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出版者:

作者:Li, Ta-Tsien 编

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:

价格:$ 114.13

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isbn号码:9789812771469

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 拓扑学
• 流形
• 黎曼几何
• 曲线曲面
• 张量分析
• 高等数学
• 数学分析

《微分几何》 本书是一部深入探索微分几何这一数学分支的严谨著作，为读者提供了一个全面而细致的学习框架。它不仅涵盖了该领域的核心概念和基本理论，更着重于展示这些抽象概念在解决实际问题和理解更深层数学结构中的强大作用。 核心内容概述： 本书的结构设计旨在引导读者从基础概念逐步迈入高级理论。开篇部分将细致阐述曲线论，包括在欧几里得空间中对曲线的参数化表示、曲率和挠率等关键几何不变量的计算与分析。读者将学习如何精确描述曲线的局部弯曲程度以及其在三维空间中的扭转行为，并理解这些几何量如何决定曲线的整体形状。 随后，本书将重点转移到曲面论。在这里，我们将深入研究嵌入在三维欧几里得空间中的曲面。通过引入第一基本形式和第二基本形式，我们能够量化曲面上的距离、角度和面积，并精确描述曲面的弯曲性质，如高斯曲率和平均曲率。读者将学习如何计算和理解这些曲率，以及它们如何决定曲面的局部几何特性，例如平面、球体、圆柱面等特殊曲面的分类。 本书还将详细介绍测地线的概念，这是在曲面上“直线”的自然推广。我们将探讨测地线的性质、如何找到它们，并理解它们在几何和物理学中的重要性，例如在广义相对论中，自由粒子在弯曲时空中的运动轨迹就是测地线。 进入更高级的章节，本书将引入微分流形这一核心概念，它为我们提供了一个描述光滑空间的一般框架。我们将学习流形的定义、局部坐标系、图册以及光滑函数和向量场。这将使我们能够将微分几何的工具推广到比欧几里得空间更复杂的拓扑空间。 在流形的基础上，本书将深入探讨切空间、余切空间以及张量场。这些概念是理解更复杂几何结构的基石，使我们能够进行更精细的分析，例如研究曲面上的切向量和法向量，以及在流形上定义导数和积分。 本书的一个重要组成部分是联络和协变导数。它们允许我们在流形上“移动”向量和张量，而不会改变其基本方向，从而定义曲线上向量场的导数以及曲面上张量的变化率。这将是理解曲率张量和里奇张量等关键概念的前提。 里奇曲率和数量曲率将是本书后期章节的重点。它们是对曲面和流形整体曲率性质的度量，尤其在理论物理学中，例如在爱因斯坦的广义相对论中，时空的曲率由爱因斯坦场方程描述，而里奇张量是描述时空几何性质的关键量。 此外，本书还将触及微分形式和斯托克斯定理的推广。微分形式提供了一种在流形上积分的统一方法，而广义斯托克斯定理则将微积分中的基本定理（如微积分基本定理、格林公式、高斯公式）统一在一个普适的框架下，展示了微分几何的深刻统一性。 本书特色： 严谨的数学框架： 本书从基础概念出发，层层递进，构建了一个完整而严谨的微分几何理论体系。 丰富的例证和练习： 每一个概念的引入都伴随着清晰的例证，帮助读者理解抽象概念的具体应用。大量的练习题旨在巩固所学知识，并鼓励读者进行更深入的思考和探索。 理论与应用的结合： 本书不仅关注理论的严谨性，还强调微分几何在物理学（如广义相对论、经典力学）、计算机图形学、机器人学等领域的应用，使学习更具实践意义。 渐进式学习路径： 结构清晰，由浅入深，适合不同数学背景的读者。初学者可以系统地打下坚实的基础，而有一定基础的读者则可以通过本书进一步深化理解。 《微分几何》是一部为渴望深入理解空间几何本质的读者而精心编写的著作。无论您是数学专业的学生，还是对物理学、工程学等领域有浓厚兴趣的研究者，本书都将为您提供宝贵的知识和深刻的洞察。通过掌握本书的内容，您将能够以前所未有的视角审视我们所处的宇宙，并为解决更复杂和前沿的科学问题打下坚实的基础。

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这本《微分几何》给我留下了极其深刻的印象，其内容的广度与深度令人叹为观止。从最基础的曲线理论出发，作者步步为营，将读者引向复杂而迷人的黎曼流形世界。书中对曲率概念的阐述尤其精彩，它不仅仅是数学公式的堆砌，更是对空间几何性质的直观洞察。我特别欣赏作者在解释时所采用的类比和几何直觉，这使得那些初看颇为抽象的概念变得生动起来。例如，在讨论测地线时，作者借助了“最短路径”的直观理解，并进一步将其推广到更高维度的空间。书中对联络、曲率张量等核心概念的介绍，层次分明，逻辑严谨。每一个定义都经过了精心的铺垫，每一个定理的推导都清晰易懂。阅读过程中，我仿佛置身于一个巨大的数学宇宙，在作者的引导下，探索着几何的奥秘。尽管书中涉及的某些证明过程相当复杂，但作者总能用富有洞察力的语言将其梳理清楚，让我能够跟上思路，并且在理解的基础上进行更深层次的思考。这本书无疑是任何希望深入了解现代几何学研究的学者或学生的必备读物。

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对于《微分几何》这本书，我的评价是：内容丰富，讲解深入，是一部不可多得的学术力作。它全面地介绍了微分几何的基本概念和重要理论，从向量场、微分算子到纤维丛、联络理论，几乎涵盖了该领域的关键知识点。作者在处理复杂的数学概念时，展现出了非凡的驾驭能力。例如，在解释黎曼度量和度量联络时，作者并没有仅仅给出定义，而是详细阐述了它们如何定义流形上的长度、角度、体积以及测地线，并进一步引出了曲率张量的概念。书中对切空间、余切空间以及张量场的操作，进行了详尽的描述，这为理解微分几何在物理学，特别是广义相对论中的应用奠定了坚实的基础。我尤其欣赏作者在讲解中的严谨性，每一个符号、每一个公式都经过了仔细的推敲，确保了数学的精确性。同时，书中也穿插了一些历史背景和发展脉络的介绍，这让我在学习纯粹的数学理论的同时，也能感受到数学思想的演进过程。

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《微分几何》这本书，坦白说，对我来说是一次既充满挑战又收获颇丰的阅读体验。它所涵盖的内容，触及了微分几何的核心领域，例如流形、张量分析、微分形式以及与拓扑学的交叉点。我尤其被书中关于微分同胚和微分同态的章节所吸引，它清晰地阐述了不同几何对象之间的等价性概念，为理解几何的本质打下了坚实的基础。书中对黎曼度量的引入，更是将欧氏空间的直观几何概念推广到了曲面和更高维度的流形，这为理解引力、相对论等物理学领域中的几何概念提供了必要的数学工具。尽管书中某些部分的数学严谨性要求极高，需要反复推敲和对照，但整体而言，作者的讲解方式 oldukça 深入浅出。我经常会花大量时间去理解一个关键的定义或定理，并尝试在脑海中构建相应的几何图像。书中提供的例题和习题，虽然具有一定的难度，但它们恰恰是检验理解程度、巩固知识的绝佳途径。对我而言，这本书不仅仅是一本教科书，更是一扇通往高深数学世界的大门，它激发了我对数学之美的无限遐想。

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《微分几何》这本书，在我看来，是一次对几何世界深邃探索的旅程。它从最基础的欧几里得几何出发，逐步引入微分学的工具，构建出微分流形的框架，最终抵达黎曼几何的宏伟殿堂。书中对于切向量、切空间、向量场的讲解，非常清晰，为后续理解微分形式和外微分奠定了基础。我特别喜欢书中对微分形式的描述，它以一种统一的方式处理了曲线积分、面积分等概念，并引出了外微分的强大运算能力，这在代数拓扑和微分几何的交叉领域中扮演着至关重要的角色。作者在讲解时，总是能巧妙地将抽象的代数概念与生动的几何直觉联系起来，例如，通过切向量场的流动来解释微分流形上的动力学行为。书中关于张量分析的论述，尽管在初读时会感觉有些挑战，但作者的讲解层层深入，配合恰当的例子，使得理解起来并非难事。这本书不仅仅传授了知识，更重要的是培养了我对几何问题的思考方式和解决问题的能力。

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阅读《微分几何》这本书，让我对数学的严谨性和创造力有了更深的体会。书中对微分几何的系统性阐述，从基础的微分流形概念，到深入的黎曼几何理论，层层递进，逻辑清晰。我印象特别深刻的是关于曲率形式的讨论，它以一种非常简洁且强大的方式捕捉了流形在空间中的弯曲程度，无论是在局部还是整体上。书中对于法向量、高斯曲率、平均曲率的讲解，不仅仅是公式的罗列，更是伴随着丰富的几何直觉和生动的类比，使得这些抽象的概念变得易于理解和接受。作者在推导过程中，善于使用各种辅助线、切向量场等几何工具，来可视化证明过程，这对于我这种偏重几何直觉的读者来说，无疑是极大的帮助。书中的某些定理，如高斯-博内定理，其简洁的表述背后蕴含着深刻的几何意义，让我对几何学与拓扑学的联系有了更直观的认识。尽管某些证明环节需要高度的数学功底，但作者的讲解清晰透彻，能够引导读者一步步克服难关。

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