Theory of Functions of a Complex Variable pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Carpatheodary, Constantin

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2002-10-22

价格:317.00 元

装帧:精装

isbn号码:9780821828311

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
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现代数学分析导论：实变函数与测度论 本书聚焦于现代数学分析的基石——实变函数论与测度论，旨在为读者构建一个严谨、完备的分析学框架。本书内容不涉及复变函数理论的任何方面。 第一部分：集合论基础与拓扑初步 本部分为后续分析的坚实地数学基础。我们将从集合论的公理化体系出发，回顾实数 $mathbb{R}$ 的结构，重点讨论 $mathbb{R}^n$ 上的基本拓扑概念。 第一章：集合与映射 详述集合的定义、运算，特别是笛卡尔积。引入有限集、可数集和不可数集的概念，重点阐述康托尔对角线论法证明不可数性。深入分析双射、单射、满射的性质，并为后续的可测函数建立映射的初步概念。 第二章：拓扑空间基础 从 $mathbb{R}^n$ 上的开集、闭集、邻域、聚点和导集等概念出发，推广至抽象拓扑空间。详细讨论拓扑空间的定义、基、子基。深入分析开集族、闭集族对拓扑结构的决定作用。引入紧致性、连通性、分离公理（如 $T_1, T_2$ 郝斯多夫性质）的严格定义和相互关系。特别关注 $mathbb{R}^n$ 上的 Heine-Borel 定理及其在函数分析中的重要性。 第三章：度量空间 引入度量（距离）的概念，定义度量空间。讨论度量空间中的开球、闭球、完备性。完备性是本论述的核心工具之一，我们将详细考察著名的 Baire 分类定理，该定理在泛函分析和微分方程解的存在性中扮演关键角色。 第二部分：测度论：量化长度、面积与体积 本部分是本书的核心，彻底取代了传统微积分中基于黎曼和的积分概念，建立了现代测度论。 第四章：外测度与勒贝格测度 从集合的“外延”概念出发，定义外测度 $mu^$，并探讨其单调性、可加性等基本性质。随后，严格构造勒贝格可测集，并定义了 $mathbb{R}^n$ 上的勒贝格测度 $mu$。重点论证测度的可加性、单调性、完备性以及勒贝格可测集的结构性质（如与开集、闭集的逼近关系）。 第五章：可测函数 基于可测集的定义，引入可测函数的概念。探讨初等函数的性质，以及连续函数、简单的阶梯函数与可测函数之间的关系。详细分析可测函数的极限运算（如逐点收敛、依测度收敛）如何保持可测性。 第六章：积分的推广——勒贝格积分 积分的定义将遵循自下而上的路径： 1. 简单函数的积分： 定义在简单函数上的积分，这是基础。 2. 非负可测函数的积分： 利用简单函数的上确界（或下确界）定义非负函数的积分。 3. 一般可测函数的积分： 利用正部与负部分解，定义一般可测函数的勒贝格积分。 本章的重点在于证明勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性，特别是其在极限操作下的强大保留性。 第七章：积分的收敛定理 这是勒贝格积分理论的精髓所在，直接指导了无穷级数和函数序列的分析： 1. 单调收敛定理 (MCT)： 阐述了非负函数序列单调收敛时，积分的极限可以与极限的积分互换。 2. 法图引理 (Fatou’s Lemma)： 作为一个重要的不等式工具，在涉及不可预测的极限时至关重要。 3. 支配收敛定理 (DCT)： 阐述了在给定支配函数的条件下，函数序列收敛时的积分与极限的互换。我们将用详尽的例子展示这些定理在实际应用中的区别和联系。 第八章：测度与积分的应用进阶 讨论可积函数的空间 $L^p(mathbb{R}^n)$ 的初步概念。引入测度论中的重要工具——乘积测度，为多重积分的推广奠定基础，但仅限于笛卡尔积的框架，不涉及复变函数的积分路径概念。 第三部分：函数空间与分析工具 本部分将分析函数集合的结构，引入工具来处理函数的极限和收敛性。 第九章：函数空间的度量与范数 基于 $L^p$ 范数，定义 $L^p$ 空间。考察 $L^1, L^2$ 空间的拓扑性质，证明 $L^p$ 空间（有限维除外）不是完备的。探讨范数空间的完备性定义，为后续可能的泛函分析学习做铺垫。 第十章：测度与概率论的联系（简述） 简要说明测度空间 $(Omega, mathcal{A}, mu)$ 如何自然地对应于概率论中的样本空间、事件域和概率测度。讨论期望值的勒贝格积分定义，强调分析学在概率论中的根基地位。 结论： 本书严格遵循实数域上的分析框架，所有论证均基于实数、集合、拓扑和测度理论。它为读者提供了一套坚实的、能够处理现代高等数学问题的分析工具箱，重点在于严谨的极限处理和积分的推广，完全避免了任何涉及复数域的讨论。通过对勒贝格积分的深入学习，读者将掌握现代数学分析的真正核心。

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这本书在某些章节的处理上，展现了作者对教学顺序的深刻考量，这在我看来是超越了普通教科书水平的。特别是关于解析延拓这一主题，很多教材往往将它放在最后，作为一种高级技巧来介绍。但在这本书里，解析延拓的概念贯穿于前几章的论证中，它被用来解释为什么某些看似不相关的函数（比如不同的积分表达式）在复平面上会不谋而合地收敛到同一个解析函数。这种前置的铺垫，极大地增强了后续定理的内在说服力。我曾尝试用其他教材学习解析延拓，效果平平，但在读了这本书之后，我才真正理解了其“唯一性”背后的深层含义——即任何一个局部定义的解析结构，都渴望在整个复平面上得到最充分的体现。这种将核心思想提前布局、层层递进的编排艺术，让我对作者深厚的学术功底和教学智慧深感佩服。

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这本书的排版和术语使用，透露出一种古典的学术气息。我对比了手头好几本更新的教材，它们的语言更加口语化，旨在快速接轨现代应用。然而，这本书的叙事风格则显得更加庄重和内敛，用词精准，逻辑链条几乎没有一丝冗余。对于那些真正想深入研究复变函数理论本身，而非仅仅停留在工程应用层面的读者来说，这种严谨性是极其宝贵的财富。例如，在处理黎曼曲面的部分，作者没有使用过于现代的拓扑学术语，而是用非常扎实、基于复变量分析的语言来构建整个结构，这使得读者可以更好地将新学的知识与已有的微积分和实分析基础相结合，避免了知识体系的碎片化。当然，这种风格也意味着它可能不太适合时间紧张、只想快速掌握计算技巧的读者。它要求你慢下来，细细品味每一个定义和证明的细微之处，像对待一部经典文学作品那样去阅读。

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如果一定要说这本书的“风格”有什么可以进一步探讨的地方，那也许在于它对现代计算方法和数值实现的讨论相对较少。它完全聚焦于解析理论的构建和证明的完善，对于如何利用计算机高效地求解涉及复变函数的实际问题，着墨不多。这既是它的优点——因为它保留了纯数学理论的纯粹性——也是它的一个时代局限性。例如，当涉及到更复杂、非解析的奇异点处理时，现代的数值方法往往能提供更直观的图像和更快速的近似解。然而，这本书的价值恰恰在于提供了坚实的理论基石，使得任何一个试图构建高级数值算法的人，都必须首先拥有这本书所提供的那些深刻洞见。它更像是数学工具箱中的“尺子”和“圆规”，强调的是精确的几何构建和逻辑推演，而非快速搭建一个临时性结构。因此，它更适合作为理论研究者的案头参考书，而非工程应用人员的速查手册，它的价值在于“为什么”，而非仅仅“怎么做”。

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读完这本书，最大的感受是思维的拓展，特别是关于留数定理的处理方式。市面上很多教材在介绍留数定理时，往往将其视为一个解决定积分问题的“工具”，推导过程虽然严谨，但总觉得少了些灵性。这本书则完全不同，它将留数定理置于一个更宏大的框架下进行阐述，强调了它与傅里叶分析、乃至整个泛函分析之间的内在联系。作者在推导过程中展现出的那种对数学逻辑链条的精妙把控，令人叹为观止。我记得有一章专门探讨了围道积分在物理学中的应用，它没有直接给出结论，而是通过一个巧妙的物理模型，引导读者自己去发现积分路径的选择如何影响最终的物理量。这种“启发式”的教学方法，虽然在阅读初期会稍微增加理解的难度，但一旦贯通，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它迫使我不仅要“知道”怎么做，更要“理解”为什么这样做是对的，这才是数学学习的精髓所在。

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这本书，初看上去，封面设计就透着一股沉稳与严谨，那种没有太多花哨装饰的风格，让人一眼就能感受到内容的分量。我是在大学时代偶然翻到它的，当时我对数学分析中的复变函数部分还停留在比较基础的理解上，总觉得那些概念像迷雾一样难以捉摸。这本书的优势恰恰在于它没有急于跳入那些高深的定理证明，而是花了大量篇幅在“直觉”的建立上。作者似乎深谙初学者的困境，通过大量的几何解释和生动的例子，将抽象的函数变换具象化。比如，在讲解共形映射时，它不仅仅是给出了柯西-黎曼方程，更是配以了丰富的图形说明，让我清晰地理解了为什么在局部范围内，函数可以保持角度不变。这种对基础概念的深耕细作，使得我对解析函数的“光滑性”和“唯一性”有了全新的认识。它不是一本单纯的公式汇编，更像是一位耐心且博学的导师，引导你一步步揭开复变函数那层神秘的面纱，让我开始享受在复平面上“漫游”的感觉。我尤其欣赏它对拉普拉斯方程在物理学中应用的探讨，虽然篇幅不长，但点到了关键，让理论不再是空中楼阁。

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