Calculus One and Several Variables pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Xerox College Publishing

作者:Saturnino L. Salas

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1971

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780536006509

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 单变量微积分
• 多变量微积分
• 高等数学
• 数学分析
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• 解析几何

《数学分析基础：从一元到多元的严谨探索》 本书导言： 《数学分析基础：从一元到多元的严谨探索》旨在为学习者提供一个坚实、深入且逻辑严密的数学分析入门。本书摒弃了仅仅停留在计算技巧的肤浅层面，而是致力于揭示微积分背后的深刻理论基础，引导读者理解极限、连续性、导数和积分的本质。我们相信，真正的数学理解来源于对概念的精确定义和对定理的严格证明。全书内容组织以递进式结构展开，从最基本的实数系统出发，逐步过渡到一元函数分析，最终拓展至多变量函数的微积分。 第一部分：实数系统与极限的严谨建立 本部分是整个数学分析的逻辑基石。我们首先对自然数、整数、有理数进行回顾，然后重点构建实数系统（$mathbb{R}$）。我们将严格证明实数的完备性（如“有界单调序列必收敛”或“任何区间套必含交点”），这是后续所有收敛性论证的先决条件。 1.1 实数集的结构与性质： 深入探讨有序域的性质，定义确界（上确界和下确界）的概念，并利用这些概念来严格定义无理数。 1.2 序列的收敛性： 严格定义序列的极限，使用$epsilon-N$语言来验证和证明极限的存在性。详细讨论收敛序列的代数性质（和、差、积、商的极限），并引入柯西序列（Cauchy Sequences）的概念，证明有界序列必存在收敛子序列（Bolzano-Weierstrass 定理的非正式引入，为后续的紧致性打下基础）。 1.3 函数的极限与连续性： 将序列极限的概念推广到函数极限。对极限的定义进行细致的剖析，区分侧重于定义域的极限和值域的极限。随后，严格定义函数在一点和在区间上的连续性。连续性的关键性质，如“初等函数在定义域上的连续性”以及“闭区间上连续函数必达最大值和最小值定理”和“介值定理”，都将提供完整的证明。 第二部分：一元函数微分学 本部分聚焦于导数的精确定义及其在函数研究中的应用。我们强调导数不仅仅是一个计算公式，而是局部线性逼近的精确表达。 2.1 导数的定义与计算法则： 从切线斜率和瞬时变化率的直观理解出发，严格定义导数。详细推导和证明乘法法则、除法法则、链式法则。针对涉及超越函数（指数、对数、三角函数）的求导，提供完备的推导过程，这些函数的性质（如$e^x$的定义）将从极限角度进行确立。 2.2 中值定理与导数的应用： 这是理论与应用的关键桥梁。我们将完整证明罗尔定理（Rolle's Theorem）、均值定理（Mean Value Theorem，MVT）。MVT是微分学中最重要的定理之一，它将局部信息（导数）与全局行为（函数值变化）联系起来。基于MVT，深入分析函数的单调性、极值、凹凸性（二阶导数），并利用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）处理未定式极限。 2.3 积分的精确定义与基本性质（黎曼积分的引入）： 导数部分结束后，我们适时引入定积分的概念。定积分并非仅仅是求面积的工具，而是极限过程的严格产物。我们将定义黎曼和（Riemann Sums），并利用上和（Upper Sum）与下和（Lower Sum）的概念来严格定义黎曼可积性，讨论可积函数的充分条件（如连续函数的可积性）。 第三部分：微积分基本定理与不定积分 本部分的核心在于建立微分学和积分学的根本联系，这是整个微积分理论的精髓所在。 3.1 微积分基本定理（FTC）： 详细阐述微积分第一基本定理（微分和积分的互逆关系）和第二基本定理（定积分的计算方法）。这些定理的证明，将直接依赖于对连续函数积分的性质的分析。 3.2 不定积分与积分技巧： 引入不定积分的概念，并系统梳理积分的计算技巧。这包括： 换元积分法（Substitution Rule）： 作为链式法则在积分上的逆向应用。 分部积分法（Integration by Parts）： 作为乘法法则在积分上的逆向应用，并讨论其在解决特定类型积分中的有效性。 有理函数积分： 引入部分分式分解法（Partial Fraction Decomposition）来系统化处理有理函数的积分。 3.3 广义积分： 扩展定积分的概念，处理积分区间为无限区间（如$[a, infty)$）或被积函数在区间内存在不连续点（瑕积分）的情况。我们将利用极限的概念来定义和判断广义积分的收敛性。 第四部分：多元函数的分析初步 在巩固了一元分析的基础上，本书将自然地将分析工具扩展到二维及更高维空间，为读者进入更高级的拓扑学和多元微积分做好准备。 4.1 $mathbb{R}^n$ 空间中的基本概念： 介绍向量空间、范数（尤其是欧几里得范数）和度量空间的概念。重点讨论 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 中的点集拓扑基础：开集、闭集、边界、聚点等。这些拓扑概念是理解多元函数连续性和收敛性的基础。 4.2 多元函数的极限与连续性： 推广单变量函数的极限定义到多变量函数，重点探讨在多维空间中“趋近”的概念，以及路径依赖性在极限判断中的重要作用。严格定义多元函数在点上的连续性。 4.3 偏导数与方向导数： 引入偏导数的概念，作为沿着坐标轴方向的变化率。进而，定义方向导数，这是对单变量导数概念的直接推广。我们将对比偏导数与方向导数，并明确指出偏导数的存在性并不能保证函数在任意方向上可微。 4.4 可微性与梯度： 严格定义多元函数在一点的可微性（Total Differentiability），它比偏导数的存在性要求更高，本质上是多元函数局部线性近似的精确描述。引入梯度（Gradient）作为最大增率的方向，并详细阐述梯度与偏导数、方向导数之间的关系。 4.5 多元函数的极值问题： 基于多元函数的偏导数（或梯度），讨论局部极值的必要条件（驻点）。虽然本卷不深入探讨二阶偏导判别法（Hessian Matrix），但会为后续学习铺设清晰的理论路径，重点强调驻点不一定是极值点。 总结： 《数学分析基础：从一元到多元的严谨探索》旨在培养读者严谨的数学思维和精确的语言表达能力。本书的结构严谨，证明详尽，强调从定义出发推导结论的数学研究方法，确保读者不仅学会“如何计算”，更理解“为何如此”。本书适合数学、物理、工程科学以及经济学中需要坚实分析基础的专业学生和研究人员。

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与市面上那些以色彩鲜艳、配图精美著称的现代微积分教材相比，这本《Calculus One and Several Variables》简直是一股复古的清流，甚至可以说是一股“冷峻的严肃感”。它的排版简洁到近乎朴素，黑白灰为主调，几乎没有为了吸引眼球而设计的彩色插图或“快速通道”小贴士。这种风格无疑凸显了内容的专业性和深度，仿佛在告诉你：“我这里没有花架子，只有纯粹的数学。”然而，这种克制也带来了一个问题：缺乏必要的学习激励和即时反馈机制。在学习一些复杂的分支，比如拉格朗日乘数法或隐函数定理时，如果能有一个动态的、交互式的图形展示，学习效率绝对会提高一个档次。这本书完全依赖于读者自身的毅力去消化这些结构复杂的概念。我个人认为，这本书最大的价值在于其对经典证明的忠实记录，它完整地保留了微积分学科在发展过程中那些关键的逻辑飞跃。但对于那些希望通过“可视化学习”来快速建立感性认识的学习者来说，这本书的“无声”和“纯文本”的特性，反而成了一种障碍。它更像是一部典籍，需要你去恭敬地、逐字逐句地研读，而不是一本可以轻松翻阅的工具手册。

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我尝试用这本书来准备一次期末考试，结果发现其内容深度和广度远远超出了我们课程大纲的要求，这既是优点也是缺点。优点在于，它提供了比课堂讲解丰富得多的补充材料，特别是关于序列和级数收敛性的阿贝尔检验等深入讨论，为我理解更高级的分析学打下了坚实的基础。但缺点也显而易见：时间管理上的巨大挑战。这本书的每一章都像是一个独立的微型课程，内容密度极高，如果按照正常速度阅读，根本无法在有限的时间内完成。我最终不得不采取“选择性阅读”的策略，只关注了与考试直接相关的章节，而将那些关于广义积分的严格定义、或高阶张量分析的预备知识部分暂时搁置。这让我产生了一种“未竟全功”的挫败感。这本书的作者似乎不相信“少即是多”，而是坚信“完备即是王道”。因此，如果你是一位时间充裕、渴望全方位掌握微积分理论体系的研究生或严肃的学习者，这本书或许是你的理想伴侣；但如果你是一名需要快速掌握核心技能以通过考核的本科生，你可能会发现自己被淹没在作者精心编织的知识海洋中，难以找到通向彼岸的最快航道。

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我花了整整一个学期的时间，试图将这本厚重的《微积分：单变量与多变量》啃下来，老实说，我最大的感受是“信息过载”和“逻辑疲劳”。这本书的叙事方式非常古典、严谨，每一个定理的提出都伴随着冗长而精妙的证明过程。这对于追求数学美感和逻辑深度的读者来说，无疑是一种享受；但对于我这种更偏向于应用和直觉理解的学生而言，阅读过程充满了“绕弯子”的感觉。举个例子，当讲到微积分基本定理时，作者用了近二十页的篇幅来论证其各个子部分的完备性，虽然逻辑链条完美无缺，但我在阅读完之后，对“为什么我们用导数的逆运算来求面积”这个最核心的直观理解，反而感到更加模糊了。它似乎假设读者已经内化了微积分背后的哲学思想，直接进入了形式化的构建阶段。配套的图示也相对稀疏，很多需要空间想象力的多变量概念，仅仅依靠纯文本的描述，使得大脑必须全速运转来构建三维或更高维度的图像。我发现自己不得不大量依赖外部的在线视频资源，来寻找更形象化的解释，才能将书本上的抽象符号与实际的物理或几何意义联系起来。可以说，这本书是“懂的人”的宝库，但对于初学者，它更像是一面需要极高专注度才能穿透的知识迷雾。

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这本书的习题环节，尤其是涉及到多变量微积分的部分，设计得极其精巧，但同时也异常“苛刻”。它不满足于仅仅考察你是否能套用公式进行梯度计算或曲面积分，它更侧重于考察你对微分形式和积分定理背后几何意义的理解。举个例子，关于斯托克斯定理的应用题，它给出的情景往往非常抽象，要求读者首先在脑海中构建出一个复杂的曲面，然后准确地界定边界向量场的方向，最后才能开始繁琐的计算。这种级别的题目，如果你仅仅是死记硬背了定理的公式结构，是绝对无法下笔的。我发现，每当我遇到一道难题时，最好的解决方法不是立刻去看答案，而是回到书中关于该定理“几何解释”的那一小段文字中去寻找灵感。这本书真正厉害的地方，并不在于它教你如何计算，而在于它强迫你思考“为什么这样计算是正确的”。因此，这本书更像是一个“挑战者”，它不会手把手地教你，而是把一个严峻的数学问题摆在你面前，要求你用自己掌握的所有工具去征服它。对于那些害怕被数学“吓倒”的读者来说，这本书的压迫感是巨大的，但对于那些渴望真正掌握数学思维的人来说，它绝对是一块磨砺心智的试金石。

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这本号称“微积分全景图”的教材，在我手中已经躺了几个月，说实话，它的体量和内容密度确实是有点让人望而生畏。我最初买它是冲着它名字里“One and Several Variables”的组合去的，希望能一站式解决从基础到进阶的问题。然而，实际的阅读体验却像是在攀登一座没有明显休息站的陡峭山峰。编排上，作者似乎非常坚持将所有知识点一股脑地塞进来，导致基础概念的铺陈略显仓促，尤其是在极限和连续性的引入部分，对于完全没有接触过高等数学的学生来说，理解起来会非常吃力。它更像是一本为已经有扎实预备知识的理工科高年级学生或研究生准备的参考书，而不是一本温柔的入门读物。我记得我在尝试理解多变量函数中的方向导数时，书中的推导步骤跳跃性太大，我不得不频繁地翻阅附录中关于向量代数的基础回顾，才能勉强跟上作者的思路。此外，习题的设计也偏向于理论证明和复杂的计算，缺乏足够的、能帮助理解核心概念的直观应用题。对于想要通过做题来巩固知识点的学习者来说，这本书的习题集更像是一个知识点的“覆盖清单”，而非“训练场”。整体而言，它像一本详尽的数学百科全书，内容无懈可击，但作为一本“教学”工具书，它的引导性稍显不足，需要读者具备极强的自我驱动力和预备知识储备。

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