Introduction to Applied Algebraic Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Reilly, Norman R.

出品人:

页数:524

译者:

出版时间:2009-12

价格:$ 90.40

装帧:

isbn号码:9780195367874

丛书系列:

图书标签:

• 代数系统
• 应用代数
• 抽象代数
• 数学
• 高等教育
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《现代代数结构与计算方法》 引言 代数，作为数学中最古老、最核心的分支之一，其魅力不仅在于抽象概念的优雅，更在于其强大的应用潜力。从早期对数字和方程的研究，到如今构建复杂数学模型和驱动前沿技术，《Introduction to Applied Algebraic Systems》正是这样一本旨在揭示代数在现代科学与工程领域深层联系的著作。本书并非泛泛而谈，而是聚焦于“应用”二字，深入探讨代数结构如何转化为解决实际问题的有力工具，以及与之相伴的计算方法。 本书的出发点，是对现实世界中各种复杂现象进行建模与分析的需求。无论是物理学中的量子力学、化学中的分子动力学，还是计算机科学中的密码学、图论，亦或是经济学中的金融建模、优化问题，其背后都潜藏着精心设计的代数系统。这些系统，如群、环、域、向量空间、张量等，构成了描述和理解这些现象的基础语言。然而，仅仅理解这些抽象结构是不足够的。真正的挑战在于如何有效地操作这些结构，如何利用计算手段来求解它们所代表的问题。《Introduction to Applied Algebraic Systems》正是致力于弥合理论代数与实际计算之间的鸿沟。 本书旨在为读者构建一个坚实的代数基础，并在此基础上，系统地介绍一系列在应用领域中至关重要的代数结构。我们将从基础概念出发，逐步深入到更复杂的结构，同时穿插介绍与这些结构密切相关的计算算法与技术。本书的特色在于，每一部分的内容都紧密围绕其应用场景展开，力求让读者深刻理解理论的意义所在，以及如何在实践中加以运用。 第一部分：基础代数结构及其计算 本部分将为读者打下坚实的代数基础，并介绍一些最基本但应用广泛的代数结构。 第一章：群论入门与应用 我们将从最基础的代数结构——群（Group）开始。群是具有特定性质的集合，其元素之间可以通过一个二元运算进行结合。我们会详细阐述群的定义、性质，以及一些重要的群类，例如对称群、循环群、置换群等。 群的定义与性质： 介绍群的四条基本公理：封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元。 子群、陪集与拉格朗日定理： 探讨群的内部结构，理解子群的概念，以及陪集对群的划分。拉格朗日定理作为群论中的一个重要定理，将揭示有限群阶与子群阶之间的关系。 同态与同构： 介绍群之间的映射，理解同态和同构如何揭示不同群之间的结构相似性。 置换群与对称群： 详细介绍置换群，以及如何利用置换群来描述对象的对称性。对称群在晶体学、分子对称性分析等领域有着广泛应用。 计算群论： 介绍一些基本的计算方法，例如计算群的阶、生成元、关系，以及如何用计算机程序来处理群的运算。例如，可以使用SageMath等工具来探索群的结构。 群在密码学中的应用： 介绍有限域上的群在公钥密码系统（如Diffie-Hellman密钥交换）中的应用，以及群在对称加密算法中的作用。 第二章：环、域与多项式代数 在群的基础上，我们将引入更丰富的代数结构：环（Ring）和域（Field）。环在加法和乘法运算上都具有特定的性质，而域则是在此基础上对乘法运算的要求更高。 环的定义与性质： 介绍环的定义，包括加法交换律、乘法结合律、分配律等。介绍常见的环，如整数环、多项式环、矩阵环等。 理想与商环： 探讨环的结构，理解理想的概念，以及如何构造商环。 域的定义与性质： 介绍域的定义，强调其乘法运算的可逆性。介绍有限域、伽罗瓦域等在数论和编码理论中的重要性。 多项式代数： 详细讨论多项式环，包括多项式的加法、乘法、除法（带余除法）。 多项式的根与因式分解： 介绍多项式求根的理论与方法，以及多项式的因式分解在密码学、编码理论等领域的应用。 计算多项式代数： 介绍多项式算术的算法，如多项式加减法、乘法、长除法。重点介绍多项式最大公约数的计算（如欧几里得算法）、多项式求根算法（如牛顿法），以及多项式因式分解的算法（如多项式弗洛伊德算法）。 域与多项式在编码理论中的应用： 介绍有限域上的多项式如何用于构造纠错码（如 BCH 码、RS 码）。 第三章：向量空间与线性代数 向量空间（Vector Space）是现代数学中最重要的结构之一，它为描述和处理线性问题提供了统一的框架。线性代数是应用最广泛的数学分支之一。 向量空间的定义与性质： 介绍向量空间的基 本概念，包括向量的加法、标量乘法，以及向量空间中的线性组合、线性无关、基与维数。 线性变换： 介绍向量空间之间的映射，即线性变换。理解线性变换的核与像，以及矩阵表示。 矩阵代数： 详细讨论矩阵的加法、乘法、转置、逆等运算。 线性方程组的求解： 介绍高斯消元法、LU分解等求解线性方程组的经典方法。 特征值与特征向量： 探讨矩阵的特征值与特征向量，理解它们在系统稳定性分析、降维（如 PCA）等方面的应用。 内积空间与正交性： 介绍内积空间的性质，以及正交基、施密特正交化过程。 计算线性代数： 介绍数值线性代数中的重要算法，如矩阵的LU分解、QR分解、SVD分解，以及迭代法求解大型稀疏线性方程组。 向量空间在机器学习、信号处理中的应用： 介绍向量空间作为数据表示的基础，以及线性代数在支持向量机（SVM）、主成分分析（PCA）、傅里叶变换等算法中的核心作用。 第二部分：高级代数结构与计算应用 本部分将深入探讨更高级的代数结构，并将其与具体的应用场景相结合。 第四章：张量分析与计算 张量（Tensor）是向量的推广，能够更有效地表示多线性关系，在物理学、工程学以及机器学习中扮演着越来越重要的角色。 张量的定义与性质： 介绍张量的概念，包括张量的秩、指标表示、协变与逆变张量。 张量运算： 介绍张量的加法、标量乘法、张量积（外积）、缩并等运算。 张量在物理学中的应用： 讨论张量在广义相对论（度规张量、曲率张量）、连续介质力学（应力张量、应变张量）等领域的应用。 计算张量： 介绍张量运算的计算方法，以及如何利用库（如 TensorFlow, PyTorch）进行张量计算。 张量在机器学习中的应用： 介绍张量作为多维数据表示，以及在卷积神经网络（CNN）等深度学习模型中的核心作用。 第五章：群论在对称性与组合学中的应用 本章将更深入地探讨群论在描述对称性以及解决组合学问题中的强大威力。 有限群的结构理论： 介绍西罗定理（Sylow Theorems）等有限群结构理论的关键结果。 置换群的应用： 详细介绍置换群在解决烷烃同分异构体计数、魔方复原等组合学问题中的应用。 杨表与表示论入门： 简要介绍杨表（Young Tableaux）的概念，以及它们在表示论（Representation Theory）中的作用，特别是在对称群的表示方面。 群在化学中的应用： 介绍群论在分子对称性分类、光谱分析、晶体结构描述等方面的应用。 群在组合优化中的潜在应用： 探索群论思想在某些优化问题中的启发式应用。 第六章：代数几何基础与计算 代数几何是研究代数方程组的几何形状的分支，它在密码学、计算几何、计算机视觉等领域有着重要的应用。 代数簇的概念： 介绍代数簇（Algebraic Variety）的定义，以及由多项式方程组定义的几何对象。 理想与簇之间的对应： 探讨霍奇定理（Hodge Theorem）的朴素版本，理解代数簇的性质与其关联理想的代数性质之间的关系。 格勒布纳基（Gröbner Bases）： 重点介绍格勒布纳基理论，这是计算代数几何的核心工具，能够系统地解决代数方程组。 计算代数几何： 介绍利用格勒布纳基算法求解代数方程组、判断多项式理想的性质、计算簇的维度等。 代数几何在密码学中的应用： 介绍椭圆曲线密码学（ECC）等基于代数几何的加密技术。 代数几何在计算机图形学与机器人学中的应用： 介绍代数方法在曲面表示、形状匹配、运动规划等领域的应用。 第七章：代数在编码理论与信息安全中的综合应用 本章将整合前面介绍的代数结构，重点关注它们在现代编码理论和信息安全领域的深层应用。 纠错码的代数基础： 回顾有限域、多项式代数与纠错码（如 BCH 码、Reed-Solomon 码）的关系。 格（Lattices）与密码学： 介绍格的概念，以及基于格的密码学（LWE 问题等），这是后量子密码学的重要方向。 差分隐私与代数方法： 探讨代数工具在差分隐私保护机制设计中的作用。 同态加密（Homomorphic Encryption）的代数原理： 介绍同态加密允许在加密数据上进行计算的原理，以及其背后复杂的代数结构。 区块链技术中的代数应用： 探讨哈希函数、数字签名等在区块链安全中的代数基础。 结论 《Introduction to Applied Algebraic Systems》旨在为读者提供一个关于代数在现代应用领域中重要性的全面视角。本书的编排力求逻辑清晰，由浅入深，并且强调理论与实践的结合。我们相信，通过对这些代数结构及其计算方法的深入学习，读者将能够更好地理解和解决当今科学与工程领域面临的挑战，并为未来的创新研究打下坚实的基础。本书的目标是激发读者对代数应用的兴趣，并为其在相关领域的学习和研究提供一条清晰的路径。

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