Orthogonal Polynomials On The Unit Circle pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Simon, Barry

出品人:

页数:578

译者:

出版时间:

价格:803.00 元

装帧:

isbn号码:9780821836750

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图书标签:

• 正交多项式
• 单位圆
• 特殊函数
• 数值分析
• 逼近论
• 复分析
• 数学分析
• 理论数学
• 高等数学
• 学术著作

好的，这是一本关于矩阵分析与线性代数的深度著作的详细简介，内容涵盖了线性代数的核心理论、矩阵的结构分析、以及其在不同数学和工程领域的应用，旨在为读者提供一个全面且严谨的视角，完全不涉及正交多项式或单位圆上的理论。 --- 矩阵理论、谱结构与线性系统的稳定性分析 一部涵盖线性代数从基础到前沿应用的权威著作 目标读者： 高年级本科生、研究生、研究人员，以及需要在数值计算、信号处理、控制理论和数学物理等领域深入理解矩阵代数的专业人士。 本书概述： 《矩阵理论、谱结构与线性系统的稳定性分析》是一部结构严谨、内容详实的学术专著，致力于系统地阐述线性代数的核心概念、矩阵的内在结构、特征值理论的精妙之处，并将其应用于现代科学与工程中的关键问题，尤其是线性系统的稳定性判断与控制设计。全书摒弃了过于初阶的代数运算介绍，直奔矩阵理论的深层结构和应用潜力，强调理论的严密性、证明的完整性以及与实际问题的紧密联系。 本书的核心在于构建一个从基础向量空间到高级谱理论的逻辑链条，并通过大量的实例和练习题，确保读者不仅掌握“如何做”，更能理解“为什么是这样”。 --- 第一部分：线性代数基础与向量空间结构 本部分为后续高级理论奠定坚实的代数基础，重点在于抽象化和结构化思维的培养。 第一章：向量空间与线性变换的再审视 本章超越了基本的行空间、列空间概念，深入探讨了域的扩张（如有限域和复数域）对线性代数结构的影响。详细讨论了商空间、内积空间（特别是希尔伯特空间的概念引入）以及同构定理在不同代数结构间的映射关系。重点分析了线性变换的零空间和像空间之间的对偶性原理。 第二章：矩阵的分解与基本形式 着重于矩阵表示下线性变换的本质。详细剖析了Jordan标准型（Jordan Canonical Form, JCF）的构造原理及其在矩阵相似性判断中的关键作用。对于不可约矩阵，本章引入了Schur分解和Frobenius范式，讨论了当特征值出现重根或矩阵不可对角化时的结构完整性保持。同时，引入了矩阵的指数函数 $e^A$ 的定义及其在微分方程解法中的应用。 第三章：二次型与矩阵的合同关系 本章专注于二次型函数在不同基下的表现形式，引入了正定性、半正定性的严格定义。通过Sylvester惯性定理和合同关系，证明了任意实对称矩阵可以通过正交变换对角化，并详尽讨论了正定矩阵在优化问题中的重要性，如Hessian矩阵的分析。 --- 第二部分：矩阵的谱理论与特征值分析 谱理论是理解矩阵动态行为和稳定性的核心工具。本部分将矩阵的特征值和特征向量提升到几何和分析的高度。 第四章：特征值与特征向量的几何意义 本章深入探讨特征值与特征向量在描述线性变换作用下的不变方向和拉伸因子时的直观意义。引入了不动点定理在迭代过程中的体现。对非对称矩阵的谱半径与模的性质进行了详尽分析，特别是右特征向量与左特征向量的性质及它们在度量扰动敏感性时的作用。 第五章：谱分解与矩阵函数的求值 在Jordan块结构清晰的基础上，本章系统地推导了矩阵函数的定义，如 $sin(A)$, $log(A)$。重点阐述了谱定理（Spectral Theorem），特别是针对厄米特矩阵（Hermitian Matrices）的对角化性质，并展示了如何利用特征分解来计算高次幂的矩阵和求解线性常微分方程组。 第六章：矩阵的扰动分析与条件数 本章将理论分析带入数值计算的现实。详细介绍了矩阵的条件数（Condition Number）的定义、计算及其在数值求解线性方程组 $Ax=b$ 中的敏感性。深入分析了特征值对矩阵微小变化的敏感性，特别是对于亏格矩阵（Defective Matrices）的扰动分析，引入了 Bauer-Fike 定理来界定特征值的位移范围。 --- 第三部分：矩阵不等式与范数理论 本部分关注量化矩阵“大小”的工具，以及它们在比较不同矩阵结构时的严格性。 第七章：矩阵范数与算子范数 系统地定义了向量范数和矩阵范数的层次结构（如 $L_p$ 范数）。重点分析了算子范数（Operator Norms）的定义、三角不等式及其在估计迭代收敛速度中的应用。讨论了Frobenius范数与谱范数之间的关系和差异。 第八章：矩阵不等式与行列式 涵盖了诸如Minkowski不等式、Hadamard不等式（对行列式模的估计）以及重要的Weyl不等式和Fischer不等式，这些不等式在约束优化和几何体积估计中至关重要。此外，详细讨论了行列式作为体积变化的度量，以及如何通过行列式来判断矩阵的奇异性。 --- 第四部分：应用：线性系统、稳定性和控制 本书的最后部分将抽象的矩阵理论与工程中的动态系统紧密结合。 第九章：状态空间表示与线性系统的动力学 将连续时间系统 $dot{mathbf{x}} = Amathbf{x} + Bmathbf{u}$ 和离散时间系统 $mathbf{x}_{k+1} = Amathbf{x}_k + Bmathbf{u}_k$ 统一在矩阵框架下分析。利用矩阵指数和离散时间矩阵幂来解析系统的自由响应和完全响应。 第十章：稳定性理论的核心：李雅普诺夫方法 本章是稳定性的核心。详细介绍了李雅普诺夫稳定性判据，包括对自治系统和非自治系统的分析。重点阐述了矩阵的稳定性判据：系统稳定的充要条件是其系统矩阵 $A$ 的所有特征值都位于复平面的左半平面（对于连续时间系统）或单位圆的内部（对于离散时间系统）。引入了李雅普诺夫方程 $A^T P + P A = -Q$ 在确定正定性 $P$ 上的应用，从而判断系统的渐近稳定性。 第十一章：能控性、能观测性与反馈设计 在系统动态学的基础上，本章探讨了系统是否可以通过输入 $u$ 影响所有状态（能控性）以及是否可以通过输出 $y$ 完全推断所有状态（能观测性）。使用可控性矩阵（Controllability Matrix）和可观测性矩阵（Observability Matrix）进行严格的代数判据。最终，展示了如何利用谱信息（如极点配置 Pole Placement）通过状态反馈 $mathbf{u} = -Kmathbf{x}$ 来重新配置系统矩阵的特征值，以达到期望的稳定性和响应速度。 --- 总结特色： 本书的深度在于其对“为什么”的深入探究，而非仅仅是计算技巧的堆砌。它强调了几何直觉与严格代数证明的结合，确保读者对矩阵代数的理解能够支撑其在高级数学和工程领域的进一步研究。每章末尾均附有大量的挑战性习题，旨在固化读者对谱理论和稳定性判据的掌握。

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这部著作的装帧和设计实在令人赞叹。封面的设计简约而不失深度，那种带着淡淡的米黄色纸张质感，仿佛瞬间就能将人带入一个古典而又严谨的数学世界。内页的排版也极为考究，字体选择既清晰易读，又带着一种学术书籍特有的庄重感。每当翻开它，我都能感受到编辑和作者对细节的极致追求，这不仅仅是一本工具书，更像是一件值得收藏的艺术品。那些复杂的公式和定理，在如此优雅的视觉呈现下，似乎也变得没有那么令人望而生畏。书脊的工艺处理得非常坚固，即便是经常翻阅，也不用担心会松散，这对于需要频繁查阅的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。尤其值得一提的是，插图和图表的质量非常高，黑白分明，线条精准，即便是对于那些依赖视觉辅助理解抽象概念的人，也能提供极大的便利。这本书的实体触感，也让人在快节奏的数字时代，重新体会到纸质阅读带来的踏实和愉悦感。

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这本书的参考文献和历史背景介绍部分，简直是为学术研究者量身定制的宝库。它不仅仅罗列了重要的文献，更重要的是，它对这些成果的演变路径进行了精辟的点评和总结。阅读这些历史性的回顾，我能清晰地看到某个理论是如何被提出、被修正、最终定型的。这种对知识源流的追溯，极大地丰富了我对整个领域发展脉络的理解，让我不再仅仅停留在“知道公式”的层面，而是开始思考“为什么是这个公式”。作者在评论中展现出的学术洞察力，远超一般的教科书范畴，更像是一篇高质量的综述文章的精华提炼。对于希望深入挖掘某一特定分支的研究生或者青年学者来说，光是这些旁征博引和深入的分析，就足以让这本书的价值倍增，它为接下来的独立研究打下了非常坚实的概念和历史基础。

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初次接触这方面的专业书籍，我本以为会陷入无穷无尽的符号迷宫，但这本书的叙述逻辑实在是太流畅自然了。作者似乎非常擅长搭建知识的阶梯，从最基础的、几乎不需要预备知识的概念开始，逐步引入更复杂的构造和性质。这种层层递进的讲解方式，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。我特别欣赏它在引入新概念时，总会先给出一个直观的几何或物理背景解释，而不是一上来就抛出定义。这种“润物细无声”的教学策略，让我能够真正理解这些多项式为何重要，它们在解决实际问题中扮演了怎样的角色。即便是那些我之前感到晦涩难懂的积分表示和递推关系，通过作者的细致梳理，也变得条理清晰，仿佛拨云见日一般。这种叙事上的清晰度，是许多专业教材所欠缺的。

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在工具书的实用性方面，这本书的表现堪称典范。它对各种正交多项式的正交性条件、根的分布特性，以及生成函数的性质，都给出了详尽的公式汇编和推导过程。尤其是在处理那些边缘情况（如特定参数下的退化情形）时，作者的处理方式既严谨又全面，没有任何敷衍了事的感觉。我曾试图寻找某个特定积分核的详细分析，市面上很多资料都含糊带过，但在这本书中，我找到了完整的、可追溯的证明链条。对于需要将这些数学工具应用到数值分析、信号处理或者量子力学模型的工程师和应用数学家而言，这种细致入微的覆盖面是极其宝贵的，它大大减少了我们在不同来源文献间来回查找和交叉验证的时间成本。可以说，它是一本可以长期放在案头，随时备用的“速查手册”和“深度参考”的完美结合体。

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这本书的语言风格，呈现出一种极为罕见的、既保持了数学的绝对严谨性，又融入了令人愉悦的文学色彩的特质。它不像某些纯粹的数学论著那样，读起来干涩乏味，仿佛在啃一块无味的石头；相反，作者的遣词造句充满了对数学美学的深刻感悟。当我读到对某些对称性或者不变性性质的描述时，会有一种近乎欣赏艺术品的顿悟感。这种文字上的感染力，使得原本枯燥的抽象概念变得鲜活起来，激发了我继续探索下去的内在动力。可以说，阅读它更像是一场与一位博学且富有激情的导师进行深度对话，他不仅传授知识，更重要的是，他点燃了你对探索真理的渴望。这种充满人文关怀的科学写作，才是真正能将学科传承下去的力量所在。

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