Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Ravenel, Douglas C.

出品人:

页数:395

译者:

出版时间:2003-11-15

价格:479.00 元

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821829677

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Homotopy
• 代数拓扑
• 同伦论
• 上同调论
• 层论
• 谱序列
• 稳定同伦群
• 球圈
• 复流形
• Kobordism
• Steenrod代数

拓扑学前沿：微分流形上的代数几何与K理论 本书聚焦于现代数学的几个核心交叉领域，尤其是拓扑学、微分几何和代数几何的深刻融合。它不涉及复流形上的奇异上同调理论（如复余切流形或拓扑K理论的特定构造），而是致力于探索实数域上的拓扑不变量的计算与分类，以及它们在几何结构下的表现。 本书旨在为高级研究生和专业研究人员提供一个严谨而富有洞察力的框架，用以理解和应用实数（或更一般地，有限域）上的拓扑工具。全书分为四个主要部分，层层递进，从基础理论的重塑到前沿研究的探讨。 --- 第一部分：实谱序列与经典同调论的拓扑基础重构 本部分首先对拓扑空间上的经典同调论进行了深入的回顾，但侧重点完全放在了实系数下的结构上。我们仔细考察了奇异同调论、群上同调论在光滑流形上的应用，并引入了实系数的层论作为基础工具。 1.1. 流形上的拓扑不变量：实系数下的视角 我们从经典的微分流形 $M$ 出发，详细讨论了其上系数在 $mathbb{R}$ 上的上同调群 $H^(M; mathbb{R})$ 的构造。重点在于理解De Rham同调与奇异同调之间的规范同构，并严格证明了该同构在光滑映射下具有函子性。这为后续引入微分形式和积分提供了坚实的代数基础。 1.2. 谱序列的构建与收敛性分析 本章深入探讨了用于计算复杂流形拓扑的谱序列技术。我们完全避开了任何涉及复结构的构造（如Serre谱序列在纤维丛上使用复系数的情况），而是专注于局部-整体原理的实现。 Whitney 叠加定理的实数版本：讨论如何利用流形上的局部坐标系和它们的覆盖来构建一个可计算的谱序列。 滤过与收敛性：详细分析了特定滤过下（例如基于微分形式的微分阶梯）谱序列的收敛性。我们关注其收敛到实系数的拓扑群的完整性。这部分强调了实数域的完备性对谱序列行为的影响，与非阿基米德域或有限域上的情况形成对比。 1.3. 特征类与流形的结构 本节侧重于流形的几何结构如何通过拓扑不变量体现。我们讨论了Pontryagin类和Euler类的定义及其作为Thom空间上特定上同调类的性质。所有的构造均基于实向量丛，并使用Thom同构的实系数形式来导出这些特征类的代数表达式。 --- 第二部分：流形上的微分代数与示性类 本部分将几何结构与代数结构更紧密地联系起来，关注微分代数（如Weil代数）在实微分流形上的应用。 2.1. Weil代数与向量场的积分 我们详细介绍了Weil代数 $W(mathfrak{g})$ 的构造，它是一个自由代数，由流形上的光滑函数和微分形式生成。重点在于研究流形上的李导数如何作用于微分形式，以及由此产生的Cartan积分公式。 不变量的特征化：利用 Cartan-Eilenberg代数（或其简化形式）来表征流形上的闭微分形式的代数结构。 2.2. 陈-西蒙斯形式与流形的拓扑密度 本章讨论了高阶微分形式在流形上的积分行为，特别是如何利用陈-西蒙斯（Chern-Simons）形式的推广来探测流形的三维或更高维的拓扑密度。 我们严格区分了这些形式的“场强度”（即曲率）和“势”（即积分形式）。所有讨论都限制在实值或复值（但非代数几何意义下的完备复结构）的纤维丛上，其基础空间为实流形。我们关注这些形式如何在边界上产生拓扑约束，从而揭示流形的边界特性。 2.3. Bismut-Getzler 谱序列的实数版本类比 我们探讨了与热核和扩散过程相关的谱序列，这些序列可以用来计算拓扑不变量。这里的核心思想是利用随机过程在流形上的演化来“平均化”掉局部的高频信息，从而得到全局的拓扑信息。这是一种基于泛函分析的拓扑研究方法，完全侧重于实数空间的函数空间。 --- 第三部分：代数K理论的拓扑视角：向量丛的分类与稳定化 本书的第三部分转向了对拓扑空间的向量丛的分类，但视角严格限定于实代数K理论（Real K-Theory）的范畴，避免了任何涉及代数簇或拓扑复结构构造的讨论。 3.1. 向量丛与稳定化 我们定义了流形 $M$ 上的实向量丛的 $K$ 群 $K(M)$。重点在于理解如何通过直和的稳定化来构建一个更具代数稳定性的理论。 Grothendieck群的构建：详细阐述了如何从向量丛的集合通过生成元和关系（直和与同构）构造出 $K(M)$ 群，并强调了其作为群构造的本质。 3.2. Bott周期性与偶次理论 在实K理论的框架内，我们详细分析了Bott周期性现象。这一周期性是理解高维拓扑空间上向量丛分类的关键。我们通过对 $S^1$ 上向量丛的分析，展示了 $K^0(M) cong K^0(M imes S^2)$ 的结构。 实K理论的周期：与复K理论的周期数为2不同，实K理论具有周期数为8的结构（或在特定情况下周期数为2）。本书严格推导了实K理论的周期性定理，并将其归因于实矩阵代数的结构。 3.3. K理论与上同调的关联：Thom异态 我们运用Thom构造来建立实K理论与实系数广义上同调理论之间的联系。 Thom空间与线丛：定义了由实向量丛 $E$ 诱导的Thom空间 $T(E)$，并展示了由 $E$ 决定的特定上同调类 $mu in H^{dim E}(T(E); mathbb{R})$ 的重要性。 K-上同调同态：证明了从 $K(M)$ 到特定上同调群的映射，并分析了这种映射如何揭示向量丛的实Thom类。 --- 第四部分：边界流形与拓扑场论的实数基础 最后一部分将前三部分的技术应用于具有边界的流形，并探讨了拓扑不变量在这些空间上的“场论”行为。 4.1. 具有边界的流形上的同调流 对于具有边界 $partial M$ 的流形 $M$，我们研究了其上同调群如何被边界的拓扑结构所限制。这包括分析相对上同调 $H^(M, partial M; mathbb{R})$ 的性质。 相对谱序列：讨论如何修改谱序列，使其能够处理边界上的局部信息，并将这些信息整合到整体的拓扑不变量中。 4.2. 拓扑量子场论（TQFT）的实数基石 本书从维恩罗格（Witten-Reshetikhin-Turaev）理论的实数域版本的角度，来审视拓扑不变量。我们不涉及任何关于Chern-Simons理论的量子化细节，而是关注其代数结构： （n-1）维边界上的模空间：研究在 $(n-1)$ 维边界上定义的向量空间，它是 $n$ 维流形上TQFT的“向量空间”。这里的计算完全基于实矩阵或实李群的表示论。 拓扑张量：探讨如何在低维拓扑流形（如三维流形）上定义一种“张量”结构，这种结构完全由边界上向量丛的稳定分类所决定。 结论： 本书提供了一套强大的、以实数为基础的拓扑工具箱，用于分析光滑流形的内在几何和拓扑结构。它着重于可计算性和代数稳定性，是理解现代拓扑学中几何代数方法的重要参考资料。

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这本书的“气场”非常强大，它散发着一种“这是最终的权威参考资料”的自信。我特别喜欢作者在引言中对学科现状的冷静评估，那种不带感情色彩，纯粹基于逻辑和证据的论述，让人对其客观性和公正性深信不疑。在阅读过程中，我发现它似乎不是一本旨在教授基础知识的入门读物，而更像是一份凝聚了几代人智慧的“知识结晶”。书中对于不同流派的观点冲突和观点融合的处理非常微妙，作者似乎在扮演一个公正的裁判，清晰地呈现了不同数学家是如何看待同一个复杂问题的。我注意到许多参考书目指向的是上世纪七八十年代的经典论文，这表明作者在追求理论的根源性，力求溯源到那些奠基性的思想。对于任何想要撰写该领域标准教材或综述的人来说，这本书绝对是“必读”级别的，因为它定义了什么是“被公认的”知识体系，哪些概念是不可或缺的基石。

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拿到这本书后，我首先被它那种近乎“冷峻”的数学美学所吸引。这不是那种试图用生动的比喻或友好的引导来“讨好”读者的教材，它更像是一份精心打磨的、面向同行的深度报告集。书中的图表，如果存在的话，一定是高度抽象、信息密度极高的示意图，而非辅助理解的具象插图。我注意到章节的过渡处理得非常巧妙，虽然数学符号的密度极高，但当你跟上作者的思路时，会发现看似跳跃的结论其实暗藏着层层递进的证明结构。我个人更倾向于这种“硬核”的呈现方式，它迫使读者进行深度的思考和主动的知识构建，而不是被动地接收。这本书的排版和印刷质量也值得称赞，即便是复杂的积分符号和希腊字母也能清晰准确地呈现，这在处理高度技术性的文本时至关重要。读这本书的过程，更像是一场与作者在学术高地上的深度对话，你需要不断停下来，回顾前一个定理的应用，才能真正领会当前正在推导的复杂关系的精妙之处。它需要的不是快速浏览，而是一种近乎冥想的专注。

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作为一名侧重于应用数学的研究者，我带着一种既好奇又略带忐忑的心情翻开了这本书。最初的几页，涉及大量的同调理论和范畴论的术语，确实让我感到有些吃力，仿佛走进了一片知识的“无人区”。然而，随着我努力消化那些核心的定义和构造，我开始捕捉到一些潜在的连接点，一些或许能被应用于其他领域的深刻洞察。这本书的优势在于其无与伦比的理论完备性。它似乎没有放过任何一个关键的定义或证明的细枝末节，对于任何一个想要深入研究“那里”到底发生了什么的学者来说，它提供了无可替代的详尽蓝图。虽然我可能无法完全掌握书中所有推导的细节——坦率地说，那需要我投入数年的时间去专门学习——但它为我指明了理解问题的更高维度，让我得以跳出自己狭窄的研究视野，去思考更本质的结构性问题。它像是一份地图，详细标示了数学世界中一个极其偏远且壮丽的角落。

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从装帧和内容呈现来看，这是一部典型的、面向专业研究生的教科书，那种会出现在研究生研讨课（Seminar）书单顶端的书籍。它的每一页都充满了需要被消化的信息，几乎没有“水分”可言。我尝试从某一章节的中间部分开始阅读，结果发现这几乎是不可能的任务，这反过来证明了其内在结构的紧密性——每一个定理的引入都依赖于前文累积的成果。我特别留意了那些被标记为“Exercise”的部分，它们显然不是简单的练习题，而是对读者理解深度和证明技巧的严峻考验，需要读者具备极强的自我驱动力去解决。这本书的价值不仅在于它“教了什么”，更在于它“要求你做到什么”——它设定了在这个特定数学分支中，一个合格的研究者必须掌握的最低智力门槛。它是一座宏伟的数学殿堂的完整蓝图，需要学习者带着极大的敬畏和毅力才能进入其核心区域。

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这本厚重的书，光是拿在手里就能感受到一股扑面而来的学术气息，封面设计低调而沉稳，黑色的主色调配上精致的烫金字体，透露出一种不容置疑的专业性。我是在为一篇关于代数拓扑学前沿进展的综述寻找可靠的参考资料时偶然接触到它的。这本书的结构布局非常严谨，每一章似乎都建立在坚实的前置理论之上，逻辑链条清晰可见。阅读体验上，对于初涉该领域的读者来说，确实需要极大的耐心和相当扎实的预备知识。我特别欣赏其中对历史背景的梳理，作者似乎并不满足于仅仅呈现公式和定理，而是细致地勾勒出这一领域是如何一步步发展至今，有哪些关键的转折点和里程碑式的突破。这种叙事方式，使得枯燥的数学概念在宏大的历史脉络中找到了自己的位置，不再是孤立的知识点，而是鲜活的研究课题。尽管内容深度令人敬畏，但能感受到作者在努力搭建一座桥梁，试图连接最前沿的抽象理论与那些看似遥不可及的几何直觉。可以预见，它将是该领域研究者案头上不可或缺的工具书，其价值不在于快速提供答案，而在于提供理解问题的深度框架。

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