Schaum's Outline of Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bronson, Richard

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2009-6

价格:$ 22.60

装帧:

isbn号码:9780071611626

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 数学
• Schaum's Outline
• 工程数学
• 高等数学
• 解题指南
• 学习参考
• 理工科
• 数学辅导
• 考试用书

数学的壮丽旅程：微分方程的入门与探索 在数学的浩瀚星空中，微分方程无疑是最璀璨的明星之一。它不仅仅是一个抽象的数学概念，更是连接我们对世界理解的强大工具。从自然界的潮汐涨落，到宇宙飞船的轨道计算，从经济学模型的预测，到生物学中细胞的生长繁殖，微分方程无处不在，为我们揭示了事物变化的规律和本质。本书旨在带领读者踏上一段激动人心的数学旅程，深入探索微分方程的奥秘，理解其深刻的理论基础，并掌握解决各类实际问题的强大方法。 第一章：初识微分方程——变化的语言 我们从最基本的概念开始，理解什么是微分方程。我们将看到，它是一个方程，其中包含未知函数的导数。这意味着，微分方程描述的是函数的变化率与其值之间的关系。我们将区分常微分方程和偏微分方程，了解它们各自的应用领域。随后，我们将学习如何识别微分方程的阶数和线性。 什么是微分方程？ 想象一下，你正在观察一个正在融化的冰块。冰块的融化速度取决于它当前的温度和周围环境的温度。这个“融化速度”就是我们关心的函数（冰块大小）的变化率，而它又与“冰块当前大小”以及“周围环境温度”有关。将这种关系用数学语言表达出来，就得到了一个微分方程。 常微分方程 vs. 偏微分方程： 如果我们描述的变化只依赖于一个自变量（例如，只考虑时间对冰块融化的影响），那么它就是常微分方程。但如果变化同时依赖于多个自变量（例如，考虑空间和时间对热量在金属杆上传播的影响），那么它就是偏微分方程。 阶数与线性： 微分方程的“阶数”指的是方程中出现的最高阶导数。一阶微分方程只涉及导数一次，二阶涉及导数两次，以此类推。而“线性”则意味着未知函数及其导数只以一次幂的形式出现，且没有它们之间的乘积。这使得线性微分方程通常更容易处理。 第二章：一阶微分方程——变化的基础 本章将聚焦于最简单也最基础的一阶微分方程。我们将学习如何识别并求解不同类型的一阶微分方程，包括： 可分离变量方程： 这类方程可以将变量分离到方程的两侧，然后通过积分直接求解。例如，描述人口增长的模型很多都可以归结为可分离变量方程。 齐次方程： 通过适当的变量代换，可以将这类方程转化为可分离变量方程。 线性一阶方程： 我们将学习使用积分因子（Integrating Factor）的方法来系统地求解这类方程，这在物理和工程中有着广泛的应用，例如描述电路中的电流变化。 恰当方程（Exact Equations）： 我们将学习如何识别和求解恰当方程，以及如何通过积分因子将其转化为恰当方程。 应用： 除了理论求解，我们还将通过实际例子展示一阶微分方程在经济学（如简单的增长模型）、物理学（如放射性衰变）和工程学中的应用。 第三章：高阶线性微分方程——复杂性的开始 当我们进入高阶线性微分方程的领域，问题变得更加复杂，但我们也获得了描述更丰富现象的能力。本章将集中讨论以下内容： 常系数齐次线性微分方程： 这是我们研究的重点。我们将通过特征方程（Characteristic Equation）的方法，找到方程的通解。理解特征方程的根（实根、重根、复根）与解的形式之间的关系至关重要。 常系数非齐次线性微分方程： 对于非齐次方程，我们将学习如何找到特解（Particular Solution）和通解（General Solution）。我们将介绍两种主要方法： 待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）： 当非齐次项的形式比较简单时，可以直接猜测特解的形式，并通过代入方程确定系数。 常数变易法（Method of Variation of Parameters）： 这是一种更通用的方法，即使非齐次项形式复杂，也能找到特解。 幂级数解法： 对于某些不能用初等函数表示解的方程，我们可以尝试使用幂级数来逼近其解。我们将学习如何通过幂级数展开来求解微分方程。 应用： 高阶线性微分方程在振动理论（如弹簧振子模型）、电路分析（如RLC电路）、以及系统动力学中扮演着核心角色。 第四章：拉普拉斯变换——求解的利器 拉普拉斯变换（Laplace Transform）是一种强大的数学工具，尤其擅长处理具有不连续输入或初始条件的线性微分方程。本章将详细介绍： 拉普拉斯变换的定义与性质： 我们将学习如何计算一个函数的拉普拉斯变换，以及利用其线性、位移、卷积等重要性质来简化运算。 逆拉普拉斯变换： 掌握如何从变换后的函数还原回原始函数，这是求解微分方程的关键一步。 使用拉普拉斯变换求解微分方程： 我们将展示如何将微分方程及其初始条件转化为代数方程，求解后再进行逆变换得到解。这种方法在工程领域，特别是在控制系统和信号处理中，非常高效。 应用： 我们将通过大量实例，展示拉普拉斯变换在求解电路问题、机械系统响应以及阶跃函数、冲激函数等特殊函数作用下的系统响应。 第五章：级数解——探索特殊函数的诞生 并非所有的微分方程都能用我们熟悉的初等函数来表示其解。本章将深入探讨求解这些方程的方法，并理解一些重要特殊函数的起源。 泰勒级数解： 我们将学习如何利用函数在某一点的泰勒级数展开来寻找微分方程的近似解，或者在某些情况下找到精确的级数解。 皮卡方程（Picard's Iteration）： 这是一种逐步逼近的方法，通过迭代来构造解的序列，这些序列在特定条件下会收敛到方程的解。 勒让德方程与贝塞尔方程： 这两个是微分方程领域中非常重要的方程，它们各自的级数解产生了重要的特殊函数——勒让德多项式和贝塞尔函数。我们将简要介绍这些方程的解的性质及其在物理学（如量子力学、波动方程）中的重要应用。 奇点与正则奇点： 在求解级数解时，理解方程的奇点（Singularity）类型至关重要，特别是如何处理正则奇点，这会涉及到弗罗贝尼乌斯方法（Frobenius Method）。 第六章：微分方程组——多变量系统的协同 现实世界中的许多系统不是由单个变量描述的，而是由多个相互关联的变量共同决定的。微分方程组（Systems of Differential Equations）就是描述这类系统的数学语言。 线性微分方程组： 我们将主要关注线性微分方程组的求解。利用向量和矩阵的方法，可以将线性微分方程组转化为矩阵形式，从而运用矩阵的理论来求解。 特征值与特征向量： 在求解常系数线性微分方程组时，特征值和特征向量起着决定性作用。它们直接决定了解的增长或衰减趋势。 相平面分析（Phase Plane Analysis）： 对于二维自治微分方程组，相平面分析是一种强大的可视化工具，可以帮助我们理解系统的长期行为，如稳定点、极限环等。 应用： 微分方程组在流行病传播模型、种群动态模型、化学反应动力学、以及多体问题的轨道计算等领域有着广泛的应用。 第七章：相空间与稳定性——系统的整体描绘 本章将视角进一步提升，从关注方程的局部解转向关注系统的整体行为和稳定性。 自治方程： 我们将集中分析自治方程，即方程不显含自变量。这类方程的解的轨迹只取决于当前的状态，而非时间。 相空间： 相空间是将所有可能的状态映射到一个几何空间，系统的演化在相空间中表现为一条轨迹。 稳定与不稳定平衡点： 我们将学习如何判断一个平衡点（即导数为零的点）是稳定的（系统会趋向于它）还是不稳定的（系统会远离它）。 极限环： 极限环是相空间中的一种特殊轨迹，系统可能会趋向于这个环。它在描述周期性振荡的系统中非常重要。 应用： 稳定性分析在控制理论、非线性动力学、以及生态学中至关重要，它帮助我们预测系统的长期行为和潜在的灾难性变化。 第八章：数值方法——当解析无力时 并非所有微分方程都能找到精确的解析解。在这种情况下，数值方法就显得尤为重要。 欧拉方法（Euler's Method）： 这是最简单的一种数值方法，通过在每一步使用切线来近似曲线，逐步向前推进。 改进欧拉方法与龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）： 这些方法通过使用更复杂的逼近策略，在每一步中考虑更多的信息，从而获得更精确的数值解。 数值方法的精度与收敛性： 我们将讨论影响数值解精度的因素，以及如何评估一个数值方法是否会收敛到真实解。 应用： 数值方法是现代科学和工程中解决微分方程问题的基石，从天气预报到航空航天模拟，无处不在。 超越与展望 掌握了这些基础知识后，读者将具备理解和解决各种微分方程问题的能力。本书将带领您领略数学的逻辑之美，感受微分方程作为一种强大语言的魅力，并最终学会运用它来探索和理解我们身边的世界。微分方程的学习是一个不断深入和拓展的过程，本书为您打下坚实的基础，为进一步探索更高级的主题（如非线性微分方程、偏微分方程的数值解法等）做好准备。每一次对微分方程的求解，都是一次对自然规律的探索，一次对未知世界的洞察。愿这段数学旅程，带给您知识的启迪和思维的飞跃。

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