Exam Notes Introductory Algebra St pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Staff Of Rea

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页数:0

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出版时间:1997-3

价格:$ 3.33

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isbn号码:9780878917310

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深入探索高等数学的殿堂：一本超越基础代数的学术之旅 图书名称： 高等代数与抽象结构解析 导言： 本书旨在带领读者跨越初等代数的范畴，进入一个更加抽象、结构化的数学世界——高等代数。如果说《Exam Notes Introductory Algebra St》为我们奠定了扎实的数域和基本运算基础，那么本书则着重于揭示隐藏在这些表象之下的深刻数学结构和逻辑体系。我们聚焦于代数系统、向量空间、线性变换、特征值理论以及更高级的环、域与模的理论，旨在培养读者严谨的数学思维和对抽象概念的深刻理解。本书的编写理念在于，通过详尽的理论阐述、精妙的例证分析以及富有挑战性的习题设计，使读者能够熟练掌握现代代数的核心工具，并为后续的拓扑学、泛函分析乃至理论物理学研究打下坚实的理论基础。 第一部分：线性代数：向量空间的深化与扩展 第一章：数域与向量空间的严谨定义 本章首先对有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 以及更一般的域（Field）进行复习和形式化定义。重点在于域的完备性和代数封闭性在后续理论中的作用。随后，我们将引入向量空间（Vector Space）的公理化定义。我们不仅关注最常见的 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$，更深入探讨由函数构成的函数空间（如连续函数空间 $C[a, b]$）或矩阵空间 $M_{m imes n}(F)$ 作为向量空间的例子。本章的难点在于区分向量空间和域上的代数结构，强调向量空间是关于“加法”和“数乘”两种运算的代数结构。 第二章：子空间、基与维数 本章是线性代数的基础支柱。我们详细分析子空间（Subspace）的判定条件，并引入线性无关性、线性生成集（Span）和基（Basis）的精确定义。维度（Dimension）的概念将被严格证明，特别是对于有限维向量空间，其维数的唯一性定理将得到详尽的推导。此外，我们还将探讨商空间（Quotient Space）的概念，理解如何通过等价类构建新的向量空间，这为理解群论中的陪集概念提供了重要的代数直觉。 第三章：线性映射与矩阵表示 线性映射（Linear Transformation）是连接不同向量空间的桥梁。本章着重于核空间（Kernel）和像空间（Image）的性质，并证明秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的普遍适用性。对于有限维向量空间，矩阵（Matrix）作为线性映射在特定基下的表示，其重要性不言而喻。我们深入探讨基变换（Change of Basis）对矩阵表示的影响，引入相似变换（Similarity Transformation）的概念，为后续特征值理论做铺垫。 第四章：对角化与谱理论 本章是应用性极强且理论优美的部分。我们将从特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）的代数和几何重数出发，探讨矩阵可对角化（Diagonalizable）的充要条件。对于不可对角化的情形，我们将引入 Jordan 标准型（Jordan Normal Form）理论，并严格证明任何方阵都存在唯一的 Jordan 型，这标志着我们对矩阵结构认识的完整性。此外，本章还将触及实对称矩阵的正交对角化，并引入二次型（Quadratic Forms）与奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）的初步概念，展示线性代数在优化和数据分析中的强大威力。 第二部分：抽象代数：结构与同态 第五章：群论基础：代数系统的开端 在跨入抽象代数领域时，群（Group）是最基础的代数结构。本章从集合、二元运算、封闭性、结合律、单位元和逆元等公理出发，精确定义群。我们将详细研究常见的群结构，如循环群（Cyclic Group）、二面体群（Dihedral Group $D_n$）和对称群（Symmetric Group $S_n$）。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）作为有限群结构分析的基石将被证明，并引出子群、陪集（Coset）和正规子群（Normal Subgroup）的概念。 第六章：群的同态与同构 本章的核心在于研究结构保持的映射——同态（Homomorphism）与同构（Isomorphism）。我们将重点分析核（Kernel）和像（Image）的性质，并严格证明第一同构定理（First Isomorphism Theorem），该定理揭示了商群（Quotient Group）的本质。此外，柯西定理（Cauchy's Theorem）和 Sylow 定理将被引入，用于深入分析有限群的内部结构，特别是关于素数幂阶子群的存在性。 第七章：环论：算术的推广 环（Ring）是对群概念的推广，引入了第二种运算——乘法。本章界定具有单位元的交换环（Commutative Ring with Unity）的精确定义，并区分域（Field）与一般环的差异。我们将深入研究环中的重要概念，如零因子（Zero Divisor）、整环（Integral Domain）。理想（Ideal）作为环中的特殊子结构，其重要性不亚于群论中的正规子群。我们详细讨论主理想域（PID）和唯一因子分解域（UFD），并分析多项式环 $F[x]$ 上的基本性质，为构造扩域做准备。 第八章：域的扩张与伽罗瓦理论的序曲 本章将线性代数中的域概念提升到更高层次。我们探讨域的扩张（Field Extension），如 $E$ 是 $F$ 的扩张 $E/F$。重点分析代数扩张（Algebraic Extension）和超越扩张（Transcendental Extension），以及最小多项式（Minimal Polynomial）。伽罗瓦理论的基石——伽罗瓦群（Galois Group）将被介绍，它将域的扩张与群的结构紧密联系起来，为理解五次及以上方程不可解性提供了代数框架。 结论： 《高等代数与抽象结构解析》旨在为读者提供一个结构清晰、逻辑严密的代数知识体系。本书的深度和广度远超入门级代数课程，它要求读者具备高度的抽象思维能力。通过对向量空间、线性变换、群、环和域的系统学习，读者不仅能掌握解决复杂数学问题的工具，更能洞察数学结构背后的统一性和美感。本书的每一个定理和推导都力求严谨，确保读者建立起坚不可摧的数学基础，为未来的学术探索做好充分准备。

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我是一位在职人士，学习时间非常碎片化，所以对于任何学习材料的“可携带性”和“即时性”要求极高。这本书的物理设计——如果把它放在实体的角度来看——简直是教科书式的完美。它的开本适中，便于单手翻阅，纸张的质量也很好，即使用荧光笔做了大量标记，也不会透墨。但这只是外在的优点，其真正的价值在于其内容的**模块化设计**。每一个知识点都被切割成易于消化的“小卡片”单元。如果我只有十分钟的空闲时间，我可以迅速翻到某个特定的公式回顾，而不需要浏览一大段文字。它对于复习特定的知识点，如二次方程的求根公式的应用限制，提供了即时且精准的反馈。此外，书中对“重难点”的标记非常直观，通常会用不同颜色的字体或边框来区分“必考点”和“选修拓展”，这帮助我能够根据自己的应试需求，高效地分配学习精力。对于时间紧张的学习者来说，这本书提供的不是知识的海洋，而是一张精心绘制的、直达目标的小径地图，省去了自己筛选信息的巨大成本。

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老实说，我拿到这本书时，内心是抱持着一丝怀疑的。市面上关于基础代数的“Notes”太多了，很多都只是把教科书的知识点生硬地罗列出来，重点不突出，重点是公式和定义就是一堆冰冷的文字，读起来像是在啃干涩的木头。然而，这本书在排版和内容组织上的用心程度，绝对是教科书级别的体验。它的结构设计非常巧妙，章节之间的逻辑递进是自然而然的，很少出现突然跳跃到下一个高级概念的情况。我特别欣赏它在引入新知识点时所采用的“循序渐进，案例驱动”的方法。比如，在讲解函数图像的平移和拉伸时，它没有直接给出$f(x-h)$和$a cdot f(x)$的公式，而是先展示了一系列不同参数下图像的实际变化动画（当然，在书本上是通过精妙的图示来模拟的），让读者先“看”到现象，再去理解背后的数学原理，这种由观察到归纳的学习路径，极大地降低了理解的门槛。而且，本书的例题选择既有基础巩固型的，也有略带挑战性的应用题，真正能帮助读者检验自己是否掌握了该章节的核心技能。对于需要高效备考的人来说，这种精炼而不失深度的内容组织是极其高效的学习资源。

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这本书简直是为我这种数学恐惧者量身定做的！我一直对代数抱有一种敬而远之的态度，总觉得那些字母和符号是某种神秘的咒语，让人望而生畏。然而，当我翻开《Exam Notes Introductory Algebra St》时，那种焦虑感奇迹般地消散了。作者的叙述方式极其平易近人，仿佛一位经验丰富的导师坐在你身边，用最生活化的语言解释那些抽象的概念。比如，讲解方程的解时，它没有直接抛出复杂的公式，而是用“天平原理”进行了生动的比喻，让我瞬间明白了保持等式平衡的精髓。更让我印象深刻的是，它对基础概念的夯实工作做得非常到位。很多其他教材一笔带过的内容，比如有理数运算的优先级、负数的乘法法则，这本书都进行了详尽的分解和大量的实例支撑。我特别喜欢它在每一章末尾设置的“常见误区解析”部分，精准地指出了初学者最容易犯错的地方，并提供了纠正的方法。这不仅仅是一本考试复习资料，更像是一本可以陪伴你从零开始建立代数思维的工具书。我感觉自己不再是被动地记忆规则，而是真正理解了代数这门语言的逻辑和美感。对于那些准备参加基础代数考试，又担心基础不牢固的朋友来说，这本书的价值无可估量。它不是那种堆砌难点试图炫耀难度的书籍，而是真正致力于让每一个读者都能跨越入门的门槛，稳健前行。

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作为一名对数学学习方法有较高追求的读者，我越来越发现，学习代数不仅仅是解题，更是对逻辑推理能力的训练。这本书在培养这种能力方面，展现出了超越基础教材的洞察力。它不仅仅是“教你怎么算”，更侧重于“教你如何思考一个代数问题”。例如，在处理不等式这类需要考虑区间和边界条件的问题时，它详细展示了如何通过**可视化**（尽管是以文字和图示结合的形式）来构建思维模型，避免在解题过程中忽略了关键的界限条件。我尤其欣赏它在引入某些更高级的代数技巧（例如配方法在处理最大值/最小值问题中的应用）时，所体现出的**优雅性**。它没有把这些技巧包装成必须死记硬背的捷径，而是将其置于一个更广阔的数学背景下进行阐述，让读者感受到这些工具的强大和通用性。这本书成功地将严谨的学术要求与高效的学习实践完美地结合在了一起，它让我觉得，代数不是一门令人沮丧的科目，而是一门充满发现和逻辑美感的艺术。它为我未来的深入学习打下了一个非常坚实且充满信心的基础。

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这本书的“笔记”性质体现得淋漓尽致，但其深度却远超我预期的简单速查手册。我过去使用的某些复习材料，通常只告诉你“怎么做”，但很少告诉你“为什么这么做”。《Exam Notes Introductory Algebra St》则在这方面做得非常出色。它不是简单地罗列定理，而是在关键的证明步骤中，插入了作者的个人洞察和历史背景。例如，在讲解因式分解时，它穿插了对完全平方公式和平方差公式历史演变的小段描述，这让原本枯燥的代数公式有了一种“生命感”。更重要的是，它对代数符号系统的**一致性**维护得非常好，从头到尾都确保了变量、系数和运算符的表示法是统一且清晰的，避免了不同章节之间因为符号使用习惯不同而产生的混淆。对于一个需要长期、系统性学习代数概念的读者来说，这种高度的专业性和一致性是保证学习质量的关键。我甚至发现，即便是那些我自认为已经掌握的部分，通过作者的重新阐述，也挖掘出了更深层次的理解。它教会我的不仅仅是解题技巧，更是一种严谨的数学思维方式。

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