Ring Theory 2007 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Marubayasi, H. (EDT)/ Masaike, K. (EDT)/ Oshiro, K. (EDT)/ Sato, M. (EDT)

出品人:

页数:283

译者:

出版时间:2008-11

价格:$ 110.00

装帧:

isbn号码:9789812818324

丛书系列:

图书标签:

• 环论
• 代数
• 抽象代数
• 数学
• 2007
• 高等教育
• 学术
• 数学教材
• 代数结构
• 环

《环论导览》 本书是对抽象代数核心分支——环论的深入探索。我们将从最基础的概念入手，逐步构建起理解各类环结构的坚实基础，并在此基础上展现环论在数学及相关领域的广泛应用。 第一部分：环的基石 本部分将为您细致地介绍环的基本定义和性质。我们将讨论交换环与非交换环的区别，零环、平凡环的特殊性，以及单位元的引入如何影响环的结构。接着，我们将深入探讨子环、理想（左、右、双边理想）的概念，理解它们在环中的类比于群论中子群和正规子群的作用。此外，我们还会介绍环同态和环同构，它们是研究环结构之间关系的强大工具，并引出商环的概念。 第二部分：特殊环的类型与结构 在掌握了基本概念后，我们将目光转向那些具有特殊性质的环。首先，我们将详尽阐述整环（Integral Domains）的定义及其重要性质，例如整环中的消去律。在此基础上，我们引入域（Fields）的概念，探讨域作为整环中的特殊情况，以及域在多项式环、线性代数中的核心地位。 接下来，本书将聚焦于主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）和欧几里得整环（Euclidean Domains）。我们将分析主理想整环的构造特性，并证明在欧几里得整环中，每个非零理想都是主理想。这部分将通过一系列经典例子，如整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是域），来加深理解。 第三部分：模——环论的延伸 本书将进一步拓展到模（Modules）的研究。模可以被看作是向量空间在环上的推广。我们将定义左模、右模以及双边模，并讨论子模、模同态和模同构。理解模的结构对于研究某些特殊环（如主理想整环）至关重要，同时也是连接环论与表示论等其他数学分支的重要桥梁。我们将探讨自由模、有限生成模的概念，并初步介绍模分解的相关思想。 第四部分：环的分解与构造 本部分将深入探讨环的分解方法，以揭示复杂环的内部结构。我们将介绍直积环（Direct Product of Rings）和直和环（Direct Sum of Rings）的概念，它们是将多个环组合成一个新环的常用方式。 我们将重点研究理想的交、并、积以及商理想，并以此为基础，介绍阿廷环（Artinian Rings）和诺特环（Noetherian Rings）的概念。这些环的结构具有重要的拓扑和分析性质。我们将深入研究它们的定义、性质，并探讨它们在代数几何和代数数论中的应用。 第五部分：多项式环与代数 多项式环是抽象代数中最常见也是最重要的环之一。我们将详细研究多项式环的性质，包括它的唯一因子分解性质，以及不可约多项式。本书将介绍高斯引理，它在确定整系数多项式是否有有理根方面发挥着关键作用。 此外，我们将触及代数（Algebras）的概念，代数可以看作是带有乘法运算的向量空间。我们将讨论单位代数、交换代数等，并探讨代数在表示理论、数学物理等领域的应用。 第六部分：根式与幂零元素 在深入研究环的结构时，根式（Radical）是一个至关重要的概念。本书将介绍雅克布森根式（Jacobson Radical）和尼尔根式（Nilradical）等。我们将探讨这些根式的性质，以及它们与环的幂零元素（Nilpotent Elements）之间的紧密联系。理解根式有助于我们识别和分析环的“病态”部分，以及研究环的半单性（Semisimplicity）。 本书特点： 循序渐进的教学法： 本书从基础概念出发，逐步深入，确保读者能够逐步建立起对环论的深刻理解。 丰富的例子与练习： 穿插大量的具体例子，帮助读者将抽象概念具体化。每章末尾都附有精心设计的练习题，供读者巩固和检验所学知识。 理论与应用的结合： 在讲解理论知识的同时，本书还适时介绍环论在数论、代数几何、表示论等相关数学分支以及理论计算机科学等领域的实际应用，展现环论的强大生命力。 通过对本书的学习，读者将能够系统地掌握环论的核心概念和重要理论，为进一步深入研究抽象代数及相关领域打下坚实的基础。

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我特别喜欢这本书在处理“同调方法在环论中的应用”这一主题时所展现出的远见卓识。它不仅仅是简单地介绍了Functors（函子）和Ext群，而是将这些工具置于一个更广阔的代数语境下进行考察。作者将对平坦模的探讨与代数几何中对局部化（Localization）过程的理解巧妙地结合起来，展现了代数结构之间惊人的统一性。这种跨越不同代数子领域的整合能力，是衡量一本优秀参考书的关键标准之一。通过阅读这些章节，我开始从一个完全不同的角度审视经典的结构分解问题，不再满足于单一视角的解释，而是开始期待用更强大的同调工具去“解构”复杂的代数对象。这本书的真正价值在于其哲学深度——它教导我们如何思考数学结构之间的关系，如何构建跨越不同理论的桥梁。每一次重读，都会有新的感悟浮现，仿佛在剥开洋葱的更深层次，每一次都能发现隐藏在基础概念之下的更精妙的设计。这是一部需要时间沉淀，并会随着读者自身学术成熟度而不断增值的作品。

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这本书，坦率地说，让我感到既兴奋又有点不知所措。我是在寻求更深入理解抽象代数结构的过程中偶然发现它的，特别是关于模和域理论的部分，总觉得教科书上的讲解总是差了那么一点“灵气”。这本书的作者似乎有一种天赋，能将那些看似冰冷、纯粹的数学符号，赋予一种直观的几何感。我特别欣赏它在引入新的核心概念时所采用的循序渐进的路径，绝不急于抛出复杂的定理，而是先用大量的、精心挑选的例子来“热身”。那些例子，有些是我熟悉的，有些则是全新的视角，它们如同一个个小小的窗口，让我得以窥见环论深处的运作机制。比如，关于主理想域（PID）和唯一因子域（UFD）的讨论，作者没有简单地罗列它们的定义和关系，而是通过对比不同代数结构在分解问题上的困难与优雅，构建起一个清晰的逻辑链条。读完关于Artinian环的那一章，我感觉自己对有限性条件在代数系统中的重要性有了全新的认识——那种“紧凑感”是如何影响整个结构的拓扑性质的，这本书给出了极其深刻的洞察。虽然有些证明过程读起来需要反复咀嚼，但最终的豁然开朗感是无与伦比的，这绝对是一本能提升读者代数“品味”的佳作。

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这本书的排版和符号系统简直是一场灾难，我几乎需要花费与理解内容同样多的时间来适应作者的“个人风格”。某些章节的论证跳跃性极大，似乎默认读者已经完全掌握了某个特定方向的背景知识，否则，一旦在某个地方卡住，后面的内容就可能变得晦涩难懂。特别是关于非交换代数中导出代数和张量积的某些技术细节的处理，显得过于简略和跳跃，仿佛作者只是匆匆划过，留给读者自己去补全那些繁琐的构造步骤。我不得不频繁地查阅其他参考资料来确认某些关键引理的完整证明过程。虽然它的内容深度毋庸置疑，对于那些已经有扎实基础，需要一本“速查手册”来回顾或加深理解的资深研究者来说或许合适，但对于需要系统性学习的初学者，这本书的陡峭学习曲线可能会构成严重的劝退因素。如果作者能在一些更具挑战性的证明中增加一些注解，解释每一步选择背后的“直觉驱动力”，而非仅仅展示逻辑推导，这本书的价值会大幅提升。

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作为一名侧重于应用数学和密码学背景的读者，我通常对纯理论的书籍抱持谨慎态度，因为我最担心的是概念的“悬浮”——即数学工具缺乏与实际问题的挂钩。然而，这本书却以一种出乎意料的方式解决了这个问题。尽管它主要关注纯粹的代数结构，但其对“表示论”（Representation Theory）的引入处理得非常到位。作者通过讨论特定类型环（比如群环）的不可约表示（Irreducible representations）的性质，自然而然地引出了特征标理论（Character theory）的一些基本结论。这些讨论虽然是建立在抽象的模论基础之上的，但其结论——比如如何利用模的分解来理解群的结构——对于理解有限群的结构及其在编码理论中的应用，提供了坚实的理论支撑。我发现自己可以清晰地追踪从模的分解到群表示理论的桥梁，这比单纯学习表示论的入门教材要有效得多，因为它从更底层的代数基石出发。虽然这本书没有直接给出加密算法的应用案例，但它所建立的理论深度，足以让人在面对更复杂的代数密码体制时，能更迅速地把握其核心的数学难点。

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我花了大量时间在研究数论和代数几何的交叉领域，因此，对于那些能有效连接不同数学分支的工具书有着近乎苛刻的要求。这本书在处理“非交换环”的部分，简直是教科书级别的范例。它没有止步于介绍经典的Artin-Wedderburn定理，而是巧妙地引入了关于结构拟模（Torsion theories）和导出范畴（Derived categories）的初步概念，这在同类著作中是相当少见的，通常这些内容会被推迟到研究生阶段的专题讲座中。作者的写作风格极其严谨，但又充满了对数学美学的追求，每一个定理的陈述都力求简洁而有力，证明的每一步都经过了精心的雕琢，逻辑上的跳跃几乎不存在。我尤其欣赏它对“平坦性”和“内射性”概念的区分和比较，这在解决同调代数中的一些基础问题时至关重要。通过这本书，我开始理解为什么某些看似孤立的代数性质，实际上可以被统一在更宏大的“同调语言”之下。它不是一本适合初学者的入门读物，但对于那些已经掌握了基础群论和线性代数，并渴望接触更前沿、更“现代”的代数工具的研究者来说，这本书无疑是一笔宝贵的财富，它拓宽了我对代数结构边界的想象力。

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