Schur Algebras and Representation Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Stuart Martin

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2009-1-18

价格:USD 64.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521100465

丛书系列:

图书标签:

• Schur algebras
• Representation theory
• Polynomial representations
• Symmetric functions
• Young tableaux
• Combinatorics
• Algebra
• Mathematics
• Lie theory
• Quantum groups

域上群代数的表示理论概览 本书旨在深入探讨域上有限群的群代数的表示理论，为读者提供一个全面且严谨的视角。我们将从基础概念出发，逐步构建理论框架，并重点关注代数结构与表示之间的深刻联系。 第一章：群代数的引入与基本性质 本章将首先介绍群代数的定义及其在抽象代数中的地位。我们从一个有限群 $G$ 和一个域 $K$ 开始，定义群代数 $KG$ 为 $G$ 的元素作为基向量，以 $K$ 为系数的线性组合所构成的向量空间，其乘法由群的乘法和系数域的乘法决定。我们将详细阐述群代数的结合律、分配律等基本代数性质，并引入单位元、零元等概念。 接着，我们将探讨群代数的中心。群代数的中心 $Z(KG)$ 包含所有与 $KG$ 中任意元素可交换的元素。我们会证明 $Z(KG)$ 是一个重要的代数，并且其结构与群的共轭类密切相关。具体来说，我们将建立 $Z(KG)$ 与 $G$ 的共轭类之间的同构关系，这为理解群代数的结构提供了初步的线索。 本章还将介绍群代数的可交换性条件。我们知道，一个群代数 $KG$ 是可交换的当且仅当群 $G$ 是可交换的。我们将给出这个结论的证明，并讨论在不可交换群的情况下，群代数的可交换性是如何被打破的。 最后，我们将引入群代数的子代数和理想的概念。子代数是群代数中的一个子集，本身构成一个代数。理想是满足特定乘法条件的子代数，是研究代数结构的重要工具。我们将讨论平凡子代数和平凡理想，并为后续章节中更复杂的代数结构打下基础。 第二章：模与表示 本章将转向群代数表示理论的核心——模。模是群代数作用在一个向量空间上的一个代数结构。我们将定义左模和右模，并证明左模和右模之间存在自然的对偶关系。 我们将详细介绍不可约模的概念。不可约模是不能再被分解的“最小”的模，它们是表示理论研究的基石。我们还将定义模的子模、商模以及直和的概念，并探讨这些概念之间的关系。 本章的关键内容之一是半单性。我们将引入半单代数的概念，并证明一个代数是半单的当且仅当它是有限多个不可分左模（或右模）的直和。我们将深入探讨群代数 $KG$ 的半单性条件，并给出其充要条件，例如当 $K$ 的特征不整除群 $G$ 的阶时，群代数 $KG$ 是半单的。 我们将引入模的分解定理，特别是有限维半单代数的分解定理。这个定理表明，任何有限维半单左模都可以唯一地分解为不可约左模的直和。我们将详细证明这个定理，并强调其在理解模结构中的重要性。 最后，本章将简要介绍模的同态和同构，以及同态定理在模范畴中的应用，这为理解不同模之间的关系提供了代数工具。 第三章：不可约表示与特征标 本章将把注意力集中在群代数的不可约表示上。我们将证明，域 $K$ 上的群代数 $KG$ 的不可约左模（不考虑同构）的数量恰好等于群 $G$ 的共轭类的数量。这将是整个理论的一个里程碑式的结果。 我们将定义特征标的概念。一个表示的特征标是一个函数，它将群的元素映射到域 $K$ 中的值，并且该函数只依赖于群元素的共轭类。我们将定义不可约表示的特征标，并证明不同不可约表示的特征标是线性无关的。 本章将推导出特征标之间的正交关系。我们将会证明，不同不可约特征标之间的内积为零，而同一个不可约特征标的内积则与其自身的阶有关。这些正交关系是表示理论中极其有用的工具，它们使得我们可以通过特征标来计算和区分不可约表示。 我们将介绍特征标表，即一个表格，其中行代表不同的不可约特征标，列代表不同的共轭类。我们还会讨论如何利用特征标表来解决群论中的一些基本问题，例如确定群的中心、计算不可约表示的数量以及研究群的结构。 本章还将探讨特征标的性质，例如其值域、其线性性质以及其与群结构的对应关系。我们将展示如何利用特征标来判断一个群是否是单群，以及如何计算一个群的交换子子群的阶。 第四章：模论在表示理论中的应用 本章将深入探讨模论的工具如何被用来解决表示理论中的具体问题。我们将重温半单代数的概念，并更深入地研究 $KG$ 的半单性条件。 我们将介绍投射模和内射模的概念。投射模是“局部化”操作下保持不变的模，而内射模则是在包含关系下保持不变的模。我们将证明，在半单代数的范畴中，投射模和内射模与可分解模的概念是等价的。 本章将重点讨论投射分解。对于任意一个左模 $M$，我们都可以找到一个投射模 $P$ 和一个满射同态 $P o M$。我们将详细介绍投射分解的构造过程，并证明其存在的普遍性。投射分解为研究模的同调性质提供了强大的工具。 我们将引入同调代数的一些基本概念，例如 Ext 函子和 Tor 函子。我们将展示这些函子如何应用于表示理论，例如用来度量模的“非投射性”或“非内射性”。 最后，本章将介绍模的张量积。我们将定义左模与右模的张量积，并讨论其在表示理论中的应用，例如构造新的表示。张量积的概念为表示的合成和组合提供了代数框架。 第五章：表示的构造与分解 本章将专注于如何具体地构造和分解表示。我们将从最基本的表示——正则表示开始。正则表示是将群代数 $KG$ 本身看作是它自身的左模，并研究其分解。我们将证明，正则表示可以分解为所有不可约左模的直和，且每个不可约模的重数恰好是该不可约模的维数。 我们将介绍诱导表示的概念。诱导表示是一种从子群的表示构造较大群的表示的方法。我们将详细定义诱导表示，并陈述并证明诱导表示的性质，例如诱导表示与子群的表示之间存在的联系。 我们还将探讨限制表示。限制表示是将一个群的表示限制到一个子群上的表示。我们将讨论诱导表示与限制表示之间的对偶关系，即 Frobenius 双有理（Frobenius Reciprocity）。 本章还将涉及直积和张量积表示。我们将讨论如何从已知表示构造新的表示，例如两个表示的直积或张量积。这些构造方法为产生更复杂的表示提供了途径。 最后，本章将介绍群扩张的表示。我们将讨论当一个群 $G$ 是一个正常子群 $N$ 的扩张时，如何利用 $N$ 的表示来构造 $G$ 的表示。这将为研究更复杂的群结构提供一个重要的工具。 第六章：特殊群的表示理论（选讲） 本章将以几个具体的例子来说明前面章节介绍的理论。我们将选择一些在数学中具有重要意义的群，例如对称群 $S_n$ 和交错群 $A_n$，来具体计算它们的表示。 我们将介绍对称群 $S_n$ 的不可约表示的结构。我们会展示如何利用 Young 图形和 Young 表格来构造 $S_n$ 的不可约表示，并讨论它们的特征标。我们将深入研究 Young 模的性质，并给出其分解定理。 对于交错群 $A_n$，我们将讨论其表示与 $S_n$ 的表示之间的关系。我们会指出 $A_n$ 的表示通常是 $S_n$ 的表示“衰减”而来的，并讨论在某些情况下，某些 $S_n$ 的不可约表示在 $A_n$ 上会分裂成两个不可约表示。 我们将进一步讨论代数封闭域上的表示理论。如果域 $K$ 是代数封闭的，那么许多表示理论的定理会更加简化。我们将讨论这个条件对半单性的影响以及对模分解的影响。 最后，本章将简要提及一些更高级的主题，例如无限群的表示理论的某些方面，或者非交换代数（如双模）的表示理论，为读者未来的进一步研究提供方向。 本书的写作风格旨在严谨而清晰，避免使用过于晦涩的术语。我们假设读者已经具备了扎实的线性代数和群论基础。通过对本书的学习，读者将能够深入理解域上群代数的表示理论，并掌握分析和构造表示的基本方法。

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