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出版者:

作者:McCormick, Stephen F. (EDT)

出品人:

页数:668

译者:

出版时间:1988-5

价格:$ 384.14

装帧:

isbn号码:9780824779795

丛书系列:

图书标签:

Multigrid
Numerical Analysis
Partial Differential Equations
Scientific Computing
Algorithms
Mathematics
Computational Mathematics
Engineering
Applied Mathematics
Finite Difference Methods

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具体描述

求解偏微分方程的革新技术：一个深入的数值分析视角书籍简介本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨现代科学与工程计算中至关重要的一个领域：非线性系统与大规模线性系统的迭代求解技术。本书聚焦于那些源于物理过程离散化而产生的巨大、稀疏代数方程组的有效处理方法，特别关注其背后的数学原理、算法结构以及在实际应用中的优化策略。我们首先从迭代方法的基础理论出发，详细阐述了经典的雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法，以及更为重要的舒尔（SOR）和对称正交化方法（如共轭梯度法CG）。本书不满足于仅介绍这些基础方法，而是深入探究了它们的收敛性分析，包括谱半径、条件数与迭代次数之间的关系，并引入了预处理器（Preconditioning）的概念，这是高效求解大型系统的核心所在。我们将详尽讨论代数预处理器（如不完全LU分解ILU、不完全Cholesky分解IC）和几何预处理器（如基于网格分解的策略）的构造与性能评估。随后，本书将笔锋转向非线性方程组的求解。在计算流体力学（CFD）、结构力学以及化学反应工程中，非线性问题是常态。我们系统性地介绍了牛顿法及其变体，包括线搜索策略和信赖域方法（Trust-Region Methods），以确保迭代过程的稳定性和高效性。特别关注了欠定系统（Underdetermined Systems）的求解，以及如何利用残差网络（Residual Networks）来指导非线性迭代的每一步，以避免陷入局部极小值或鞍点。本书的核心部分之一在于对大规模线性代数求解器性能瓶颈的剖析。在现代计算架构下，内存访问模式和并行化效率决定了算法的成败。我们对稀疏矩阵存储格式（如CSR、COO、DIA）进行了细致的比较，并讨论了如何针对特定硬件（如GPU和多核CPU）优化矩阵向量乘法（SpMV）的性能。此外，我们还探讨了矩阵的重构与稀疏化技术，例如通过主成分分析（PCA）或奇异值分解（SVD）的截断版本来降低问题维度，同时保持关键的物理信息。本书特别强调了代数系统的预处理与子空间方法的结合。在传统的预处理基础上，我们引入了投影方法，如Ritz值与Arnoldi迭代，这些方法在求解特征值问题或需要精确控制误差谱时表现出色。我们详细分析了残差重构技术，即如何利用低精度解的残差来修正高精度解，这在多级计算框架中至关重要。在最后几章，我们将探讨高效求解器在特定工程问题中的应用实例，例如在有限元法（FEM）和有限体积法（FVM）离散化后产生的矩阵结构分析。我们将展示如何根据问题的物理特性（如对流项主导、扩散项主导或鞍点问题）来设计定制化的预处理器和迭代加速策略。本书对于域分解方法（Domain Decomposition Methods, DDM）的介绍是全面的，特别是针对大规模并行计算环境下的舒尔补（Schur Complement）的显式与隐式处理，以及如何高效地进行子域之间的耦合通信。本书的风格旨在严谨而不失实用性，内容深度足以满足研究生及专业研究人员的需求，同时清晰的理论推导和丰富的数值算例也为工程师提供了直接可用的工具和深刻的理解。它不仅是一本关于迭代算法的教科书，更是一部关于如何高效驾驭复杂数值模型的实战指南。 --- 目标读者群体：计算数学、应用数学的研究生及高级本科生从事计算流体力学（CFD）、结构分析（FEA）、数值模拟的工程师和研究人员高性能计算（HPC）领域的开发者和架构师