Developing Number Concepts Book Three pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Richardson, Kathy

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:1998-10

价格:$ 40.08

装帧:

isbn号码:9780769000602

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数字概念
• 小学数学
• 算术
• 基础数学
• 教育
• 教学
• 儿童数学
• 数学启蒙
• 概念学习

深入探索数字世界的构建基石：面向高阶学习者的数学概念整合与应用 导言：超越基础运算的思维进阶 本书旨在引导那些已经掌握了初级及中级算术和代数概念的学习者，迈向对数字系统、结构及其相互关系的更深层次理解。我们不聚焦于重复性的计算训练，而是致力于构建一个坚实的、能够支撑未来高等数学学习的认知框架。本书的编写哲学在于，真正的数学能力并非源自对既有公式的机械记忆，而是源于对概念之间内在逻辑的洞察和灵活应用。 本书将深入探讨一些关键的数学领域，这些领域是构建复杂数学思维不可或缺的基石。我们的目标是培养读者一种“数学直觉”，使他们能够在面对新问题时，能够迅速识别其核心结构，并将其与已知概念进行有效关联。 第一部分：数的本质与拓展——从整数到超越实数域的探索 本部分着重于对“数”这一基本概念进行再定义和系统性的扩展。我们不再将数视为简单的计数工具，而是将其视为代数结构中的元素。 第一章：数的体系与公理基础 我们将从皮亚诺公理（Peano Axioms）开始，回顾自然数是如何被严格定义的，这是所有后续数系构建的起点。在此基础上，我们将严谨地构造整数集（$mathbb{Z}$），重点讨论加法和乘法的封闭性、结合律、分配律以及零和负数的引入。 概念细化： 深入探讨有序性（Order Property）在整数域中的意义及其与运算的交互作用。 核心挑战： 论证为什么整数的构造是唯一且必须的，而非仅仅是一种约定俗成的规则。 第二章：有理数与稠密性 有理数集（$mathbb{Q}$）的引入标志着对“分割”概念的数学化。本章将详细分析有理数如何填补整数之间的“空隙”。 关键分析： 深入研究有理数的稠密性（Density Property），并使用反证法证明无理数（如 $sqrt{2}$）的存在性，从而揭示有理数系统的局限。 应用视角： 探讨有理数在比率、比例和早期微积分预备知识（如极限的直观理解）中的作用。 第三章：超越有理数——实数域的完备性与结构 实数集（$mathbb{R}$）是现代分析学和几何学的基础。本章将超越简单的数轴可视化，聚焦于实数集的拓扑性质。 构造性证明： 简要介绍戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列收敛性对实数集的严谨构造，使读者理解实数“连续性”的数学意义。 超越性思考： 讨论超越数（如 $pi$ 和 $e$）的特性，以及它们在解析学中的独特地位。 第四章：复数域的诞生与代数基本定理 复数（$mathbb{C}$）是对实数系统局限性的最终突破。本章将探讨复数如何通过引入虚数单位 $i$ 来解决所有二次方程的根式解问题。 几何表示： 详细阐述复数的几何意义——复平面（Argand Diagram）及其与二维向量空间的对应关系。 核心定理： 深入剖析代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra），理解它对多项式方程的根本性意义。 第二部分：代数结构与抽象化思维的萌芽 本部分将视角从具体的数拓展到描述数之间关系的“结构”。这是从算术思维向代数思维转变的关键阶段。 第五章：多项式的代数世界 多项式是描述自然界中大量现象的基础模型。本章将超越因式分解的技巧，侧重于多项式的代数性质。 根与系数的关系： 深入探讨韦达定理（Vieta's Formulas）在更高次多项式中的应用，以及对称多项式。 多项式环： 介绍多项式环 $mathbb{F}[x]$ 的概念，探讨多项式除法在结构上的重要性，及其在构建有限域中的潜在作用。 第六章：初识群论——对称性的数学语言 群论是现代数学中最具影响力的抽象代数分支之一。本章以对称性为切入点，介绍群的四个基本公理。 实例分析： 使用旋转群 $C_n$、二面体群 $D_n$ 和对换群 $S_3$ 来具体阐释子群、陪集（Cosets）和阶（Order）的概念。 同态映射： 初步引入同态（Homomorphism）的概念，说明结构如何在不同的数学对象间保持其核心属性。 第七章：环与域——代数运算的规范框架 在群的基础上，我们引入第二个二元运算，形成环（Ring）和域（Field）的结构。 区分关键： 明确区分环、整环（Integral Domain）和域之间的区别，特别是乘法逆元在定义中的决定性作用。 应用场景： 探讨整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $mathbb{F}[x]$ 以及如何通过商环的概念来构造新的代数结构。 第三部分：函数、关系与变换——连接代数与几何的桥梁 本部分探讨如何使用代数工具来描述和分析空间和变化。 第八章：函数：从映射到变换 函数被视为一种特殊的二元关系，是描述变量间依赖性的核心工具。 函数性质的深化： 详细分析单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）的严格定义及其在集合论中的意义。 反函数的构造与应用： 探讨在何种条件下反函数存在，以及反函数在求解方程和理解变换过程中的作用。 第九章：线性代数预备：向量空间与基 本章为后续深入学习线性代数打下坚实的基础，重点在于理解向量空间作为一种抽象代数结构的本质。 向量空间的定义： 严谨定义向量空间的公理，并举例说明它如何超越三维空间中的箭头概念（例如，函数空间、多项式空间）。 基与维数： 深入理解“基”（Basis）的概念，阐释维数（Dimension）是如何通过基的元素数量来确定的，这是线性无关性和完备性的体现。 结论：迈向更广阔的数学视野 本书的完成标志着学习者已经从“计算者”转变为“结构探索者”。通过对数系、代数结构和关系映射的系统性学习，读者已经具备了理解微积分、抽象代数和离散数学等高阶课程所需的核心思维工具。接下来的学习路径应侧重于将这些抽象概念应用于解决实际的、跨学科的问题，例如在密码学中应用群论，或在物理学中使用向量空间进行建模。本书提供的是“理解”的蓝图，而非“记忆”的清单。

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我注意到这本书的写作风格非常内敛且克制，很少使用口语化的表达或者过于热情的激励性语言。作者的文字精准、凝练，每一个句子似乎都经过了反复的斟酌，力求用最少的文字表达最精确的数学含义。这种风格对于已经有一定数学基础的读者来说，无疑是高效且令人信赖的，因为它避免了不必要的“填充物”，直击核心。然而，对于那些刚刚接触这些高等数学概念的读者群体，这种高度的凝练可能会在某些地方显得有些“冷峻”或难以亲近。例如，在解释某些复杂定理的直觉背景时，如果能穿插一两句更具解释性而非定义的白话，或许能帮助读者更好地建立对这些抽象概念的“画面感”。总而言之，这是一本服务于严肃学习者的文本，它的语言就像是精密的测量工具，准确无误，但需要使用者具备相应的解读能力才能发挥最大效用。

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在配套资源方面，这本书的设计显得比较传统。它似乎完全依赖于纸质文本本身来传达所有知识点，没有明确提及任何在线资源、交互式模拟软件或者配套的解题视频链接。当然，对于经典的数学著作而言，这种“纯粹性”本身也算是一种风格。但置身于当今这个多媒体学习资源爆炸的时代，缺少一些数字化的辅助工具，确实让学习过程中的某些环节略显滞后。比如，在处理需要空间想象力的几何部分时，如果能有一个简单的三维旋转模型演示，哪怕只是一个二维码链接指向的外部网页，都会对理解大有裨益。对于习惯了利用技术手段辅助学习的现代学生来说，这本书要求读者必须具备强大的自我构建三维空间模型的能力，这既是挑战，也是一种回归传统的训练。总体来看，它更适合那些偏爱沉下心来，通过纸笔和心智独立解决问题的学习者。

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这本书的价值，很大程度上体现在其对数学史料和不同学派观点的引述上。在讨论某个核心数学分支的发展脉络时，作者并没有采用单一的叙事线索，而是穿插引用了不同时期数学家（比如欧几里得、高斯、黎曼等）在解决同一问题时所采取的不同策略和哲学思考。这种多视角的呈现，极大地丰富了对数学本质的理解。它不再仅仅是公式和定理的堆砌，而变成了一部生动的思想史。我尤其欣赏作者在介绍“公理化方法”的起源时，对希尔伯特计划的深入剖析，没有停留在表面描述，而是探讨了其背后的逻辑哲学基础和面临的挑战。这种对“为什么是这样”的追问，比单纯介绍“是什么”要深刻得多。阅读这样的内容，我仿佛能感受到数学家们在历史长河中探寻真理时的挣扎与辉煌，这无疑提升了本书的学术厚度。

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这本书的章节组织逻辑严密得像是精密的机械结构，每一个概念的引入都建立在前一个概念的扎实基础之上，几乎没有跳跃感。作者在构建知识体系时，显然投入了大量心力来确保过渡的平滑性。我特别留意了其中关于抽象代数和群论基础的部分，作者的处理方式非常巧妙，先用生活中的对称性作为引子，逐步引入群的定义，而不是直接抛出公理。这种由具体到抽象的引导方式，极大地降低了初学者面对晦涩数学定义时的心理门槛。此外，每章末尾的“思考题”部分，难度梯度设置得非常科学，从简单的概念回顾到需要综合运用多项知识点的复杂推导，覆盖面很广。这些习题的设计，不仅仅是检验记忆，更多是引导读者去主动探索概念的边界和应用场景。阅读过程中，我感觉自己不是被动地接收信息，而是在一位经验丰富的向导带领下，一步步解开谜团，这种“主动学习”的感觉是很多同类书籍难以给予的。

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这本书的装帧设计相当朴实，封面上除了书名和作者信息，几乎没有多余的装饰，给人一种专注于内容的直观印象。内页的纸张选择偏向哑光质感，印刷清晰度令人满意，长时间阅读下来眼睛的疲劳感相对较低。不过，我认为在排版细节上，如果能对一些关键的数学符号和公式进行更突出的强调处理，或许能进一步提升阅读体验，尤其对于初学者来说，清晰的视觉层级非常重要。装订方式似乎采用了比较坚固的胶装，目测耐用性应该不错，可以承受频繁翻阅的磨损。侧边裁切得很整齐，整体来看，它更像是一本严谨的工具书或教材，而非追求视觉享受的出版物。整体的“手感”是沉稳且专业的，没有花哨的元素来分散对核心知识的注意力，这一点我很欣赏。书脊的宽度适中，放在书架上识别度很高，即便只从侧面看，也能一眼辨认出它在“数学”领域的定位。

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