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出版者:

作者:Fried, Michael D./ Jarden, Moshe

出品人:

页数:792

译者:

出版时间:

价格:1691.00 元

装帧:

isbn号码:9783540772699

丛书系列:

图书标签:

• 数值计算
• 计算机算术
• 浮点数
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• 算法

《场论精要：从基础到前沿》 本书旨在为读者提供一个清晰、严谨且全面的代数数论入门。它并非一本枯燥的理论堆砌，而是力求通过深入浅出的讲解，揭示数域和函数的代数结构的内在联系，以及它们在解决数学难题中的强大力量。从最基础的域概念出发，我们将一步步构建起理解代数数域所需的工具箱，并最终触及一些活跃的研究领域。 第一部分：基础构建 在本书的开篇，我们将仔细审视“域”这一代数结构的核心概念。什么是域？它如何运作？我们将从集合论的角度出发，定义域的公理化性质，并探讨其基本运算规则。紧接着，我们将引入“子域”和“域扩张”的概念。理解域如何被“扩张”，就像理解一个数的整数集合如何被扩张到有理数域、实数域乃至复数域一样，是代数数论的基石。我们将详细讨论有限扩张和代数扩张，并通过具体的例子来阐明这些抽象概念。 第二部分：代数整数与理想 代数数论的魅力很大程度上在于它研究的对象——代数整数。这些数是某个域扩张中的多项式的根，它们的性质远比普通整数丰富和复杂。我们将深入研究代数整数环的结构，并着重分析其在中国古代数学中已有所体现的“理想”概念。理想在理解和分解代数整数环的结构中扮演着至关重要的角色，它为我们提供了分析数域结构的新视角。我们将讨论主理想域、唯一分解域以及更一般地，在代数整数环中理想的分解性质。 第三部分：局部化与模 局部化是代数几何和数论中一个极为重要的技术。它允许我们将全局的代数问题转化为局部的问题来分析，就像我们将一个光滑流形的研究分解到每个点的切空间一样。本书将详细介绍域的局部化，以及代数整数环的局部化。在此基础上，我们将引入“模”的概念，这是线性代数中向量空间的自然推广。我们将探讨模的自由性、秩以及模与代数结构之间的深刻联系。 第四部分：伽罗瓦理论的视角 伽罗瓦理论是连接域论和群论的桥梁，它揭示了多项式根的对称性与域扩张的结构之间的对应关系。我们将从域扩张的角度出发，引入可分扩张和正规扩张的概念，并在此基础上构建伽罗瓦群。伽罗瓦群的结构直接反映了域扩张的性质，这为我们理解方程的可解性提供了深刻的洞见。本书将通过一系列经典示例，展示伽罗瓦理论在数域研究中的威力。 第五部分：数域的不变量 理解一个数域的“不变性”至关重要，这能帮助我们辨别不同的数域。我们将引入并深入探讨几个关键的不变量，例如判别式。判别式是代数整数环的一个基本不变量，它包含了关于该环结构的重要信息，并且与代数方程的根的重合度息息相关。我们将展示如何计算判别式，以及它在数域分类中的作用。 第六部分：超越基础：前沿展望 在打下坚实的基础之后，本书将带领读者展望一些当前数学研究的前沿领域。虽然不深入探讨，但我们将触及一些令人生畏却又充满魅力的概念，例如： zeta 函数与 L 函数： 这些具有深刻数论意义的函数，它们在解析数论中的应用，例如素数定理的证明，以及与代数簇的联系，将有所提及。 模形式： 具有高度对称性的函数，它们在数论、表示论和代数几何中都有着广泛的应用，我们将简要介绍其基本概念和一些著名的例子。 算术几何： 将代数几何的工具应用于数域的研究，例如代数簇上的点集研究，这将为我们提供全新的理解数域的视角。 本书的写作风格力求严谨而不失生动，我们将在理论推导的同时，辅以丰富的例子和直观的解释，帮助读者理解抽象概念。书中包含大量的习题，鼓励读者动手实践，巩固所学知识。无论是对数学专业本科生、研究生，还是对代数数论怀有浓厚兴趣的科研人员，《场论精要：从基础到前沿》都将是一本不可多得的参考书。它不仅是知识的传递，更是一种数学思维的启迪，带领读者穿越数的海洋，探索其内在的深刻结构。

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这本书的阅读体验，对于我这种习惯了快速浏览信息的读者来说，是一种近乎**“慢下来，才能走得更远”**的深刻体验。它不是那种可以让你囫囵吞枣快速读完的书。作者在探讨伽罗瓦群与多项式根之间的对应关系时，那种逻辑上的层层递进，需要读者投入全部的注意力。我发现，当我试图跳过某个冗长的引理证明时，接下来的章节就会变得晦涩难懂。这种设计，与其说是作者的固执，不如说是对数学内在逻辑的尊重。我在阅读过程中，经常会停下来，在草稿纸上复现作者的推导过程，很多时候，只有通过自己的笔尖“走”过一遍，才能真正体会到定理的精妙之处。书中对**不可约多项式的判定**那一节，简直是艺术品，它将抽象的代数工具与具体的算术判断完美结合。

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从一名资深数学教育工作者的角度来看，这本书在**可及性**与**深度**之间找到了一个绝佳的平衡点。它避免了入门教材过于浅显的弊病，也没有陷入纯粹研究性专著的深渊。它的语言风格介于教材和学术专著之间，既保持了学术的精确性，又融入了许多启发性的讨论。例如，在讲解模运算和同余类时，作者没有直接给出标准定义，而是先回顾了整数环上的经验，再逐步抽象化，这种**“从具体到抽象”**的路径，对于培养学生的数学直觉至关重要。我尤其欣赏作者对“为什么”的持续追问，他不仅仅是告诉你“是什么”，更重要的是让你理解“为什么是这样”。这本书，无疑是数学领域中一本值得反复研读的经典之作，它不仅传授知识，更重要的是塑造了一种严谨而富有洞察力的数学思维方式。

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这本书的封面设计得相当有品味，那种低调的深蓝色调，配上简洁的衬线字体，一下子就吸引住了我这个常年在图书馆里翻找的老读者。我原本以为它会是一本晦涩难懂的纯理论著作，毕竟“场论”这个词本身就带着一股子学究气。然而，翻开第一页，我就被作者那种娓娓道来的叙事方式所折服。他没有急于抛出复杂的公式，而是用一种近乎讲故事的口吻，从伽罗瓦时代那些充满戏剧性的数学家的争论讲起。书中的例证选取得非常巧妙，那些看似与抽象概念无关的几何问题，却能在作者的引导下，被精准地映射到代数结构之中。读到中期，我感觉自己仿佛置身于一个由数和运算构成的精妙迷宫，每一步的推导都像是在解开一个古老的谜题，那种豁然开朗的体验，是很多数学读物难以给予的。尤其值得称赞的是，作者对于不同数学流派之间的历史联系和思想碰撞，做了非常深入的梳理，使得原本孤立的知识点串联成了一张宏大而有机的知识网络。

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说实话，我拿起这本书时，是带着一丝怀疑的，因为市面上关于抽象代数的读物实在太多了，大部分都是互相抄袭、缺乏创新的“二手资料”。但这本书在处理**有限域**这部分内容时，展现出了作者扎实的功底和独特的视角。他对于有限域的构造和性质，特别是与编码理论和密码学（虽然书本身并非专门讲应用，但其基础却可以延伸到那里）的潜在关联，做了非常清晰的勾勒。作者对于特征的概念，讲解得尤其透彻，从零特征到正特征域的过渡处理得非常自然。我特别喜欢他引入的一个类比，用建筑学的不同地基来比喻不同特征的域对上层理论构建的影响，这个形象的比喻让我瞬间把握住了两者在底层逻辑上的差异。此外，书中的排版和图表设计也值得称赞，那些复杂的符号和结构图，布局得井井有条，极大地方便了对照阅读和理解。

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我是一名对纯数学抱有极大热情的业余爱好者，接触过不少代数几何和拓扑学的书籍，但真正让我感到“踏实”的关于基础代数结构的书籍并不多见。这本书给我的感觉就是**极其严谨，却又不失温度**。它对群、环、域这些基本概念的定义和性质的探讨，可以说是达到了教科书级别的水准，每一步的论证都无懈可击，让人找不到任何可以质疑的地方。不过，最让我印象深刻的，是作者对于“域扩张”这一核心概念的阐述。他没有仅仅停留在形式化的定义上，而是花了大量的篇幅去讨论，为什么我们需要引入这样的概念，它们在解决哪些实际的数学难题时发挥了作用。这种“知其所以然”的教学思路，极大地增强了阅读的连贯性和趣味性。我甚至能感受到作者在写作过程中，那种希望读者能够真正理解数学本质的强烈愿望。那些精心设计的习题，虽然难度不低，但每道题都紧密围绕着本章的核心思想，做完后让人有一种强烈的成就感。

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