Linear Algebra with Mathematica pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Szabo, Fred

出品人:

页数:664

译者:

出版时间:2000-2

价格:$ 180.80

装帧:

isbn号码:9780126801354

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• Mathematica
• 矩阵
• 向量
• 数值计算
• 符号计算
• 数学软件
• 高等数学
• 算法
• 应用数学

好的，这是一份关于一本名为《线性代数与Mathematica》的图书的详细内容介绍，内容将完全围绕该书可能涵盖的数学和计算主题展开，而不提及该书名称本身，以确保简介的独立性和针对性。 --- 代数结构、几何直觉与计算实践：一门深入的线性代数课程 本书旨在为学习者提供一个全面且直观的线性代数学习路径，它不仅涵盖了该领域的核心理论概念，更侧重于如何利用强大的计算工具将抽象的数学思想转化为具体的、可验证的数值结果。本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与计算的实用性，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“如何做”。 第一部分：基础构建——向量空间与线性变换的本质 本部分是理解整个学科大厦的基石。我们从向量空间的严格定义入手，探讨子空间、线性组合、张成（Span）以及线性无关性的概念。线性代数的核心在于对“空间”的精确描述，因此，我们将花费大量篇章详细阐述基（Basis）和维数（Dimension）的概念，这些是衡量空间复杂程度的根本工具。读者将学习如何通过坐标变换来改变对同一向量的描述，并理解基选择的自由度如何影响后续的计算和分析。 随后，我们将引入线性变换。变换不再仅仅是函数，而是作用于向量空间之间的映射。我们深入剖析线性变换的四个基本子空间——零空间（核）、像空间（值域）、左零空间和左像空间。理解这些子空间之间的关系，特别是秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），是掌握线性代数精髓的关键。我们将结合几何直觉，用二维和三维空间中的旋转、投影和拉伸等具体例子，帮助读者形象化这些抽象的代数操作。 第二部分：矩阵代数与求解——线性系统的精确解法 矩阵是线性代数的“语言”。本部分详细介绍矩阵的运算，包括加法、数乘、矩阵乘法以及矩阵的逆。我们着重分析矩阵乘法背后的线性变换组合意义。 核心内容聚焦于线性方程组的求解。从最基础的二元、三元方程组开始，系统地介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form）的构建过程。我们将探讨该方法背后的代数原理，以及如何利用初等行变换来保持方程组解集不变。更重要的是，我们将讨论矩阵的秩与方程组解的存在性及唯一性之间的深刻联系。 在引入计算工具后，读者将学习如何高效地处理大型稀疏矩阵，并理解LU分解、$QR$分解等分解方法在数值稳定性中的重要性。这些分解不仅简化了求解过程，也为后续的优化和最小二乘问题奠定了基础。 第三部分：特征分析——系统的内在属性 特征值和特征向量是分析动态系统、理解矩阵行为的“DNA”。本部分系统地推导特征值问题 ($mathbf{Av} = lambda mathbf{v}$)，解释特征值代表的缩放因子和特征向量代表的不变方向。 我们详细讨论如何通过求解特征多项式来确定特征值，并对代数重数和几何重数进行区分。对于可对角化（Diagonalizable）的矩阵，我们将展示如何通过相似变换将复杂矩阵转化为简单的对角矩阵，这一过程极大地简化了矩阵的幂运算和系统的时间演化分析。 对于不可对角化的情形，本部分将介绍若尔当标准型（Jordan Canonical Form），它提供了描述所有线性变换结构的最一般形式。此外，本书还会讨论对称矩阵的特殊性质，特别是其特征值总是实数且存在正交特征基的重要性，这在物理学和数据分析中至关重要。 第四部分：内积空间与几何深入 为了将线性代数的视角从纯代数扩展到度量和几何，本部分引入内积（Inner Product）的概念。这使得我们可以在更一般的向量空间中定义长度（范数）和角度（正交性）。 核心技术是施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），它允许我们将任意一组基转化为一组正交（或标准正交）基。正交基在投影、最小二乘误差计算以及傅里叶级数展开中具有无可比拟的优势。 我们将专门探讨正交投影，这在解决“无解”的线性系统时至关重要。最小二乘法（Least Squares）的几何解释被清晰阐述，它代表了在给定约束下寻找“最佳近似解”的方法。 第五部分：应用与计算实现 最后一部分将理论与强大的计算环境相结合，展示线性代数在现实世界中的应用。读者将看到如何使用特定的计算工具来执行复杂的操作，例如： 1. 矩阵求逆与行列式计算的数值稳定性分析： 讨论浮点运算对结果的影响。 2. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： 这一分解被视为矩阵分析的“终极工具”，它在降维（如主成分分析PCA）、图像压缩和推荐系统中的应用将被详尽介绍。 3. 迭代方法： 针对超大型稀疏线性系统的求解，介绍如雅可比法（Jacobi）和高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）等迭代求解策略，以及特征值计算中的幂法（Power Iteration）。 4. 微分方程与系统动力学： 如何利用特征分解来求解常系数线性微分方程组，分析系统的稳定性和长期行为。 通过穿插大量的实例、练习和计算验证步骤，本书确保读者不仅能掌握线性代数的理论深度，更能熟练运用计算工具来解决复杂问题，从而为深入学习控制论、数值分析、量子力学或现代数据科学做好充分准备。

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我必须指出，这本书的结构安排，简直是天才之作。它采取了一种螺旋上升的学习路径，而不是线性的堆砌知识点。一开始可能只是简单介绍向量空间的基本操作，但随着阅读深入，你会发现后面那些关于张量、多重线性映射的复杂概念，都巧妙地回溯并建立在最初那些看似简单的基础之上。这种编排方式极大地减轻了初学者的认知负担。更令人赞叹的是，它在讲解抽象概念时，总能找到一个绝佳的“锚点”，将抽象概念与读者已有的直觉连接起来。例如，讲解对偶空间时，作者引入了“观测者”和“被观测物”的概念，而不是直接用复杂的泛函分析语言来定义，一下子就让这个原本可能让人望而生畏的概念变得可触摸、可理解。这种教学上的匠心，显示出作者对教学心理学的深刻理解，它不是在“教”你知识，而是在“塑造”你的思维模式，让你像一个真正的线性代数专家那样去思考问题。

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坦白说，这本书最让我感到惊喜的是它对于线性代数在现代物理学和几何学中应用的广泛覆盖，而不是仅仅停留在二维或三维空间的几何直观上。它对于规范理论和微分几何中张量场的基础处理，提供了一个非常清晰的代数视角。我曾以为这些领域是研究生阶段才需要深入钻研的“高阶内容”，但这本书居然在本科阶段就为我们搭建了坚实的桥梁。它不惧怕引入必要的抽象工具，但它处理这些工具的方式极其谨慎和有条理。例如，在讨论奇异值分解的应用时，它没有仅仅停留在图像压缩的简单案例，而是延伸到了最小二乘拟合中的正则化方法，这让读者立即看到了这些理论在实际工程优化中的强大威力。这本书的视野之开阔，使得它完全超越了“入门教材”的范畴，更像是一本通往更深层次数学世界的地图集，指引读者去探索更广阔的学术疆域。

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这部巨著简直是为那些在数学海洋中挣扎的苦行僧量身定做的！我终于找到了一本真正能把我从繁复的计算和抽象的理论中解救出来的指南。它不像市面上那些充斥着晦涩符号和令人生畏的证明的教科书，这本书的叙事方式简直像是一位耐心的老教授在你的耳边娓娓道来。尤其是关于矩阵分解的部分，作者仿佛拥有将最复杂的几何直觉转化为清晰代数语言的魔力。我记得我以前对着特征值和特征向量一筹莫展，觉得它们就是凭空出现的数学玩具，但读了这本书后，我立刻能想象出它们在空间中对向量进行拉伸和旋转的实际效果。作者没有直接抛出结论，而是通过一系列精心设计的例子，引导读者自己去“发现”这些原理，这种主动学习的过程，带来的成就感是无与伦比的。它不仅仅是关于“如何计算”，更是关于“为什么这样计算”，这种深度思考的训练，让我对整个线性代数的框架有了前所未有的掌控感。如果你期待的是一本能让你真正理解其内在逻辑的教材，而不是一本只教你套公式的工具书，那么请毫不犹豫地选择它。

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说实话，这本书的排版和设计风格，透露出一种非常务实的工程美学，没有多余的花哨装饰，一切都服务于清晰的知识传达。我特别欣赏作者在处理数值稳定性和计算效率上的讨论。在当今这个数据驱动的时代，仅仅知道理论公式已经远远不够了，如何用计算机高效、准确地解决实际问题才是王道。书中对于高斯消元法中枢极端敏感性（ill-conditioning）的分析，以及如何使用QR分解或奇异值分解（SVD）来规避这些问题，都讲解得极其透彻。这些内容在很多标准教材中要么被一笔带过，要么就是用过于简化的方式敷衍了事。但在这里，作者似乎假定读者是带着解决真实世界问题的意图来阅读的，因此他们提供了大量关于算法局限性的洞察。这使得本书不仅仅是一本学术参考书，更像是成为一名合格的计算科学家的入门手册。对我这种需要将理论应用于优化模型的工程师来说，这种注重实践的深度剖析，价值连城。

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这本书的语言风格显得非常老派，但这种“老派”恰恰是其魅力所在——它充满了严谨的逻辑链条和不容置疑的数学规范性。它不像某些现代教材那样试图用过于口语化的方式来“拉近”与读者的距离，而是保持了一种恰到好处的学术尊重感。当我阅读关于希尔伯特空间和正交投影的部分时，我能感受到作者对数学美学近乎偏执的追求。每一个定义、每一个定理的提出，都像是精心打磨的宝石，放在恰当的位置，光芒四射。虽然初次阅读时可能会觉得节奏略慢，需要反复咀嚼，但这种慢，保证了知识的吸收是扎实且不可逆的。那些复杂的证明过程，作者没有跳过任何一个中间步骤，这对于那些需要完整推导链条来建立信心的读者来说，是极大的安慰。它要求读者付出专注，但它所回报的，是对数学结构更深层次的敬畏。

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