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出版者:

作者:Li, Wei

出品人:

页数:285

译者:

出版时间:2010-1

价格:786.00元

装帧:

isbn号码:9783764399764

丛书系列:

图书标签:

• 数学逻辑
• 逻辑学
• 数理逻辑
• 集合论
• 模型论
• 证明论
• 递归论
• 一阶逻辑
• 谓词逻辑
• 元逻辑

好的，这是一本名为《拓扑学原理》的图书简介： --- 书名：《拓扑学原理》 简介 《拓扑学原理》是一部全面而深入的数学著作，旨在为读者系统地介绍拓扑学的基本概念、核心理论及其在现代数学中的重要地位。本书不仅是为高等院校数学专业本科生和研究生设计的标准教材，也适合希望深入了解几何学与分析学基础的数学爱好者和研究人员参考。 全书结构与内容概览 本书结构严谨，从最基础的点集拓扑学出发，逐步过渡到代数拓扑学的初步概念，力求在概念的清晰性与理论的深度之间取得完美的平衡。全书共分为八章，辅以丰富的例题和习题，旨在培养读者的几何直觉与严谨的数学证明能力。 第一部分：点集拓扑学基础 (第1章至第4章) 第1章：度量空间与拓扑空间概述 本章首先从读者熟悉的欧几里得空间中的邻域、距离和收敛性概念入手，引出度量空间的严格定义。随后，本书将这些直观概念提升至更抽象的层次，介绍拓扑空间的基本结构：开集、闭集、邻域系统和基（Base）。我们详细阐述了如何从一个集合上的拓扑结构出发，构造出丰富的拓扑性质，并讨论了拓扑空间中的连续性概念，将其与度量空间中的连续性进行比较和统一。本章末尾将介绍一些特殊的拓扑空间，如不可分离空间（Separation Axioms），为后续章节打下坚实基础。 第2章：连续函数与拓扑的保持 本章的核心在于深入理解拓扑空间之间的映射关系。我们详细探讨了连续函数的定义及其性质，特别关注开映射和闭映射。随后，本书引入了同胚（Homeomorphism）这一核心概念，它标志着两个拓扑空间在“拓扑意义上是相同的”。通过大量实例，读者将学会如何利用拓扑不变量（如连通性、紧致性）来证明两个空间不是同胚的。此外，本章也涵盖了商拓扑（Quotient Topology）的构造，这是理解复杂空间结构的关键工具。 第3章：连通性与路径连通性 连通性是拓扑学中描述“整体性”的关键性质。本章首先定义了拓扑空间中的连通性和路径连通性，并证明了在度量空间中，这两个概念是等价的。我们详细研究了连通空间的性质，例如，连通集的任意连续像仍然是连通的。本章的重点在于对基本群（Fundamental Group）的引入，尽管其严格定义将留待代数拓扑部分，但本章将用直观的“环路”和“形变收缩”的概念，阐述基本群作为衡量空间中“洞”的数量的拓扑不变量的潜力。 第4章：紧致性与海涅-博雷尔定理 紧致性是拓扑空间中最强大的性质之一，它与有限性密切相关。本章定义了紧致空间（通过开覆盖定义）以及其在度量空间中的等价形式——列紧性。我们将详尽证明著名的海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem），该定理将紧致性与有界闭集完美联系起来。本章还探讨了紧致空间上的连续函数性质，例如紧致集上的连续函数一定能达到其最大值和最小值。对紧凑性的深刻理解，对于后续泛函分析和微分几何的学习至关重要。 第二部分：结构与延伸 (第5章至第8章) 第5章：分离公理的深入探讨 本章将对第一章中引入的不可分离公理进行系统化梳理和深入研究。我们将详细阐述 $T_1, T_2$ (Hausdorff/分离) 公理，以及更强的 $T_3$ (正则) 和 $T_4$ (正规) 公理。特别是，本章将专注于正规空间的性质，并证明如 Urysohn 引理和 Tietze 延拓定理等基础而强大的工具。这些定理不仅是理论上的里程碑，也是构造特定拓扑结构的重要手段。 第6章：完备性与函数空间 在度量空间的基础上，本章引入了柯西序列的概念，并定义了完备性。完备性是分析学中的核心概念，例如巴拿赫不动点定理的成立就依赖于完备性。我们证明了完备空间的子空间继承完备性的条件，并讨论了Baire 范畴定理（Baire Category Theorem），该定理揭示了完备度量空间中非空开集的性质，是研究函数空间结构的关键。本章还将涉及函数空间（如连续函数构成的空间）上的拓扑结构，如紧致开收敛拓扑。 第7章：纤维丛与流形初步概念 本章是连接点集拓扑与微分几何的桥梁。我们首先介绍纤维丛的直观概念，侧重于向量丛的例子，如切丛。随后，本书将逐步定义拓扑流形，强调其局部欧几里得性的本质。通过对曲面（如球面、环面）的分析，读者将建立起对更高维流形的基本几何直觉。本章将着重于流形上的图册（Atlas）和过渡函数，这些都是理解微分几何和广义相对论的起点。 第8章：代数拓扑的初探：基本群的正式定义与计算 在掌握了点集拓扑后，本章将正式引入代数拓扑的思想。我们严格定义了空间 $X$ 相对于基点 $x_0$ 的基本群 $pi_1(X, x_0)$，它由所有从圆映射到 $X$ 的连续函数（环路）的同伦类构成。本书将详述如何证明基本群的构造是一个群，并利用它来解决一些经典的拓扑问题，例如证明 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{R}^{n+1}$ 不存在双射的拓扑等价性（尽管这是初级工具的限制，但展示了代数工具的威力）。本章将通过计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 作为代数拓扑的第一个胜利。 本书特色 严谨性与启发性并重： 证明力求详尽无遗，同时配有大量几何直观的解释。 深度与广度的平衡： 完整覆盖了现代拓扑学所需的基础知识，并为深入研究代数拓扑、微分几何和泛函分析做好准备。 习题设计： 每章末尾均设有难度分级的习题，旨在检验读者对核心概念的掌握程度和证明能力的培养。 《拓扑学原理》致力于将抽象的拓扑概念转化为清晰可感的数学结构，是拓扑学学习者不可或缺的权威指南。

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坦率地说，这本书在某些领域的讨论略显“保守”，它更专注于经典的一阶逻辑和其核心的完备性与可判定性问题，对于近几十年来新兴的非单调逻辑、模糊逻辑或者更具应用导向的模态逻辑（Modal Logic）的探讨相对简略，更像是一个坚实的“基石”而非包罗万象的“百科全书”。但这或许也是它的优点所在——它将精力集中于最核心、最不可动摇的逻辑基础之上，力求将其阐述到极致。我个人偏好探究逻辑在人工智能和哲学中的前沿应用，因此略感遗憾，但从教材的定位来看，它成功地建立了一个坚不可摧的理论地基。对于任何想要深入研究计算理论或基础数学的人来说，这本书是必不可少的“第一定律”学习资料。它迫使你直面那些最纯粹的数学挑战，让你明白，在逻辑的王国里，严密性高于一切，模糊地带是不被允许存在的。

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这本关于《数学逻辑》的书籍，从拿到手的那一刻起，我就被它深邃的内涵和严谨的结构所吸引。书中的论述层次分明，从最基础的命题演算出发，逐步深入到谓词逻辑、集合论的基石，再到更高级的可计算性理论和证明论。作者似乎有一种魔力，能将那些晦涩难懂的概念，通过清晰的定义和巧妙的例子，化繁为简。比如，在讲解“完备性定理”时，书中提供的证明路径异常清晰，每一步的逻辑推导都像精密的手术刀一样精准无误，让人在跟随作者思绪前进的过程中，不仅理解了定理本身，更领悟了其背后的深刻哲学意涵。阅读过程中，我时常需要停下来，反复咀嚼那些看似简单的符号和公式，感受它们构建起整个逻辑世界的壮丽图景。对于想要系统学习形式化思维的读者而言，这本书无疑是一份宝贵的财富，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的塑造，引导你用最纯粹、最无懈可击的方式去审视和构建世界。尽管某些章节需要投入大量时间去消化，但最终的收获绝对是值得的，它拓宽了我对“真理”和“证明”的认知边界。

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这本书给我带来的最深层次的触动，在于它如何不动声色地重塑了我对数学本身本质的看法。阅读《Mathematical Logic》的过程，就像是拆解一个精密的时钟，去看清楚每一个齿轮是如何啮合，从而驱动整个宏大系统的运行。它揭示了数学家赖以生存的“确定性”的来源——形式化系统。在学习了形式推导规则和语义解释之后，我开始重新审视那些我过去视为“不证自明”的数学直觉。书中对“可定义性”和“递归函数”的阐述，让我清晰地看到了计算能力与逻辑表达能力的深刻关联，这对于理解现代计算机科学的极限至关重要。这本书的文字风格极为克制，几乎没有多余的情感渲染，但正是这种冷静的叙述，反而带有一种震撼人心的力量，它让你清晰地看到人类理性思维所能达到的最清晰、最自洽的结构。它不是一本轻松的读物，但它无疑是一次对心智进行深度打磨的非凡旅程。

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这本书的排版和习题设置是其一大亮点，极大地提升了学习体验。通常，逻辑类的教材在视觉上容易显得枯燥乏味，但《Mathematical Logic》的排版设计非常考究，符号和公式的间距合理，关键概念的强调也恰到好处，即便是面对长篇的证明，阅读起来也不会感到视觉疲劳。更重要的是，配套的练习题并非简单重复概念，而是巧妙地设计成引导性的探究任务。我记得有几道关于Löwenheim-Skolem定理的习题，它要求我们自己构造具有特定性质的模型，这种“动手”的过程远比单纯记忆结论来得深刻。通过这些练习，我对公理化方法论的理解得到了质的飞跃，明白了逻辑工具如何成为数学家手中最锐利的武器。对于希望通过实践来巩固理论的读者来说，这本书提供了近乎完美的实践平台，它激励你不仅要学会“是什么”，更要探究“如何做”以及“为什么是这样”。

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读完这本《Mathematical Logic》后，我最大的感受是它在覆盖面上的广度和深度上都达到了一个令人敬佩的水平。这本书似乎没有放过任何一个重要的里程碑式的成果，从哥德尔的开创性工作到塔斯基的可判定性结果，都有着相当详尽的阐述。我尤其欣赏作者在处理那些历史脉络时的细腻笔触，比如如何从早期的直觉主义与经典逻辑的争论中，一步步凝练出现代数理逻辑的核心框架。书中对模型论（Model Theory）的介绍尤为精彩，它不仅仅停留在形式化的定义上，还深入探讨了这些抽象结构在不同数学分支中的应用和暗示。我感觉自己仿佛在进行一场跨越世纪的学术对话，与那些站在巨人肩膀上的前辈们一同探索逻辑的疆域。然而，对于初学者来说，这本书的门槛可能会略高，某些段落的跳跃性较大，需要读者具备一定的预备知识，否则可能会感到有些吃力。但正是这种“不迎合”的姿态，保证了其内容的纯粹性和学术价值，让它成为一本可以反复研读，每次都能发现新大陆的经典之作。

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