Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Joseph L. Taylor

出品人:

页数:507

译者:

出版时间:2002-5-14

价格:USD 82.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821831786

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• Mathematics
• AMS
• 2002
• Complex Analysis
• Several Complex Variables
• Algebraic Geometry
• Lie Groups
• Holomorphic Functions
• Complex Manifolds
• Sheaf Theory
• Cohomology
• Resolution of Singularities
• Vector Bundles

《若干复变量与代数几何及李群的联系》内容概述 本书深入探讨了复分析领域中一个至关重要且跨学科的交叉点：若干复变量函数论，并着重阐述了其与代数几何和李群理论的深刻联系。全书结构严谨，内容涵盖了从基础概念到前沿研究方法的多个层面，旨在为读者构建一个理解这些复杂数学结构之间内在统一性的坚实桥梁。 全书共分为若干逻辑紧密的部分，每一部分都建立在前一部分的数学基础上，逐步深入到更抽象和应用化的层面。 --- 第一部分：若干复变量函数论的基础（Foundations of Several Complex Variables） 本部分是全书的基石，侧重于构建若干复变量空间 $mathbb{C}^n$ 上函数理论的分析框架。 1. 多重调和分析与黎曼度量： 首先，本书详细考察了 $mathbb{C}^n$ 上的基础拓扑结构和微分结构，区别于一维复分析（$mathbb{C}^1$），在 $n>1$ 时， $mathbb{C}^n$ 上的全纯函数不再仅由其微分性质完全决定。引入了 Hessian 矩阵 和 Cartan-Thullen 准则，用以刻画局部可延拓性。着重探讨了 Petersen 范数 和 Bergman 核 在定义单位多圆盘 $mathbb{B}^n$ 上的特征，以及 $mathbb{B}^n$ 上的各种几何结构，如 Poincaré-Lelong 度量 和 Einstein-Kähler 度量 的性质。 2. 经典偏微分方程与 $ar{partial}$ 算子： 本书的核心分析工具是 $ar{partial}$ 算子（Dolbeault 算子）。详细介绍了 $ar{partial}$ 算子在微分形式空间上的作用，以及 Dolbeault 上同调群 $H^{p,q}(M)$ 的定义。重点阐述了 Hodge 分解定理 在紧致 Kähler 流形上的应用，以及 $ar{partial}$ 方程的可解性问题。引入了 Wolff-Grauert 消除理论，讨论了 $ar{partial}$ 方程在有界域上的解的存在性与正则性。 3. 拟凸性与域的几何形状： 在若干复变量函数论中，拟凸性（Pseudoconvexity） 扮演着至关重要的角色，它取代了单变量函数论中的凸性概念。本书详细分析了 Levi 形式 的负定性与拟凸性的关系。讨论了 Stein 流形 的性质，特别是 Stein 流形上的函数族与拓扑不变量之间的联系。通过 Cartan-Thullen 定理 的推广，阐明了拟凸域如何决定全纯函数的延拓能力。 --- 第二部分：与代数几何的交汇（Intersections with Algebraic Geometry） 此部分将分析工具转向代数几何的语言，展示复解析几何如何精确描述代数对象。 1. 复射影空间与代数簇： 本书引入 Serre 纲领，将 $mathbb{C}^n$ 上的解析对象与射影空间 $mathbb{P}^n$ 上的代数对象联系起来。详细讨论了 代数簇（Algebraic Varieties）的 正则函数环 $A(V)$ 与其在 $mathbb{C}^n$ 上的 解析嵌入 之间的同构关系。引入 环化法（Sheafification） 理论，精确描述了复代数簇上的结构层 $mathcal{O}_V$。 2. 霍奇理论与代数（Hodge Theory and Algebra）： 深入探讨了 霍奇理论 在描述代数簇结构中的作用。对于光滑射影簇 $X$，其 De Rham 上同调群通过 Hodge分解 $H^k(X, mathbb{C}) = igoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)$ 被分解。本书解释了这些分解如何反映代数结构的内在对称性，特别是 代数周期（Algebraic Cycles）与 $H^{p,p}(X)$ 之间的关系，并讨论了 Griffiths 间接秩（Infinitesimal Invariant） 的计算方法。 3. 柯丹-韦伊定理与环的上同调： 本书详细阐述了 柯丹-韦伊定理（Kodaira-Weil Theorem），该定理将线丛（Line Bundles）的曲率性质与上同调群 $H^1(X, mathcal{O}^)$ 联系起来。通过分析 Chern 类 和 第一陈类 $c_1(L)$，展示了全纯截面（Holomorphic Sections）的存在性是如何由该类别的代数几何特性决定的。讨论了 Picard 群 的结构，以及它如何通过全局截面（Global Sections）来反映簇的几何复杂性。 --- 第三部分：李群与齐性空间（Lie Groups and Homogeneous Spaces） 本部分将复分析的工具应用于对称性结构，即李群理论。 1. 紧致李群与复结构： 首先回顾了 李群 的基础结构，特别是紧致李群 $K$。阐述了如何赋予紧致李群一个 复结构，使其成为 紧致 Kähler 流形。重点分析了 根系（Root Systems） 与 Weyl 群 如何通过 Cartan 局部对称空间 的构造，产生一系列具有特定代数几何性质的齐性空间。 2. 齐性 Kähler 流形与吉尔曼定理： 本书的核心在于 齐性 Kähler 流形 $G/P$（$G$ 为李群，$P$ 为抛物子群）。讨论了 Harish-Chandra 图像 在复几何中的体现。引入 吉尔曼定理（Gelfand-Naimark Theorem） 的几何版本，说明具有特定对称性的全纯函数空间可以被分解为不可约表示的张量积。 3. 赫尔曼-西格尔模型与边界值问题： 在非紧李群 $G$ 的框架下，本书研究了 赫尔曼-西格尔模型（Hermann-Siegel Model），它利用了 $mathbb{C}^n$ 上的有界域（如多圆盘 $mathbb{B}^n$）作为模型的上域。通过 Toeplitz 算子 和 Berezin 变换，展示了如何在这些具有强对称性的域上求解 $ar{partial}$ 方程的边界值问题，并将解的正则性与李群的表示论联系起来。 --- 第四部分： avanzados temas y aplicaciones（Advanced Topics and Applications） 本部分探讨了更现代和高度专业化的主题。 1. 多复变中的函数空间与逼近理论： 研究了 $mathbb{C}^n$ 上全纯函数空间的拓扑结构，特别是 Montel 空间 和 Mityagin 空间 的性质。探讨了 Runge 定理 在 $mathbb{C}^n$ 上的推广，即在特定区域上用多项式逼近全纯函数的条件。这为理解复杂函数的“可计算性”提供了分析基础。 2. 典型域的几何（Geometry of Classical Domains）： 对五种 典型域（Siegel Domains of Type I, II, III, IV）进行分类和深入分析，这些域是李群作用下的齐性空间。详细计算了这些域上的 Bergman 核 的精确表达式，并展示了这些核函数如何作为解决 $ar{partial}$ 方程的基本解。这些计算直接揭示了李群结构对全纯函数性质的约束。 3. 应用于弦论与表示论的初步： 最后，本书简要概述了这些复分析结构在理论物理和表示论中的应用。例如，如何使用 Weyl 维数公式（基于李群结构）来确定某些代数簇上向量丛的 Chern 层次，这在弦论的 Calabi-Yau 紧致化中具有直接意义。同时，分析了 Hermite 对称空间 在构造特定无限维李群表示时的核心地位。 本书的整体目标是提供一套自洽的数学工具箱，使得读者能够理解复分析在处理高维几何对象（如代数簇和李群）时所展现出的强大协调性和深度。

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这本书的篇幅看起来相当可观，这通常意味着内容会非常详尽和深入。对于我这样需要扎实数学背景的读者来说，详细的推导过程是必不可少的。我特别关注那些关于函数空间和各种范数定义的讨论，因为这些是构造复杂分析理论的基石。如果书中对这些基础概念的介绍能做到既严谨又不失清晰度，那么它就极具价值。我设想，通过这本书的学习，我能更好地理解如何处理非紧域上的解析延拓问题，以及这些问题在李群表示论中的实际意义。希望它能提供足够的习题来巩固所学，而不是仅仅停留在理论阐述层面。

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我最近开始接触一些涉及到微分几何和代数拓扑的知识，发现“复变量”这个概念在其中扮演了至关重要的角色。这本书的标题让我立刻联想到了那些将解析几何的工具应用于理解代数结构的经典工作。我非常好奇作者是如何处理这些技术性很强的部分，比如柯西-黎曼方程在多变量情况下的推广，以及如何利用复分析的工具去揭示代数簇的深层性质。我希望这本书不仅仅是概念的堆砌，而是能提供一种连贯的叙事线索，将这些看似独立的领域串联起来。如果能有对历史发展脉络的梳理，那就更好了，这样能让我更好地理解为什么这些联系会自然而然地产生。

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这本书的定价和装帧都显示出它是一本面向专业读者的严肃著作。我希望作者在处理这些极具挑战性的数学主题时，能保持一种独特的洞察力，用一种不同于标准教科书的视角来组织材料。比如，在介绍一些高级主题时，能否从更直观的几何角度切入，而不是一开始就陷入纯粹的符号运算？我希望在阅读过程中能不断产生“原来如此”的顿悟感。这不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的培养。如果这本书能教会我如何用复分析的语言去思考代数和群论的问题，那么它就达到了我心目中的最高标准。

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我发现市面上很多关于复分析的书籍往往侧重于经典的一维复分析，或者将代数几何和李群的部分处理得过于肤浅。这本书的标题承诺了“连接”，这让我非常兴奋。我希望它能真正做到这一点，展示出在更高维度下，这些领域是如何相互影响、相互塑造的。例如，我会很期待看到关于赫尔穆特定理或者特定类型李群上的函数空间结构是如何被复分析方法深刻影响的章节。如果能有对现代研究热点的一些介绍，哪怕只是作为引言，也会让这本书的价值倍增。我需要的是一本既能打好基础，又能引领我窥见前沿研究的参考书。

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这本书的封面设计得非常大气，封面的色彩搭配和字体选择都透露出一种严谨而深邃的学术气息。光是看到这个名字，我就能想象出里面涵盖的内容的广度和深度。我一直对高维空间中的解析函数理论很感兴趣，尤其是在代数几何和李群这些领域中的应用，这本书似乎正好满足了我对这种跨学科研究的渴望。我期待着能从中找到对这些复杂概念的清晰阐述，特别是那些能将抽象的数学结构与几何直观联系起来的讨论。希望能有详尽的例子和精妙的证明，让我能真正领会这些理论的精髓。对于一个希望在复分析领域深耕的研究者来说，这本书无疑是一座宝库，希望能帮助我构建更坚实的理论基础，为未来的研究指明方向。

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多复分析本身由很多学科组成：泛函分析，交换代数，代数拓扑，层论，同调代数组成。射影簇在微分几何和代数几何中等价；局部问题都使用交换代数作为工具，交换代数的推广就是层论和凝聚分析层论，得到这些层上同调的消除定理。局部理论使用交换代数，整体理论使用层论和同调代数。多复分析中困难的证明经常可以用类比于代数几何中简单的概念和命题所代替。局部到整体的问题经常转化为某种层上同调为0：这种理论基于Dolbeault's 理论（多变量偏微分方程可解性类比于非齐次的柯西黎曼方程），全纯函数的层上同调可解联系于嘉当定理B。关键概念：全纯函数域。全纯函数和代数函数有一个平行的类比。全纯簇的芽和全纯函数芽的环的理想之间的关系以及多项式函数和正规函数芽的环

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多复分析本身由很多学科组成：泛函分析，交换代数，代数拓扑，层论，同调代数组成。射影簇在微分几何和代数几何中等价；局部问题都使用交换代数作为工具，交换代数的推广就是层论和凝聚分析层论，得到这些层上同调的消除定理。局部理论使用交换代数，整体理论使用层论和同调代数。多复分析中困难的证明经常可以用类比于代数几何中简单的概念和命题所代替。局部到整体的问题经常转化为某种层上同调为0：这种理论基于Dolbeault's 理论（多变量偏微分方程可解性类比于非齐次的柯西黎曼方程），全纯函数的层上同调可解联系于嘉当定理B。关键概念：全纯函数域。全纯函数和代数函数有一个平行的类比。全纯簇的芽和全纯函数芽的环的理想之间的关系以及多项式函数和正规函数芽的环

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多复分析本身由很多学科组成：泛函分析，交换代数，代数拓扑，层论，同调代数组成。射影簇在微分几何和代数几何中等价；局部问题都使用交换代数作为工具，交换代数的推广就是层论和凝聚分析层论，得到这些层上同调的消除定理。局部理论使用交换代数，整体理论使用层论和同调代数。多复分析中困难的证明经常可以用类比于代数几何中简单的概念和命题所代替。局部到整体的问题经常转化为某种层上同调为0：这种理论基于Dolbeault's 理论（多变量偏微分方程可解性类比于非齐次的柯西黎曼方程），全纯函数的层上同调可解联系于嘉当定理B。关键概念：全纯函数域。全纯函数和代数函数有一个平行的类比。全纯簇的芽和全纯函数芽的环的理想之间的关系以及多项式函数和正规函数芽的环

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多复分析本身由很多学科组成：泛函分析，交换代数，代数拓扑，层论，同调代数组成。射影簇在微分几何和代数几何中等价；局部问题都使用交换代数作为工具，交换代数的推广就是层论和凝聚分析层论，得到这些层上同调的消除定理。局部理论使用交换代数，整体理论使用层论和同调代数。多复分析中困难的证明经常可以用类比于代数几何中简单的概念和命题所代替。局部到整体的问题经常转化为某种层上同调为0：这种理论基于Dolbeault's 理论（多变量偏微分方程可解性类比于非齐次的柯西黎曼方程），全纯函数的层上同调可解联系于嘉当定理B。关键概念：全纯函数域。全纯函数和代数函数有一个平行的类比。全纯簇的芽和全纯函数芽的环的理想之间的关系以及多项式函数和正规函数芽的环

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多复分析本身由很多学科组成：泛函分析，交换代数，代数拓扑，层论，同调代数组成。射影簇在微分几何和代数几何中等价；局部问题都使用交换代数作为工具，交换代数的推广就是层论和凝聚分析层论，得到这些层上同调的消除定理。局部理论使用交换代数，整体理论使用层论和同调代数。多复分析中困难的证明经常可以用类比于代数几何中简单的概念和命题所代替。局部到整体的问题经常转化为某种层上同调为0：这种理论基于Dolbeault's 理论（多变量偏微分方程可解性类比于非齐次的柯西黎曼方程），全纯函数的层上同调可解联系于嘉当定理B。关键概念：全纯函数域。全纯函数和代数函数有一个平行的类比。全纯簇的芽和全纯函数芽的环的理想之间的关系以及多项式函数和正规函数芽的环