Linear and Projective Representations of Symmetric Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Kleshchev, Alexander

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:2009-3

价格:$ 73.45

装帧:

isbn号码:9780521104180

丛书系列:

图书标签:

• Symmetric Groups
• Representation Theory
• Linear Representations
• Projective Representations
• Group Theory
• Algebra
• Mathematics
• Combinatorics
• Lie Theory
• Symmetry

好的，这里是一份针对一本名为《线性与射影表示论：对称群的视角》的图书的详细介绍，内容完全聚焦于该书所涵盖的数学主题，而不涉及您提到的特定书名中的其他部分。 --- 书名：线性与射影表示论：对称群的视角 (Linear and Projective Representations of Symmetric Groups: A Viewpoint) 图书简介 本书深入探讨了有限群表示论中的一个核心且富有挑战性的分支——对称群的线性与射影表示。作为代数结构中的基石，对称群 $S_n$ 及其在各种代数结构（如向量空间、张量积和群环）上的作用，为理解更高维代数和组合学中的对称性提供了必要的工具。本书旨在为研究人员、高级研究生以及对组合表示论、群论和几何学交叉领域感兴趣的数学家提供一本全面且深入的参考指南。 全书结构严谨，逻辑清晰，从基础概念逐步构建起对复杂表示理论的深刻理解。我们首先回顾了群表示论的基本定义、等价性、可约性与不可约性，并重点介绍了 Schur 定理及其在有限群理论中的重要地位。 第一部分：对称群的基础与结构 本书的开篇聚焦于对称群 $S_n$ 的结构特性。我们详细分析了 $S_n$ 的共轭类，并展示了它们如何与 $n$ 的整数分区建立起一一对应关系。这一联系是理解 $S_n$ 表示的起点。接着，我们深入讨论了群环 $mathbb{C}[S_n]$ 的结构，特别是其半单性，以及如何利用投影操作符（Idempotents）来分解群环为直和。 第二部分：线性表示：经典理论与构造 本书的核心在于详细阐述 $S_n$ 的线性（即忠实或非忠实）表示。我们系统地介绍了 Specht 模块和 Specht 多项式，这是构造 $S_n$ 不可约线性表示的基础。 1. Young 图形与 Young 模： 我们详细解释了 Young 图形如何编码分区的结构，并介绍了 Standard Young Tableau (SYT) 在构建基底上的关键作用。Specht 模块 $S^lambda$ 的构造通过 Young 模 $M^lambda$ 及其子模块的分解过程被清晰阐述。 2. 特征标理论： 书中详尽分析了 $S_n$ 的特征标，特别是如何利用 Frobenius 公式和 Hook-Length 公式计算特征标的值。我们将 Schur 函数与对称群的特征标联系起来，展示了它们在多变量对称性研究中的应用。 3. 内积与正交性： 对于线性表示，我们严格推导了 Schur 正交性定理，并讨论了其在表示分解和计算维度上的直接应用。 第三部分：射影表示：超越线性约束 本书的独特之处在于对对称群的射影表示（Projective Representations）的深入分析。射影表示是满足群乘法关系，但仅在某个单位因子 $omega$ 下成立的表示。 1. 2-上链群与 Schur 上因子： 我们首先介绍了群的上同调理论，特别是群 $G$ 的上中心群 $H^2(G, mathbb{C}^ imes)$，并展示了 $S_n$ 的二阶上同调群的精确结构。这直接导出了“上因子”（Factor System）的概念，它是所有射影表示的决定性参数。 2. 升幂与降幂表示： 我们详细探讨了如何从已知的线性表示提升（或“提升”）到射影表示，以及如何通过投影表示来构造新的线性表示（即周期的线性化）。 3. 二重覆盖与Spin结构： 对于 $S_n$（特别是 $n ge 2$），我们重点讨论了其二重覆盖群 $ ilde{S}_n$（即对称群的二重覆盖，或称为 Braid 群的某些性质的关联）。$ ilde{S}_n$ 的表示（通常被称为“半整数量子化表示”或“Weyl-Schur 理论”）是理解自旋结构和拓扑场论中对称性的关键。我们展示了 $ ilde{S}_n$ 的不可约表示是如何通过符号表示和非符号表示来构造的。 第四部分：应用与现代视角 最后一部分将理论知识置于更广阔的背景中进行考察。 1. 与辫群（Braid Groups）的关系： 我们讨论了 $S_n$ 与 Artin 辫群 $B_n$ 之间的关系，特别是它们在量子群理论和结理论中的联系。射影表示在研究辫子关系的“扭曲”特性中扮演了至关重要的角色。 2. 杨-巴克斯特方程（YBE）： 我们探讨了对称群表示与可积系统之间的深刻联系，特别是如何利用特定类型的 $S_n$ 表示来构造 Yang-Baxter 方程的解。 3. 几何与组合： 书中展示了如何将表示论工具应用于组合对象，例如通过 Gelfand-Tsetlin 基和旗流形上的作用来几何化表示的结构。 本书内容高度技术化，旨在为读者提供一个关于对称群表示理论全面且深入的现代视角，特别强调了从经典线性表示到更精细的射影结构之间的转化和统一。通过大量的例子和明确的证明，本书致力于弥合纯粹代数理论与其实际应用之间的鸿沟。

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我一直对群论及其在代数几何和拓扑学中的应用很感兴趣，而对称群的表示理论无疑是这个领域中的一个重要分支。《Linear and Projective Representations of Symmetric Groups》这个书名精准地定位了我所期望的内容。我对书中关于对称群的结构，特别是其子群、正规子群以及生成元的性质的介绍充满期待，因为这些是理解其表示理论的基础。 尤其吸引我的是“Linear Representations”这部分，我希望书中能够详细介绍如何通过分类Young图来构建对称群的不可约线性表示，并阐述其与对称群的特征标理论的紧密联系。同时，我也希望书中能够深入探讨“Projective Representations”，理解其与线性表示的联系，以及在何种情况下需要使用投影表示。例如，我很好奇书中是否会涉及与对称群的中央扩展（central extensions）相关的理论，以及如何从这些扩展中构造投影表示。

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这本书的题目《Linear and Projective Representations of Symmetric Groups》立刻让我联想到在理论物理，特别是量子力学领域中，对称性扮演的核心角色。对称群作为描述系统对称性的数学语言，其表示理论直接关联到物理量的分类和行为。我特别好奇书中会如何从数学的角度阐释对称群的线性表示如何对应于物理系统中的可观测量（observables）的变换性质，以及不可约表示如何对应于基本粒子或量子态的内禀属性。 而“Projective Representations”的引入，则让我联想到更深层的物理对称性，例如手征对称性（chiral symmetry）或者非阿贝尔规范对称性（non-abelian gauge symmetry）在某些理论中的表现。我希望书中能够提供一些具体的物理应用案例，说明投影表示在描述某些物理现象时所必需的，以及它如何能够捕捉到线性表示无法完全描述的微妙物理效应。例如，在自旋（spin）的处理中，我们经常需要用到二重覆盖群的表示，这本书是否会触及这方面的内容？

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这本书的书名《Linear and Projective Representations of Symmetric Groups》一眼就抓住了我对抽象代数和组合数学交叉领域的兴趣。我一直对对称群的表示理论，特别是线性表示，如何揭示其内在结构和对称性感到着迷。同时，投影表示的引入也预示着对更深层次、更微妙的群结构探索。对称群在物理学（如量子力学、粒子物理学）和计算机科学（如算法分析）中的广泛应用，使得对它们表示理论的深入理解显得尤为重要。我期待这本书能够系统地介绍这两种表示的定义、性质以及它们之间的联系。 特别地，我对书中关于对称群的不可约线性表示的讨论寄予厚望。我知道这些表示与Young图和Young पद्धतीने密切相关，并且它们构成了对称群表示理论的基石。我希望书中能够详细阐述如何从Young图构造不可约表示，以及如何计算其维度和特征标。这些知识不仅是理论上的优雅，更是解决实际问题的强大工具。此外，我也对书中关于外群、内积以及表示的张量乘积的计算方法感兴趣，这些都是进一步探索更复杂表示的关键。书中是否会涉及 Schur-Weyl 对偶等重要结果，这将是我判断其内容深度的一个重要标准。

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从书名《Linear and Projective Representations of Symmetric Groups》来看，这本书似乎触及了我近期研究中一个非常关键的数学工具。我一直对代数结构中的“对称性”概念情有独钟，而对称群正是刻画这种对称性的核心对象。我尤其关注代数表示论，即如何通过向量空间上的线性变换来“描绘”群的抽象结构。对于对称群而言，其线性表示理论的丰富性和深度是有目共睹的，我希望这本书能系统地梳理这方面的知识，并提供一些前沿的视角。 “Projective Representations”这一部分更是让我眼前一亮。这部分内容通常比标准的线性表示更为复杂，涉及到群的覆盖群以及非平凡的2-cocycle。我希望书中能够清晰地界定投影表示的概念，解释其与线性表示的根本区别，并提供构造和分析投影表示的系统方法。例如，我非常有兴趣了解书中是否会涉及对某些特定对称群（例如，具有非平凡中心扩张的群）的投影表示的详细研究，以及这些表示在其他数学分支（如代数几何、表示论本身）中的应用。

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作为一名对数学理论的严谨性和逻辑性有着极高要求的读者，我对《Linear and Projective Representations of Symmetric Groups》抱有很高的期望。书名中的“Projective Representations”引起了我特别的关注，因为这部分内容通常比线性表示更加复杂，且在某些数学和物理场景下具有更广泛的应用。我希望书中能够清晰地解释投影表示的定义，以及它与线性表示之间的本质区别和联系，例如通过群的覆盖群（covering group）来理解。 此外，我对书中关于如何分类和构造投影表示的讨论非常感兴趣。这是否会涉及到对对称群的某些扩展（如二重的覆盖群）的研究？书中是否会提供具体的算法或方法来计算投影表示的特征标，并探讨它们的性质，例如可约性、不可约性以及它们如何与线性表示相关联？我希望作者能够以一种既严谨又易于理解的方式来呈现这些概念，并通过丰富的例子来辅助说明，帮助读者深入理解投影表示的精妙之处。

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