨慎的心态。拿到书的时候，首先映入眼帘的是大量的例题和练习题，这无疑是给那些渴望通过“实战”来巩固知识点的学习者准备的“大餐”。我花了几天时间浏览了前几章，发现作者在讲解基本概念时，措辞相当精炼，几乎没有冗余的叙述，直奔主题。对于初次接触代数，尤其是对变量和方程概念感到模糊的读者来说，这种直接可能需要一些适应期。我个人更倾向于循序渐进的引导，但这本书似乎默认读者已经具备了一定的数学基础，或者说，它更像是一本为已经掌握了基础算术，正准备向更深层次逻辑推理迈进的学生的“加速器”。例如，在处理二次方程的解法时，它并没有过多地渲染公式的推导过程，而是直接给出了高效的求解策略，这对于时间紧张的备考学生来说无疑是福音，但对于希望深入理解“为什么”的探索型学习者而言，可能会感到信息量有些过载，需要自己去查阅更多的背景资料来填补理论上的空白。整体而言，这套书的结构严谨，但对于新手可能需要一位经验丰富的导师在旁协助，才能充分发挥其效用。

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