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出版者:Springer

作者:Hvedri Inassaridze

出品人:

页数:452

译者:

出版时间:1994-11-30

价格:GBP 88.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792331858

丛书系列:

图书标签:

• Mathematics
• 代数K理论
• K理论
• 代数拓扑
• 代数几何
• 同调代数
• 层论
• 模论
• 代数数论
• 高等代数
• 数学

线性代数基础与高级主题：从向量空间到矩阵理论的全面解析 作者： [此处留空，或填写一个符合主题的虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写一个符合主题的虚构出版社名] ISBN： [此处留空，或填写一个符合主题的虚构ISBN] --- 书籍简介 本手册旨在为数学、物理、工程学及计算机科学领域的学生、研究人员和专业人士提供一份详尽而深入的线性代数学习资源。本书摒弃了对抽象代数结构（如环、域、模）的过度关注，而是将核心精力集中于线性代数最实用、最基础的构建模块：向量空间、线性映射、矩阵理论及其在实际问题中的应用。 本书的结构经过精心设计，从最直观的几何概念出发，逐步过渡到更严谨的代数结构，确保读者在建立坚实直觉的同时，也能掌握必要的理论深度。我们力求在保持数学严谨性的前提下，最大限度地提升内容的易读性和教学效率。 --- 第一部分：向量空间与线性结构的基石 第一章：向量空间的概念与基本性质 本章详尽阐述了向量空间的严格定义，从域（Field）的概念出发，定义了向量空间（Vector Space）的公理系统。我们将重点关注实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 上的向量空间，并引入了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的具体模型。讨论将涵盖子空间（Subspaces）的定义、判定方法及其在向量空间内部形成的层级结构。特殊关注点在于零空间、平凡子空间以及它们之间的交集与和空间运算。 第二章：线性组合、线性无关性与基 这是理解维度概念的先决条件。本章详细讲解了线性组合的形成过程，并引入了线性无关性（Linear Independence）和线性相关性的判别标准。通过“行空间”、“列空间”和“零空间”的框架，我们引入了生成集（Spanning Set）的概念。核心部分在于“基”（Basis）的定义，即最小的生成集和最大的线性无关集。我们将证明任何有限维向量空间都存在基，并探讨了基变换（Change of Basis）的矩阵表示，这是后续所有矩阵运算的理论基础。 第三章：维度定理与秩 本章将“维度”（Dimension）这一抽象概念具体化为基中向量的数量。我们将严格证明维度是向量空间的固有属性，与所选基无关。随后，我们深入探讨线性映射（Linear Transformations）在矩阵表示中的体现。本章引入了“秩-零化度定理”（Rank-Nullity Theorem），明确连接了线性映射的像空间（Image/Range）的维度（即秩）和核空间（Kernel/Null Space）的维度（即零化度）。这为理解方程组解的存在性和唯一性提供了强大的代数工具。 --- 第二部分：矩阵代数与线性映射的运算 第四章：矩阵的乘法与等价性 本章将矩阵视为线性映射的实现工具，而非仅仅是数字的排列。我们详细分析矩阵乘法的结合律和分配律，并将其与复合线性映射的联系阐明。重点在于矩阵的等价关系（Equivalence），包括行等价（Row Equivalence）和相似性（Similarity）。通过初等行变换（Elementary Row Operations），我们系统地介绍了行简化梯队形（Row Echelon Form, REF）和简化行简化梯队形（Reduced Row Echelon Form, RREF），并将其应用于求解线性方程组（包括齐次与非齐次系统）的完整解集。 第五章：行列式：几何意义与代数性质 行列式（Determinant）在本章被视为一个从方阵到标量的函数，其核心在于几何意义：它表示了线性变换对面积或体积的缩放因子。我们将通过莱布尼茨公式、代数余子式展开、以及基于行变换的性质来定义和计算行列式。本章亦包含拉普拉斯展开、行列式与矩阵可逆性的关系，以及克拉默法则（Cramer's Rule）的应用。 第六章：内积空间与正交性 本章将向量空间的概念扩展到赋予了度量结构——内积（Inner Product）。我们定义了内积的公理，并聚焦于欧几里得空间中的标准点积。核心内容包括：正交性（Orthogonality）、范数（Norm）的导出、投影的概念，以及格兰姆-施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用于将任意基转换为正交基或标准正交基。最后，讨论了正交补（Orthogonal Complements）和最小二乘法（Least Squares Approximation）在实际问题中的基础应用。 --- 第三部分：特征值与对角化理论 第七章：特征值与特征向量 这是分析线性系统动力学行为的关键部分。本章引入了特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的定义，它们是使线性变换作用下向量方向保持不变的特殊向量。我们将讨论特征方程的推导、代数重数（Algebraic Multiplicity）和几何重数（Geometric Multiplicity）的概念，并探讨非对称矩阵的特征值可能为复数的情况。 第八章：相似性、对角化与若尔当标准形基础 本章的核心目标是将复杂的线性变换尽可能简化。我们详细阐述了矩阵可对角化（Diagonalizable）的充分必要条件。对于不可对角化的情形，本章将引入若尔当标准形（Jordan Canonical Form）的理论框架，解释其如何提供矩阵在相似变换下的“最简化”表示。我们将展示若尔当块（Jordan Blocks）和广义特征向量（Generalized Eigenvectors）的概念，为理解微分方程组的解法奠定代数基础。 第九章：对称矩阵与谱定理 本章专门针对实对称矩阵（Symmetric Matrices）进行深入分析，这些矩阵在物理学和数据分析中极为常见。我们将严格证明谱定理（Spectral Theorem），即任何实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化，且其特征值均为实数。这直接引出了二次型（Quadratic Forms）的概念，并讨论了如何利用正交对角化实现二次型的规范形（Canonical Forms），包括正定性（Positive Definiteness）的判定。 --- 第四部分：高级应用与泛化 第十章：矩阵函数与指数映射 本章探讨如何将标量函数（如指数函数、三角函数）推广到矩阵上。我们将使用泰勒级数展开来定义矩阵指数 $e^A$，并探讨其在求解常系数线性微分方程组（$frac{dx}{dt} = Ax$）中的核心作用。本章还将涉及矩阵函数的其他定义方式，如利用若尔当标准形或谱分解。 第十一章：张量基础与多线性映射（初步） 在本书的收尾部分，我们向更广阔的数学领域进行过渡。本章简要引入张量（Tensors）的概念，将其视为多线性映射的推广形式。我们将讨论张量的定义、指标标记法（Index Notation）以及张量积（Tensor Product）的基本运算，为未来学习微分几何或更高级的代数结构做好知识铺垫。 --- 目标读者群体： 数学系本科生（大二至大三） 物理学、工程学（电气、机械、航空航天）专业学生 数据科学与机器学习领域需要扎实线性代数基础的研究人员 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，并辅以大量的例题与练习，帮助读者真正掌握线性代数的精髓。

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如果用一个词来形容这本书，那就是“雄心勃勃”。它试图在一个卷帙浩繁的领域内，构建一个既严谨又具有连贯性的叙事结构。书中对于“代数K理论的各种正合序列”的系统梳理，展现了作者对该领域全貌的掌握。从基础的基环K理论到更高级的局部化理论，作者像一位技艺精湛的建筑师，将不同层级的结构精确地焊接在一起。我特别注意到，书中对“Dévissage 引理”的讨论非常透彻，它不仅给出了证明，更重要的是解释了这个引理在简化K群计算中的核心战略意义。这种“战略意义”的强调，帮助读者跳出细节的泥潭，把握住核心思想。全书的风格是沉稳且权威的，它不迎合初学者，但它慷慨地为每一个愿意付出努力的人，打开通往领域深处的大门。对于任何严肃的代数几何或代数拓扑研究者而言，这本书都是书架上不可或缺的基石，它定义了这个领域知识的标杆。

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这本书的深度和广度令人咋舌，它绝非一本泛泛而谈的入门读物，而是一部为有志于深入研究代数K理论的学者量身打造的参考巨著。我对其中关于“流形上向量丛的拓扑K理论”与“代数簇上向量丛的代数K理论”之间的深层联系的探讨印象最为深刻。作者没有将这两者视为并行的分支，而是将它们置于一个统一的框架之下进行比较和对照，揭示了底层同构的代数本质。书中的引理和推论层层递进，每一个小步骤的证明都经过了精心的设计，没有丝毫赘述或跳跃。我尤其赞赏作者在处理“导范畴”这一复杂工具时的谨慎态度，他没有将导范畴视为一个黑箱，而是花费了足够的篇幅解释其构造的动机和性质，使得读者能够真正把握住这个现代代数工具的核心威力。对于那些已经对同调代数有所了解的读者来说，这本书提供的知识密度会让你感到肾上腺素飙升，因为它真正开始触及代数K理论的“前沿”问题。

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这本名为《代数K理论》的书籍，在我阅读后留下了极为深刻的印象。它不仅仅是一本教科书，更像是一场结构精妙的数学漫游，带领读者从基础的概念出发，逐步深入到代数拓扑和代数几何的腹地。作者在阐述K理论的构建过程时，展现了无与伦比的清晰度。例如，在引入“稳定同构类”的概念时，他没有急于展示复杂的公式，而是先用直观的例子，比如对向量丛的分类，来解释为什么我们需要K理论这样的工具。这种循序渐进的教学方法，对于初次接触这个领域的读者来说，无疑是巨大的福音。书中对于“奇性”的处理尤其值得称赞，作者巧妙地将看似抽象的范畴论语言，转化为可以被具体计算和理解的代数结构。我尤其欣赏其中关于Hurewicz同态的讨论，它不仅揭示了K理论与拓扑K理论之间的桥梁，更以一种优雅的方式，将两个看似独立的数学分支联系起来。全书的逻辑链条紧密无间，每一个定理的引入都水到渠成，让人不由得感叹数学家思维的严谨与美妙。

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阅读体验方面，这本书的排版和符号系统设计得非常专业，尽管内容极其复杂，但阅读起来的流畅性却远超我的预期。作者似乎深谙读者的阅读节奏，懂得何时需要慢下来细致阐述，何时可以快速推进。书中对于一些关键概念，例如“局部化”、“完备化”等操作，都提供了非常清晰的代数几何背景解释，这对于那些主要研究代数而非拓扑背景的读者来说，提供了极大的帮助。我个人最喜欢的是书中对于“Borel 谱序列”的引入与应用部分。作者巧妙地将这个强大的同调工具，应用于解决K群的计算问题，这种将理论工具与具体应用紧密结合的方式，使得抽象的K理论突然变得“可见”和“可操作”。这本书的参考文献也极其详尽，几乎每一章的末尾都附有指向原始文献的指引，这为希望继续深挖特定主题的研究者提供了宝贵的导航图。这是一部经得起反复研读的经典之作。

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说实话，一开始翻开这本书时，我有些担心它会像许多高深的代数著作那样，充斥着晦涩难懂的符号和过于密集的定义。然而，事实证明我的担忧是多余的。这本书的行文风格是那种古典的、注重几何直觉的风格，这在当代代数著作中并不多见。它似乎更倾向于“解释为什么”，而不是单纯地“证明是什么”。举个例子，书中对Milnor K理论的引入，并没有直接跳入那个复杂的张量积定义，而是先探讨了多线性代数中关于张量的自然构造，然后再将其提升到代数范畴的层面。这种“先铺垫，后拔高”的处理方式，极大地降低了读者的认知负担。阅读过程中，我时常停下来，不是因为我不理解，而是因为被作者对数学美感的捕捉所吸引。图表的运用恰到好处，虽然不是视觉上特别花哨，但其信息密度极高，辅助理解了许多高维结构。这本书的难度是毋庸置疑的，但它提供的理解深度，绝对物超所值，它培养的不是解题技巧，而是深刻的数学洞察力。

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代数K-理论进阶，内容比较丰富，可惜叙述不太理想，还有不少印刷错误，不建议用来精读。

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代数K-理论进阶，内容比较丰富，可惜叙述不太理想，还有不少印刷错误，不建议用来精读。

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代数K-理论进阶，内容比较丰富，可惜叙述不太理想，还有不少印刷错误，不建议用来精读。

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代数K-理论进阶，内容比较丰富，可惜叙述不太理想，还有不少印刷错误，不建议用来精读。

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代数K-理论进阶，内容比较丰富，可惜叙述不太理想，还有不少印刷错误，不建议用来精读。