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几何建模的理论与实践 一本深入剖析现代几何建模基石与前沿应用的权威著作 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨从基础数学原理到复杂工程应用中的几何建模技术。不同于侧重于特定软件操作或单一建模范式的书籍，本书致力于构建一个跨越多个学科领域的知识体系，强调理论的严谨性与实践的可操作性之间的平衡。 第一部分：几何建模的数学基础与表示 本部分奠定了整个几何建模领域所需的数学基石。我们首先回顾必要的线性代数、微分几何和拓扑学概念，这些是理解和构建任何几何模型不可或缺的工具。 1. 曲线与曲面的基础理论： 详细阐述了参数化表示的威力，包括如何通过参数方程来精确定义空间中的路径和表面。我们将深入探讨贝塞尔（Bézier）曲线和曲面，分析其控制点的几何意义、局部/全局控制特性以及它们在设计初期的直观应用。随后，引入了B样条（B-spline）和NURBS（非均匀有理B样条），重点解析了分段定义的优势、参数化重现能力以及权重函数在塑造复杂形状中的关键作用。特别地，会详细推导NURBS的基函数定义，并探讨它们如何实现对圆锥曲线的精确表示，这在机械工程和建筑设计中至关重要。 2. 隐式表示与混合方法： 除了参数表示，本书也详细探讨了隐式曲面（Implicit Surfaces）的理论，如通过方程 $F(x, y, z) = 0$ 定义的表面。我们将比较参数法和隐式法的优缺点，特别是隐式表示在布尔运算（交、并、差）中的天然优势。此外，还会介绍混合建模技术，即如何结合参数化和隐式方法的最佳特性来处理极端复杂的拓扑结构。 3. 几何构造与变换： 详细讲解了三维空间中的刚体变换（平移、旋转、缩放）及其在齐次坐标系下的矩阵表示。这部分内容不仅限于基础的几何变换，更深入到如何通过这些变换来构建复杂装配体、进行坐标系转换以及实现模型间的相对定位。 第二部分：网格化与离散化技术 在现代计算机图形学和快速原型制造中，将光滑的数学表示转换为计算机可处理的离散结构是核心步骤。本部分专注于三角网格（Triangular Meshes）和多边形网格的生成、处理与优化。 4. 从CAD到多边形表示： 探讨了不同曲面表示（如NURBS）如何精确或近似地转换为三角网格的过程，包括表面镶嵌（Tessellation）算法的选择和参数设置对最终网格质量（如网格畸变、边界不连续性）的影响。 5. 网格的拓扑与几何处理： 深入分析了网格数据的结构化表示（如半边数据结构 Half-Edge Data Structure），这对于高效地进行拓扑操作至关重要。内容涵盖了网格编辑的基本操作，如边的细分（Subdivision）、合并、边界处理等。 6. 网格优化与简化： 讨论了如何处理高密度网格以提高渲染和存储效率。重点介绍了几种经典的网格简化算法，例如二次误差度量（Quadric Error Metric, QEM）框架，分析其如何在高保形度的前提下实现最优的边坍缩（Edge Collapse）。此外，还会涉及网格重构（Remeshing）技术，旨在生成具有均匀划分和良好形状特征的理想化网格。 第三部分：几何建模的高级主题与应用 本部分将视角扩展到更复杂的几何问题和新兴的应用领域，强调算法的鲁棒性和对真实世界挑战的处理能力。 7. 拓扑操作与布尔运算： 详细剖析了实体建模（Solid Modeling）的核心——布尔运算的实现机制。针对参数曲面和网格数据结构，分别探讨了如何使用布尔操作来精确组合或切割几何体，包括面片的相交检测、交线的计算与修剪等关键步骤，并讨论了计算精度对结果鲁棒性的影响。 8. 自由形态设计与细分曲面： 深入探讨了面向直观设计和艺术表达的建模技术。分细曲面（Subdivision Surfaces）作为一种强大的工具，能够通过迭代操作生成平滑、连续的高阶曲面。本书将对比Catmull-Clark、Loop等主要算法的推导过程、收敛特性以及它们在角色动画和工业设计中的应用优势。 9. 几何数据的结构化与管理： 在处理大型装配体和复杂产品生命周期管理（PLM）时，数据的组织方式至关重要。本章讨论了特征嵌入的几何模型（Feature-based Modeling），如何捕捉设计意图而非仅仅是最终几何形状。同时，会介绍面向场景图谱（Scene Graphs）和基于图的几何表示在现代渲染和仿真系统中的应用。 10. 几何建模的前沿交叉领域： 探讨了几何建模技术与其他学科的融合。这包括： 可制造性分析（DFM）： 如何利用几何信息来预测和避免制造过程中的缺陷，例如分析拔模角、壁厚变化和交叉特征。 逆向工程中的点云处理： 如何从传感器捕获的大量不规则点数据中提取出可编辑的参数化几何模型。 计算拓扑优化： 结合有限元分析（FEA）结果，通过几何形变来优化结构性能。 通过对这些内容的系统性阐述，本书不仅能帮助读者掌握构建任何复杂三维形状所需的理论框架和核心算法，更能培养他们分析和解决实际工程与设计中遇到的几何难题的能力。本书适合于从事机械设计、计算机图形学、工业产品设计、动画制作以及相关领域的研究人员和高年级学生作为核心参考教材。
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