Generalized Convexity and Optimization pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Alberto Cambini

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2008-10-15

价格:GBP 79.99

装帧:Paperback

isbn号码:9783540708759

丛书系列:

图书标签:

• 最优化
• Convex Optimization
• Generalized Convexity
• Mathematical Optimization
• Nonlinear Programming
• Optimization Theory
• Convex Analysis
• Variational Analysis
• Duality
• Algorithms
• Applied Mathematics

《广义凸集与优化》 本书深入探讨了数学分析和优化领域中一个核心且富有活力的分支——广义凸集与优化。我们旨在为读者提供一个全面而系统的视角，理解并掌握超越传统凸集定义的各种推广形式，以及它们在解决复杂优化问题时的强大威力。本书内容严谨，理论扎实，旨在服务于高级本科生、研究生以及致力于数学、计算机科学、工程学、经济学等领域的研究人员。 第一部分：广义凸集的理论基础 本部分将循序渐进地建立广义凸集的理论框架。我们将从回顾并深化经典凸集的概念开始，例如开集、闭集、仿射集、锥等，并强调其在标准优化问题中的基础性作用。随后，我们将引入一系列重要的广义凸集定义。 弱凸集（Quasi-convex Sets）与弱凸函数（Quasi-convex Functions）：我们将详细介绍弱凸集的定义，即任意两点之间的连接段上的函数值不超过这两点处函数值的最大值。这将引出弱凸函数的概念，并分析其与标准凸函数的异同。我们将探讨弱凸集的一些重要性质，如交集的弱凸性，以及它们在不动点理论、变分不等式等问题中的应用。 拟凸集（Pseudo-convex Sets）与拟凸函数（Pseudo-convex Functions）：本节将深入研究拟凸集的定义，并将其与拟凸函数联系起来。我们将分析拟凸函数在梯度下降等迭代算法中的收敛性特点，以及其在经济学模型、资源分配等问题中的建模优势。我们将比较拟凸集与弱凸集的区别，以及它们在数学结构上的差异。 概括凸集（Generalized Convex Sets）与概括凸函数（Generalized Convex Functions）：我们将引入更一般化的概念，如“概括凸集”或“特定类别的凸集”，这些集合可能不直接满足传统凸集的定义，但通过某种变换或性质，能够使得与之相关的函数表现出类似凸函数的行为。我们将探讨这些概括凸集是如何被构造和定义的，以及它们如何克服传统凸集定义的局限性。 非凸集（Non-convex Sets）及其特殊结构：虽然本书的重点是广义凸集，但为了形成鲜明对比并提供更广阔的视野，我们将简要讨论一些重要的非凸集。例如，我们将涉及具有一定几何结构的非凸集，如多面体、可容许区域的某些特殊形状，并探讨如何利用这些非凸集的特定属性来设计或分析算法。 对偶与变换（Duality and Transformations）：广义凸集和函数的许多重要性质可以通过对偶概念和数学变换来揭示。我们将介绍与这些广义凸集相关的对偶定义，例如通过仿射变换、透视变换等。这些变换能够将一个问题的最优解或可容许集映射到另一个问题，从而提供新的分析视角和求解途径。我们将展示如何利用这些变换来理解广义凸集之间的联系，以及它们如何影响优化问题的结构。 代数与拓扑性质（Algebraic and Topological Properties）：我们将深入研究广义凸集的代数结构和拓扑性质。这包括对闭集、开集、稠密集、完备集等概念在广义凸集框架下的延伸和讨论。我们将分析这些性质如何影响函数的最小值、最大值存在性，以及最优解集的结构。 第二部分：广义凸优化问题的理论与方法 在建立起广义凸集的坚实理论基础之后，本部分将专注于将这些概念应用于解决实际的优化问题。我们将详细阐述广义凸优化问题的定义、基本性质以及各种求解算法。 广义凸优化问题的建模与分类：我们将介绍如何将实际问题转化为广义凸优化模型。这包括对目标函数和约束集的类型进行分类，识别它们是否属于广义凸集。我们将讨论不同类型的广义凸优化问题，如弱凸规划、拟凸规划、以及更一般的非凸规划（当存在广义凸约束集时）。 最优性条件（Optimality Conditions）：与标准凸优化类似，广义凸优化也存在一系列最优性条件。我们将研究局部最优解与全局最优解之间的关系。对于某些类别的广义凸优化问题，局部最优解就是全局最优解。我们将介绍不同数学工具来表征这些最优性条件，例如基于梯度的条件，以及可能涉及超梯度或次梯度的概念。 对偶理论（Duality Theory）：对偶理论是优化领域的核心内容，对于理解问题的结构、设计算法以及获得解的界至关重要。我们将扩展拉格朗日对偶、沃尔夫对偶等经典概念到广义凸优化框架下。我们将分析广义对偶函数和对偶问题的性质，以及强对偶性在何时成立。我们将展示如何利用对偶理论来推导出新的最优性条件，以及求解更高效的算法。 算法设计与分析（Algorithm Design and Analysis）：本节将详细介绍用于求解广义凸优化问题的各种算法。 迭代算法（Iterative Algorithms）：我们将讨论梯度下降法、牛顿法等经典方法的推广和改进，使其适用于非光滑或弱凸函数。我们将分析这些算法的收敛性，包括收敛到全局最优解的条件。 内点法（Interior-Point Methods）：我们将介绍内点法如何推广到广义凸优化问题，特别是在处理具有特定结构的可容许集时。 分支定界法（Branch-and-Bound Methods）：对于一些难以直接用梯度法求解的广义凸优化问题，我们将介绍分支定界法的应用，并分析其在搜索最优解方面的策略。 启发式算法（Heuristic Algorithms）：在某些情况下，全局最优解可能难以获得。我们将简要讨论一些启发式算法，它们能够在合理的时间内找到近似最优解。 特殊问题类型的求解：我们将针对一些具有重要实际意义的广义凸优化问题类型，如： 稀疏优化（Sparse Optimization）：在机器学习和信号处理中，寻找稀疏解是常见的需求。我们将探讨如何将 L1 范数惩罚项或其他稀疏性诱导范数引入目标函数，并分析其在广义凸框架下的求解方法。 半定规划（Semidefinite Programming, SDP）的推广：我们将讨论 SDP 的一些广义化形式，以及它们如何出现在控制理论、组合优化等领域，并介绍相应的求解技术。 组合优化（Combinatorial Optimization）中的广义凸性：我们将探索一些组合优化问题，其松弛问题或某些子问题表现出广义凸性，从而为求解提供可能。 第三部分：应用领域与前沿研究 本部分将展示广义凸集与优化理论在各个学科领域的广泛应用，并展望该领域的前沿研究方向。 机器学习与人工智能（Machine Learning and Artificial Intelligence）：我们将深入分析广义凸性在机器学习模型中的作用，例如正则化技术、损失函数的选择、以及模型训练的收敛性保证。我们将探讨诸如深度学习模型中某些非凸问题的广义凸性分析，以及如何利用这些分析来指导模型设计和训练。 经济学与金融学（Economics and Finance）：广义凸性在经济学中的应用十分广泛，如消费者理论、生产者理论、一般均衡分析等。我们将展示如何利用广义凸函数建模非线性的经济行为，以及如何分析这些模型下的市场均衡和资源配置。在金融学中，我们将讨论投资组合优化、风险度量等问题中的广义凸性。 信号处理与图像恢复（Signal Processing and Image Restoration）：稀疏表示、图像去噪、图像恢复等问题常常可以转化为广义凸优化问题。我们将讨论如何利用广义凸性来分析这些问题的数学模型，并设计有效的求解算法。 控制理论与系统辨识（Control Theory and System Identification）：在设计控制器、辨识系统模型等方面，广义凸优化方法也发挥着重要作用。我们将展示如何利用广义凸性来保证控制系统的性能，并进行鲁棒的系统辨识。 运筹学与管理科学（Operations Research and Management Science）：从供应链管理到生产调度，广义凸优化在运筹学和管理科学的许多领域都提供了强大的建模和求解工具。 前沿研究方向（Frontiers of Research）：我们将对该领域的一些新兴和活跃的研究方向进行介绍，例如： 大规模广义凸优化：如何开发能够处理海量数据和高维度问题的算法。 随机广义凸优化（Stochastic Generalized Convex Optimization）：在数据不确定或噪声存在的情况下进行优化。 多目标广义凸优化（Multi-objective Generalized Convex Optimization）：同时优化多个（可能相互冲突的）目标函数。 机器学习中的非凸性分析与处理：更深入地理解和利用深度学习等模型中的非凸结构。 广义凸性与计算复杂性（Generalized Convexity and Computational Complexity）：研究广义凸优化问题的计算难度。 本书的编写旨在提供一个连贯、深刻且实用的知识体系，使读者能够自信地应用广义凸集与优化的理论和方法来解决他们在各自领域面临的复杂挑战。我们相信，本书将成为相关领域研究者和实践者的宝贵参考资源。

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