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出版者:

作者:Wylie, Clarence Raymond

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2009-5

价格:$ 22.54

装帧:

isbn号码:9780486472140

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 基础
• 欧几里得几何
• 公理化几何
• 数学史
• 几何证明
• 平面几何
• 立体几何
• 数学教育
• 高等数学

好的，这是一本关于现代拓扑学基础的图书简介，内容将完全围绕拓扑学的核心概念展开，避开与《Foundations of Geometry》中欧几里得或微分几何相关的内容。 --- 现代拓扑学导论：从点集到形变 概述 本书旨在为读者构建一个严谨而直观的现代拓扑学框架。拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，关注的是在连续形变（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。它提供了一种超越传统度量和角度衡量的通用语言，用以描述空间、连接性和极限的本质。本书侧重于点集拓扑学（General Topology）的严谨基础，并适当地引入代数拓扑学的初步概念，为深入研究流形、代数几何或微分几何打下坚实的基础。 全书的叙事线索将从集合论的精确性出发，逐步过渡到抽象空间的概念化，最终触及拓扑空间的分类和构造性工具。 第一部分：点集拓扑学的基石 (The Foundations of Point-Set Topology) 本部分聚焦于定义拓扑学的核心结构：开集、闭集、邻域和连续性。我们首先在集合的层面上建立严格的公理体系，避免任何预设的度量结构。 第1章：预备知识与集合论基础回顾 虽然本书假定读者具备基础的集合论知识，但我们仍将快速回顾必要的工具，如集合的笛卡尔积、函数（映射）的性质、反函数与逆映射，以及最关键的——等价关系与商集的概念。对序关系的理解将为后续的紧致性、连通性概念做铺垫。 第2章：拓扑空间的定义与构造 本章是全书的逻辑起点。我们将详细探讨拓扑空间的公理化定义：开集的族如何满足空集与全空间的包含性、开集的任意并和有限交的性质。 随后，我们将引入基（Basis）和相对拓扑（Subspace Topology）的概念。我们将分析标准欧几里得空间中的拓扑是如何由开球导出的，并对比有限补拓扑、特定点拓扑等非标准构造，以体会拓扑结构的多样性。洛克尔（Locality）的概念，即邻域的精确描述，将被深入探讨。 第3章：连续性与拓扑同胚 连续性是拓扑学的核心操作。我们不仅会给出基于“开原像”的经典定义，还会探讨其等价表述，例如使用闭集和邻域的语言。 拓扑同胚（Homeomorphism）的概念将作为区分拓扑空间的最终标准。我们将分析同胚的性质：它必须是双射且双射的逆映射也是连续的。通过大量实例（如环面与咖啡杯的类比，以及它们如何与球面区分），读者将理解拓扑等价的几何直觉与代数验证的结合。 第4章：重要的拓扑性质——连通性与紧致性 本章致力于研究空间在形变下保持不变的宏观特性。 连通性（Connectedness）： 空间是否可以被分解为两个不相交的开集的并集？我们将引入路径连通性（Path-Connectedness）作为更强的连通概念，并论证在许多重要空间中两者是等价的。对连通分支的分析将帮助读者理解空间的“块状”结构。 紧致性（Compactness）： 这是拓扑学中最微妙也最强大的性质之一。我们采用开复盖的有限子覆盖定义，并详细分析其在$mathbb{R}^n$上的退化形式——Heine-Borel定理。紧致性如何保证连续函数可以达到其最大值和最小值，是本章的重点应用。 第5章：收敛性、完备性与可分离性 本部分开始从“点”的极限行为着手，引入超越基本拓扑定义的更精细结构。 序列与极限： 在一般拓扑空间中，序列的收敛性不再是唯一的工具，但我们仍将分析序列紧致性与可数紧致性。 分离公理（Separation Axioms）： 从$T_1$空间到豪斯多夫空间（Hausdorff, $T_2$）的提升，是保证空间中不同点拥有不相交邻域的关键。我们将探讨正则性 ($T_3$) 和正规性 ($T_4$)，并证明在这些高阶分离空间中，紧致子集必须是闭集。 可数性条件： 介绍第一可数性（允许用邻域基来定义收敛）和第二可数性（存在可数的基），这些条件对于构建现代分析学的基础至关重要。 第二部分：拓扑空间的构造与商空间 (Construction and Quotient Spaces) 本部分关注如何从已知的拓扑空间构造出新的、更复杂的空间。 第6章：乘积空间与函数空间 我们将定义乘积拓扑（Product Topology），它允许我们将无限多个空间组合起来，例如构建$mathbb{R}^n$或希尔伯特空间的基础。我们将利用Tychonoff定理（需要紧致性假设）来描述乘积空间的紧致性。 接着，我们探索紧致开放拓扑（Compact-Open Topology），这是研究连续函数空间（函数空间）的标准方法，为泛函分析和微分拓扑的入门打下基础。 第7章：商拓扑：构造复杂空间的核心工具 商拓扑是理解现代几何形状的关键。它通过等价关系将一个空间“粘合”起来。 我们将详细分析商空间的定义：子集 $A$ 在商空间中的开性取决于其原像 $p^{-1}(A)$ 的开性。通过具体的例子，如圆的构造（将线段的端点等同），莫比乌斯带和射影平面的构造过程，读者将掌握如何用代数方式精确描述拓扑形变的最终结果。我们将严格证明在什么条件下，商映射是连续的。 第三部分：拓扑空间的分类与连接 (Categorization and Connectivity) 在掌握了基本工具后，本部分转向更高级的分类工具，主要集中在代数拓扑的入口。 第8章：同伦：连续形变的代数不变式 本章引入同伦（Homotopy）的概念，这是对拓扑同胚的放松——允许空间沿着一条连续的“路径”被形变。 路径与循环： 定义基础的路径概念，以及从点 $x_0$ 出发的循环。 基本群（Fundamental Group）： 我们将使用循环的同伦类来构建基本群 $pi_1(X, x_0)$。这个群是空间的一个拓扑不变量，它能够区分许多在点集拓扑中无法区分的空间（例如，圆盘和圆环）。我们将计算 $mathbb{R}^n$ 和圆环 $S^1$ 的基本群，展示其非平凡性。 第9章：布尔工具箱：连续函数与极限 本章回顾拓扑学如何服务于分析学。 Urysohn引理与Tietze扩展定理： 这些定理展示了在强分离空间中，局部性质如何推广到全局，是连接拓扑学与函数空间的桥梁。 极限与滤子（Filters）： 简要介绍极限的更一般化工具——滤子，用于处理比序列更一般的收敛概念，这在紧致性等价性的证明中至关重要。 --- 适合读者 本书面向具备微积分和基础线性代数知识的数学、物理和工程专业学生。它尤其适合希望在进入微分几何、流形理论、代数拓扑或广义相对论之前，建立起对“空间”这一概念的严格、抽象理解的读者。本书的结构强调从定义到定理的严谨推导，同时辅以丰富的几何直觉案例分析。

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拿到这本书，我就有一种被深深吸引的感觉。它并非那种轻飘飘的读物，而是厚重且充满知识密度。我非常好奇它会以何种方式切入“几何学基础”这个主题。是会从抽象的公理系统出发，定义点、线、面这些基本概念？还是会先从我们日常生活中常见的几何现象入手，比如自然界的对称性，建筑物的结构，来激发读者对几何学的兴趣？我更倾向于后者，因为在我看来，真正好的学术书籍，应该能够将枯燥的理论与生动的现实联系起来。我期待这本书能够深入探讨欧几里得几何的公理体系，解释为什么这些公理是如此重要，以及它们如何塑造了我们对空间的理解。同时，我也希望它能触及非欧几里得几何，甚至是更现代的微分几何，去展示数学家们如何打破传统思维的束缚，拓展了几何学的边界。这本书，在我看来，不仅仅是关于几何知识本身，更是关于一种思维方式，一种探索未知，挑战权威的科学精神。

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这本《Foundations of Geometry》给我的第一印象是，它是一本可以让你“坐下来”认真阅读的书。封面和封底的简洁设计，没有过多的装饰，传递出一种回归本质的信号。我猜测它会从最基础的几何概念出发，比如点、线、面，甚至是空间本身的定义，然后逐步建立起一个严谨的公理体系。我非常期待它如何解释“公理”和“公设”在几何学中的地位，以及这些看似简单的命题是如何支撑起整个庞大的几何学大厦的。我想到，它可能会涉及如何从这些基本假设推导出各种定理，比如勾股定理，三角形全等定理等等。这些证明过程，往往是几何学习中最具挑战性也最有成就感的部分。我希望书中能够提供清晰的步骤和详细的推理，让读者能够跟上作者的思路，而不是被一堆符号和公式弄得晕头转向。这本书，与其说是一本知识的传递者，不如说是一位耐心的引导者，它会带领你一步步地去理解几何学背后深刻的逻辑之美，那种从简单到复杂，从抽象到具体的思想过程。

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当我第一次翻开这本书，一股扑面而来的严谨气息瞬间将我包裹。它并不是那种旨在娱乐读者，用大量的图片和浅显的文字来“普及”概念的书。相反，它似乎在邀请你进入一个需要沉思和逻辑推理的世界。我预感这本书的语言会非常精炼，每一个词语都承载着精确的数学意义，没有丝毫的冗余。我特别好奇它会如何处理那些抽象的概念，比如点、线、面、角这些最基础的几何元素，是在概念层面给出清晰的定义，还是会通过公理和公设的引入，来构建起整个逻辑框架。我脑海中闪现的场景是，书页上密密麻麻的符号和公式，配合着清晰的几何图形，一步步地引导读者去理解那些至关重要的定理和证明。我甚至在想，作者会不会在其中加入一些历史性的注解，比如某个重要定理的发现过程，或是某个数学家在几何学发展史上的贡献，那样的话，这本书的阅读体验会更加丰富。这不只是一本关于几何的书，更像是一次智力探险，一次对理性思维的深度训练。

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这本书的封面设计真是让人眼前一亮，深沉的蓝色背景搭配着烫金的字体，散发出一种沉静而又庄重的学术气息。我拿到它的时候，就觉得它不像是市面上那些花哨的科普读物，而是真正有分量的学术著作。书页的纸张也非常舒服，不是那种泛着油光的铜版纸，而是略带哑光的，摸上去有种温润的质感，即便是长时间翻阅，也不会觉得眼睛疲劳。它的装帧也很扎实，打开书页时，能够感觉到一种恰到好处的阻尼感，不会轻易散开，也不会硬邦邦的。我还在思考，这本书的开篇会以怎样的宏大叙事来展开，是直接进入公理体系的严谨论证，还是会从历史的溯源讲起，比如古希腊几何学的辉煌，又或是欧几里得《几何原本》的诞生，以及它如何深刻地影响了后世的数学和科学发展。我尤其期待它是否会探讨不同几何学派之间的思想碰撞，比如欧氏几何与非欧几何的出现，以及它们如何拓展了我们对空间本质的认知。这本书的光是拿在手里，就已经传递出一种“干货满满”的信息，让我迫不及待想要潜入其中，去探索那隐藏在数字和线条背后的宇宙奥秘。

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这本书的体量和纸质，都散发出一种“硬核”学术气息。我猜想它的内容会相当扎实，可能不会有多少图画，更多的是精炼的文字、符号和严谨的论证。我特别期待它对“公理”的解读，会如何解释这些最基础的、不证自明的命题在整个几何学体系中的作用，以及它们如何构建起一个逻辑自洽的世界。我设想，它可能会从最简单的点、线、面开始，通过一系列的定义和公设，逐步推导出各种复杂的定理，比如三角形的内角和等于180度，勾股定理等等。这些证明过程，对于想要深入理解几何学的人来说，至关重要。我希望书中能够提供清晰的推导步骤，让读者能够真正理解每一个逻辑跳跃是如何发生的。此外，我也好奇它是否会涉及一些比较“前沿”的几何概念，比如拓扑学，或是微分几何，去展示几何学是如何在不断演进和发展的。这本书，对我而言，更像是一次对数学思维严谨性的深度体验，一次对理性逻辑的终极探索。

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