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出版者:Macmillan Pub Co

作者:James Francis Connelly

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1980-06

价格:USD 18.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780023244209

丛书系列:

图书标签:

• Precalculus
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• Functions
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• STEM
• HighSchool
• Textbook

好的，这是一份针对一本名为《Precalculus Mathematics》的书籍的详细图书简介，内容着重于描述其他学科或与预备微积分概念有所区别的数学领域，旨在避免提及预备微积分的具体内容。 --- 《解析几何与代数结构：高等数学的基石》 书籍简介 本书《解析几何与代数结构：高等数学的基石》深入探索了数学的两个核心分支——解析几何与抽象代数结构，为读者构建起一座坚实的桥梁，连接了中学数学的严谨性和大学高等数学的深邃性。本书旨在提供一个全面、深入且富有启发性的学习体验，侧重于概念的几何直观性与代数形式的严密性相结合，特别关注那些对理解更高级数学分支至关重要但又不直接属于标准预备课程范畴的主题。 第一部分：高级解析几何与空间几何 本书的第一部分将读者带入超越平面几何的广阔空间。我们不再局限于二维坐标系，而是深入探讨三维欧几里得空间中的几何关系。 1. 向量代数与空间运算： 这一章节详细阐述了向量在二维和三维空间中的运算。我们不仅复习了向量的加减法和标量乘法，更着重于向量的点积（内积）及其在投影、角度计算和物理学应用中的意义。随后，我们引入了向量的叉积（外积），这是一种在三维空间中至关重要的运算，它定义了垂直向量，并用于计算平行四边形的面积以及由三个向量张成的四面体的体积。对这些基础概念的掌握，是理解物理学、工程学以及微分几何的必要前提。 2. 曲线与曲面的参数化表示： 传统的笛卡尔方程（如 $x^2 + y^2 = r^2$）在描述复杂运动和三维形体时显得力不从心。本部分着重讲解如何使用参数方程来精确描述空间中的运动轨迹和曲面。我们将探讨参数方程在描述圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）时的优势，并将其推广到三维空间中曲线的描述，例如螺旋线。读者将学习如何通过改变参数来“绘制”这些几何对象，理解其动态生成过程。 3. 二次曲面导论： 在三维空间中，二次方程定义了一系列重要的曲面。本书系统地分析了二次曲面的标准形式，包括椭球面、单曲面、双曲面、抛物面以及圆柱面。我们将通过对这些曲面的截面分析来揭示它们的内在结构，并探讨如何利用矩阵对二次型进行分类和几何解释，这为理解高维空间中的张量和二次型奠定了基础。 第二部分：代数结构与数论基础 本书的第二部分将视角从具体的几何对象转移到抽象的数学结构本身，为深入学习抽象代数和离散数学打下坚实基础。 4. 集合论与关系基础： 虽然集合论是所有数学的共同语言，但本书在此处侧重于更高级的关系概念，如等价关系和偏序关系。我们将详细分析这些关系的代数性质，并讨论它们在数学结构分类中的作用。例如，等价关系如何将一个集合自然地划分为不相交的子集（商集的概念）。 5. 群论的初步探索： 群论是现代代数的核心。本章导论部分不涉及过于复杂的群构造，而是聚焦于群的基本公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）以及一些基础群的实例，如整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 和非零有理数的乘法群 $(mathbb{Q}^, imes)$。我们将研究子群、陪集以及同态映射的初步概念，理解群作为对称性代数描述工具的强大能力。 6. 模运算与数论应用： 整数的运算在特定模下会展现出独特的周期性和结构，这构成了数论的关键部分。本章深入探讨了模运算的性质、同余类之间的运算规则，以及欧几里得算法在求解线性同余方程中的应用。此外，还将简要介绍费马小定理和欧拉定理，展示这些看似基础的整数运算如何应用于密码学等现代技术领域。 第三部分：函数与变换的深入分析 这部分内容旨在拓展读者对函数概念的理解，并引入线性代数的早期思想。 7. 复合函数与反函数的严格分析： 我们超越了简单地代入和求值，而是从映射的角度严格定义了函数的复合运算及其性质（如结合律）。重点在于分析函数的单射性（一对一）和满射性（映上），以及在何种条件下反函数存在。对函数作为“箭头”或“变换”的理解，是理解代数结构中同态和同构的关键。 8. 线性变换的几何直觉： 虽然本书不是专门的线性代数教材，但它提供了线性变换（如旋转、缩放、剪切）的几何直观基础。我们将探讨二维平面上的线性变换如何作用于向量和几何图形，并引入 $2 imes 2$ 矩阵来表示这些变换。这种从几何图像到矩阵表示的过渡，是理解更高维度线性代数的基础。 目标读者与学习价值 本书特别适合那些已经掌握了基础代数和三角学，并希望在进入微积分、线性代数、离散数学或抽象代数课程之前，对数学的深度和广度有一个更全面了解的学生。通过本书的学习，读者不仅能巩固其代数基础，更重要的是，能够开始以一种更抽象、更结构化的视角看待数学问题，培养出对数学美感和内在逻辑的深刻欣赏。本书强调推理的严密性和概念的普适性，确保读者在面对更复杂的数学挑战时，能够游刃有余。 ---

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我特别关注了书中的技术应用和计算工具的结合部分，这是现代数学学习中不可或缺的一环。这本书在这方面做得非常到位，它并没有陷入过度依赖计算器的陷阱，而是强调了“人脑理解”与“工具辅助”之间的平衡。在讲解如何处理复杂的多项式分解或者绘制高级三角函数图像时，作者提供了清晰的步骤指南，指导读者如何使用主流的图形计算器或CAS（计算机代数系统）软件来验证结果或探索参数变化的影响。最让我印象深刻的是，它没有简单地告诉你“按这个键”，而是解释了为什么计算机会给出这个特定的输出，以及这种计算结果背后的数学原理是什么。例如，在讨论矩阵运算时，它展示了如何利用软件快速计算逆矩阵，同时又回归到代数层面，解释行列式为零的几何意义。这种双重教学法——既要掌握手算能力，又要懂得利用现代科技——确保了读者在面对实际问题时，既有扎实的理论基础，又有高效的解决工具，真正做到了与时俱进。

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从整体的学习体验来看，这本书带给我的远超出了“掌握一门课程”的范畴，它塑造了我对数学学科的敬畏感和持续学习的动力。它的文字风格是一种沉稳而有力量的叙述，很少使用浮夸的形容词，而是用精准的数学语言来构建知识的殿堂。阅读这本书的过程，与其说是被动接受信息，不如说是一场主动的、充满挑战的智力探险。我发现自己常常需要停下来，合上书本，在草稿纸上重画图表，重新推导一遍关键步骤，这种主动参与感极大地加深了记忆和理解。更重要的是，它培养了一种“面对复杂性时的从容”——当遇到一个看起来难以攻克的难题时，这本书的训练让我习惯于将其拆解成更小的、可管理的模块，然后系统地逐个击破。这不仅仅是数学技能的提升，更是一种思维模式的重塑。它让我明白，真正的学习不是在知识点之间建立孤立的联系，而是要看到一个宏大、和谐的数学知识体系的全貌。这本书无疑是站在巨人肩膀上的典范之作，值得每一位认真对待数学学习的人珍藏。

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这本书的习题设置简直是教科书级别的范本，我必须承认，这部分内容让我体验到了真正的“心跳加速”。它不是那种简单地重复概念的重复性练习，而是体现了设计者的深思熟虑。难度梯度被安排得恰到好处，前几题用来巩固刚刚学到的核心技巧，它们短小精悍，能让你快速确认是否掌握了基础运算。然而，当你稍微松懈下来时，紧随其后的是那些需要综合运用多个知识点的“拦路虎”。我记得有一道关于优化问题的题目，它要求我结合了二次函数顶点和对数函数的性质才能解出，那感觉就像解开一个精密的机械锁，每一步都需要精确的计算和逻辑推理。更妙的是，很多习题后面附带了“思维拓展”部分，这些内容往往不是必须掌握的，但它们极大地拓宽了视野，让我开始思考“为什么是这个方法”而不是仅仅满足于“怎么得到答案”。这些拓展性的思考，对于培养真正的数学思维至关重要。我甚至发现，有些题目竟然巧妙地融入了微积分的某些思想，虽然全书的重点仍在预备微积分的范畴，但这种“埋下伏笔”的设计，无疑为我未来学习更深入的课程做了很好的预热和铺垫。

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与其他同类教材相比，这本书在理论深度上的处理显得尤为成熟和审慎。它没有像某些“快餐式”的辅导书那样，为了追求速度而牺牲严谨性。作者在介绍每一个定理和定义时，都会给出详尽的、逻辑上无懈可击的证明过程。这些证明过程，一开始读起来可能有些晦涩，需要反复揣摩，但我坚持了下来。随着阅读的深入，我开始体会到那种“豁然开朗”的喜悦——原来所有的公式都不是凭空出现的，它们都是从最基本的公理逻辑推导出来的。特别是对于那些涉及函数极限和连续性的讨论，作者的处理方式极为细致，区分了直观理解和形式化定义之间的微妙差异。书中对一些关键转折点的论述，比如从代数到几何的过渡，或者从实数系统到复数系统的自然延伸，都处理得非常流畅自然，没有生硬的割裂感。这种对数学内在逻辑的尊重和深入挖掘，使得这本书不仅仅是一本工具书，更像是一部展现数学之美的哲学著作，它教会了我如何以一种更深刻、更批判性的眼光去看待数学知识的构建过程。

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这本书的封面设计得非常引人注目，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色字体，透露出一种专业而又平易近人的气质。拿到手里就能感受到它扎实的重量，这通常预示着内容的广度和深度。我翻开第一页，首先映入眼帘的是清晰的目录结构，它像一张精心绘制的地图，将抽象的数学概念系统地组织起来。我特别欣赏作者在每个章节开头引入的那些生活化的例子，比如用抛物线来解释投掷物体的轨迹，这立刻拉近了我与这些看似遥远的高等数学概念的距离。它没有直接跳入复杂的公式推导，而是花了很多篇幅来构建直觉性的理解。例如，在讲解三角函数的周期性时，作者引用了钟摆摆动和季节更替的现象，让我瞬间领悟到这些函数如何精确地描述自然界中的循环规律。那种循序渐进的讲解方式，就像一位经验丰富的导师，耐心地引导着每一个好奇的头脑。而且，书中的排版极为考究，图表的质量非常高，那些几何图形和函数图像绘制得精确无误，线条的粗细和颜色的搭配都经过深思熟虑，极大地减轻了阅读过程中的视觉疲劳。整体来看，这本书在视觉呈现和初步概念引入方面，做得无可挑剔，为接下来的学习打下了坚实的基础。

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