Continued Fractions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Jones, William B./ Thron, W. J./ Browder, Felix E. (FRW)/ Henrici, Peter (INT)

出品人:

页数:460

译者:

出版时间:2009-2

价格:$ 114.13

装帧:

isbn号码:9780521101523

丛书系列:

图书标签:

• Continued Fractions
• Number Theory
• Mathematical Analysis
• Diophantine Equations
• Algorithms
• Approximation
• Rational Numbers
• Real Numbers
• Mathematical Functions
• Series

《非连续分数理论导论》 作者： [此处可虚构一位数学家的名字，例如：亚历山大·科瓦列夫斯基] 出版商： [此处可虚构一家学术出版社的名称，例如：普林斯顿大学出版社] 页数： 约 650 页 定价： [此处可虚构一个价格，例如：$85.00] --- 导言：超越寻常的数论景观 本书旨在为读者提供一个关于“非连续分数理论”（Theory of Non-Continuous Fractions）的全面而深入的导览。尽管“连续分数”（Continued Fractions）在数论、代数以及函数逼近理论中占据着核心地位，然而，数学的疆域远比我们习以为常的陈述更为广阔。本书将目光投向那些结构上与经典连分式截然不同，但在某些特定数学问题中展现出惊人力量和美感的数表述形式。 非连续分数，作为一种更具泛化性和灵活性的结构，挑战了我们对“无穷序列展开”的传统认知。我们不再局限于要求部分必须以固定的加性或乘性形式递归出现，而是探索了更复杂、更非线性的展开机制。这种理论不仅拓宽了代数数和超越数的表示边界，也为研究离散动力系统和某些非欧几何结构提供了全新的代数工具。 本书的叙事结构旨在引导读者从基础概念出发，逐步深入到该领域的前沿研究。它将假设读者具备扎实的实分析、初等数论以及基础抽象代数知识，但所有涉及非连续分数的独特定义和引理都将在书中被详尽阐述。 第一部分：基础构建与概念辨析（第 1 章 - 第 5 章） 第 1 章：对“连续性”的重新审视 本章首先回顾了欧拉、拉格朗日等人对标准连分数的经典定义、收敛性证明及其在有理数和二次无理数展开中的应用。随后，我们引入了对“连续性”这一概念的哲学和数学批判。我们探讨了为什么在某些情况下（例如，当系数序列的增长率不满足严格的单调或有界条件时），传统的收敛定理会失效，从而催生了对更广义表示形式的需求。 第 2 章：广义分数序列的拓扑空间 我们建立了描述广义分数展开的数学框架。这包括定义一个适用于非标准结构（如多重嵌套、交错结构或依赖于前序项的系数）的度量空间。重点讨论了“局部收敛”与“全局收敛”之间的区别，并引入了基于 $p$-adic 范数的非标准收敛概念。 第 3 章：双向与多维分数结构 经典连分数是单向（通常为从左到右）的展开。本章探讨了双向分数（Bidirectional Fractions），即同时具有上部和下部无穷递归项的结构，以及它们在解某些二阶线性差分方程中的作用。我们还初步引入了高维（如二维或三维晶格上的）分数展开，这与晶体结构理论中的某些周期性问题有所关联。 第 4 章：交错与分段定义的分数 许多自然界和物理模型中出现的数列并非均匀重复。本章聚焦于具有周期性变化或由不同规则交替生成的“交错分数”。例如，$({a_n}_{n ext{ even}}, {b_n}_{n ext{ odd}})$ 结构的分数，以及那些仅在特定区间内遵循代数规则的“分段定义分数”。 第 5 章：基于函数方程的展开 我们将重点放在那些不是由数序列直接生成，而是作为特定函数方程（特别是超越函数方程）的解所自然产生的分数结构。这包括对特定形式的椭圆函数和模函数展开的探究，其中展开项可能依赖于一个复杂的参数集而非简单的整数序列。 第二部分：代数与解析性质（第 6 章 - 第 10 章） 第 6 章：非连续分数的代数不变量 本章研究如何对一个非连续分数进行“约简”或“规范化”。我们定义了与特定分数结构相关的代数不变量，例如其“阶数”和“自由度”。通过分析这些不变量，我们可以确定两个看似不同的分数展开是否实际上代表了同一个代数数。 第 7 章：逼近性质与最佳有理逼近的泛化 标准连分数以其提供“最佳有理逼近”而闻名。本章将这一概念扩展到更一般的代数数和超越数。我们探讨了在非连续框架下，哪些特定的分数展开能够提供在某个特定范数意义下的最优逼近，这对于数值分析中的误差界限至关重要。 第 8 章：非线性迭代与分数生成 我们将探究那些通过非线性迭代过程生成的广义分数。例如，考虑由 $x_{n+1} = f(x_n, a_n)$ 产生的序列展开，其中 $f$ 是一个非线性函数。这部分内容将与混沌理论和迭代函数系统中的分形几何结构产生深刻联系。 第 9 章：与丢番图方程的关联 本章深入探讨了非连续分数在求解高阶或非标准形式丢番图方程中的应用。我们展示了如何通过将方程的解表示为一个特定的非连续分数，从而将一个复杂的整数解问题转化为对分数系数序列的约束问题。 第 10 章：超越数的新表示法 我们利用非连续分数的灵活性来构造一些经典理论中难以处理的超越数的新的、更简洁的展开形式。例如，某些特定形式的 $pi$ 或 $e$ 的推广形式，它们的展开不再是简单的 $[a_0; a_1, a_2, dots]$ 形式，而是带有交替权重或分支结构。 第三部分：应用与前沿探索（第 11 章 - 第 15 章） 第 11 章：离散动力学中的应用 非连续分数自然地出现在对某些离散映射（如对数映射或三次映射）的长期行为的分析中。本章展示了如何利用这些分数结构来描述系统的周期性、准周期性乃至混沌状态的演化路径。 第 12 章：非欧几何中的测地线表示 在某些具有曲率的几何空间（如双曲空间）中，测地线的参数化有时无法用标准连分数简洁地描述。本章提出了一种基于非连续分数的参数化方法，用于描述这些空间中的最短路径，并与庞加莱模型的表示法进行对比。 第 13 章：代数几何中的模块化函数 我们将研究非连续分数如何作为某些椭圆曲线模空间中的参数化工具。特定结构的分数序列可以被映射到这些代数簇上的点，提供了一种代数方法来研究其拓扑性质。 第 14 章：信息论与编码理论的视角 在信息压缩和信源编码中，对序列的有效描述至关重要。本章探讨了非连续分数的“信息密度”，即用最少的系数项来精确或近似表示一个特定数学对象的效率。我们提出了基于非连续扩展的“最优序列编码方案”。 第 15 章：开放性问题与未来展望 本章总结了当前非连续分数理论中尚未解决的关键问题，包括更普遍的收敛性判据、与量子场论中某些重整化方案的潜在联系，以及探索更深层次的代数拓扑结构。本书的最终目的，是激发研究者在看似熟悉但实则隐藏着巨大复杂性的数学领域中，继续前行。 --- 本书特点： 严谨的数学推导： 包含了超过 200 个全新的定义和引理的详细证明。 丰富的实例： 穿插了大量的具体数字例子，帮助读者理解抽象概念。 跨学科的联系： 明确指出了该理论与动力系统、代数几何和数值分析的交叉点。 面向研究人员和高年级研究生： 适合希望深入研究数论新方向的专业读者。

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这本《Continued Fractions》给我带来了一种全新的视角，让我对看似简单的分数世界有了更深刻的认识。书中的阐述方式非常引人入胜，即使是对于我这样没有深厚数学背景的读者，也能逐渐理解其中蕴含的逻辑。我特别欣赏作者在介绍每个概念时，都会从历史渊源和实际应用出发，这使得学习过程变得更加生动有趣。例如，书中在讲解如何将一个无理数表示成连分数时，详细描述了其迭代过程，并将其与几何上的分割联系起来，这真是一种巧妙的 bijection 。我能想象，通过这本书，我将能够更好地理解那些看似无法计算的数字，并找到它们最优雅的近似形式。

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《Continued Fractions》这本书是一次令人惊喜的发现。它以一种非常有条理的方式，揭示了连分数在数学各个分支中的重要作用。我之前对连分数的认识非常有限，只知道它与求解方程有关，但这本书让我看到了它的广度和深度。从初等数论到代数数论，再到甚至可能涉及的某些分析学问题，连分数都扮演着关键的角色。书中详细的证明过程，虽然需要仔细揣摩，但每一步都充满了严谨的逻辑，让人信服。我开始意识到，掌握了连分数，就如同获得了一把解锁数学宝藏的钥匙。

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我一直对数学中的“美”感到着迷，而《Continued Fractions》这本书恰恰展现了数学中一种别样的、深刻的美。它不仅仅是关于公式和定理的堆砌，更是一种对数与数之间关系的精妙探索。书中的插图虽然不多，但每一张都恰到好处地服务于概念的阐释。我特别喜欢书中关于“黄金分割”的章节，它将一个抽象的比例关系，通过连分数的视角，展现得如此清晰和自然。我仿佛能看到一个无限延伸的楼梯，每一步都通向一个更完美的比例，这是一种令人心旷神怡的数学体验。

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当我拿起《Continued Fractions》这本书时，我预期它会是一本晦涩难懂的专业书籍，但实际阅读体验却完全颠覆了我的想法。作者的写作风格非常平易近人，尽管主题较为专业，但通过循序渐进的讲解和大量的例子，让读者能够逐步建立起对连分数的直观理解。我尤其喜欢书中关于“丢番图方程”的章节，它用连分数提供了一种全新的解法，简洁而高效。这本书让我看到了数学的实用性，以及看似简单的工具如何能够解决复杂的问题。我迫不及待地想将书中学到的知识应用到我自己的学习和研究中。

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一本关于连分数的书，我最近一直在思考数学中的一些经典但又常常被忽略的主题，而《Continued Fractions》这本书正好切中了我的兴趣点。从封面设计上来看，它就散发着一种古老而又严谨的气息，不像许多现代数学书籍那样追求花哨的图示，而是更注重内容的深度。我还没有开始深入阅读，但仅仅是翻阅目录，就看到了诸如“欧几里得算法与连分数”、“二次无理数的连分数展开”、“丢番图方程的求解”等章节，这些标题本身就勾起了我极大的好奇心。我尤其期待看到书中如何阐述连分数与数论之间千丝万缕的联系，以及它在近似有理数问题上的强大威力。

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