Numerical Solution of Elliptic Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Society for Industrial & Applied Mathematics

作者:Garret Birkhoff

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1972-02

价格:USD 18.75

装帧:Paperback

isbn号码:9780686242512

丛书系列:

图书标签:

• 数值方法
• 偏微分方程
• 椭圆方程
• 有限差分
• 有限元
• 谱方法
• 数值分析
• 科学计算
• 数学物理
• 边界值问题

线性代数：理论与应用 本书聚焦于线性代数的核心理论，并深入探讨其在数学、科学及工程领域中的广泛应用。 本书旨在为读者提供一个既严谨又直观的线性代数学习体验，强调理解基本概念、掌握求解技巧以及认识矩阵与向量空间的内在联系。 第一部分：基础与核心概念 第一章：向量空间 本章系统地介绍了向量空间的基本概念，这是整个线性代数大厦的基石。我们将从最直观的二维和三维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 入手，逐步推广到抽象的向量空间定义，包括其公理化结构。重点讨论了向量的线性组合、线性无关性、张成、基（Basis）以及维数（Dimension）的概念。通过对子空间（如零空间、列空间和行空间）的深入分析，读者将建立起对“空间结构”的清晰认识。具体内容包括： 向量的加法与数乘的性质。 线性无关集的判定方法。 基的唯一性与维度定理。 子空间的交集与和空间。 基变换对坐标表示的影响。 第二章：线性变换与矩阵 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本章将线性变换与矩阵表示紧密结合起来。我们详细讨论了线性变换的核（Kernel，即零空间）与像（Image，即值域），并证明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。随后，着重讲解了如何将任意线性变换表示为特定基下的矩阵，以及矩阵乘法在变换复合中的几何意义。本章强调理解矩阵不仅仅是数字的排列，更是空间操作的算子。 线性变换的定义、性质及其与矩阵的等价性。 核（Null Space）和像（Range）的计算与意义。 坐标系变化对矩阵表示的影响：相似矩阵。 线性变换在不同基下的矩阵表示的联系。 第三章：线性方程组的求解 本章回归到线性代数最直接的应用——求解线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。我们将使用高斯消元法（Gaussian Elimination）作为核心工具，详细剖析其背后的代数原理。重点阐述了行阶梯形（Row Echelon Form）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form）的唯一性，并利用这些形式来系统地确定方程组的解集结构（唯一解、无穷多解或无解）。此外，还将介绍 LU 分解作为求解大规模线性系统的高效方法。 初等行变换及其在矩阵上的作用。 高斯-约旦消元法的完整流程与应用。 解集的几何解释：行空间、零空间与解向量的关系。 LU 分解在数值稳定性和计算效率上的优势。 第二部分：矩阵结构与分解 第四章：行列式 行列式是衡量方阵特性的一个标量值。本章从代数定义出发，探讨了行列式的基本性质，例如乘法性质、转置性质以及行变换对行列式值的影响。我们将证明行列式非零与矩阵可逆性的等价关系。本章还会介绍使用行列式来计算逆矩阵（伴随矩阵法）以及 Cramer 法则求解小规模方程组。 行列式的代数定义与几何意义（定向体积）。 行简化在行列式计算中的应用。 伴随矩阵与逆矩阵的计算公式。 Cramer 法则的理论推导与局限性。 第五章：特征值与特征向量 特征值和特征向量是理解线性变换动态特性的关键概念。本章详细讲解了如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来确定特征值。随后，讨论了特征向量的计算，以及它们在描述矩阵作用下不变方向上的重要性。本章的重点在于理解特征值与特征向量如何简化对复杂线性系统的分析。 特征多项式、特征值与特征向量的定义。 代数重数与几何重数的概念及其关系。 对角化（Diagonalization）的条件与过程：何时一个矩阵是可对角的？ 对角化在计算矩阵幂 $A^k$ 中的应用。 第六章：相似性与标准型 本章将对角化概念进行推广和深化。我们探讨了相似矩阵之间的联系，并介绍了更普遍的矩阵结构——Jordan 标准型（Jordan Canonical Form）。虽然对角化是最理想的情况，但对于不可对角化的矩阵，Jordan 标准型提供了最简洁的结构表示。本章还讨论了实对称矩阵的特殊性质及其谱分解。 相似矩阵的意义和特征。 Jordan 块和 Jordan 标准型的构造。 实对称矩阵的特征分解（Spectral Theorem）及其正交性。 第三部分：内积空间与正交性 第七章：内积、长度与正交性 本章引入了内积（Inner Product）的概念，将向量空间的结构从单纯的代数结构扩展到具有度量（长度和角度）的几何结构。重点讨论了欧几里得空间中的标准内积，以及更一般的内积空间的定义。正交性是本章的核心，它极大地简化了许多计算问题。 内积的定义及其性质（正定性、对称性、线性性）。 向量的长度（范数）和角度的定义。 正交向量集与正交基的概念。 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）。 第八章：正交投影与最小二乘法 利用正交性，本章推导出解决“无解”线性系统 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的最佳近似解——最小二乘解。我们详细阐述了 Gram-Schmidt 正交化过程，它能够系统地将任意基转换为正交基，从而简化投影计算。随后，通过正交投影原理，导出了正规方程（Normal Equations）并求解最小二乘问题。 Gram-Schmidt 正交化过程的算法与几何意义。 子空间的投影：最近点问题。 最小二乘法的几何解释。 QR 分解与最小二乘法的数值稳定性。 第四部分：应用与扩展 第九章：二次型与正定矩阵 二次型是与二次方程和几何图形密切相关的函数。本章将二次型表示为矩阵 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的形式，并利用对称矩阵的性质进行分析。关键在于通过正交变换（由特征向量提供）将二次型对角化，从而识别其主轴。我们深入探讨了正定性、半正定性的判据及其在优化问题中的重要性。 二次型的矩阵表示。 通过特征值判断二次型的惯性（正定、负定等）。 主轴定理及其在几何上的意义。 第十章：微分方程中的应用基础 本章将线性代数理论应用于线性常微分方程组的求解。重点分析了形如 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的齐次线性系统。通过特征值和特征向量的知识，我们导出了系统的通解形式，并展示了如何处理重复特征值的情况。这为后续学习动力系统和偏微分方程打下了坚实的代数基础。 线性系统 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的解的结构。 使用特征分解求解常系数线性系统。 矩阵指数 $e^A$ 的定义及其在解法中的作用。 总结 本书结构清晰，循序渐进，从最基本的向量空间概念出发，逐步构建起线性变换、矩阵分解、特征值理论和内积空间等高级主题。它不仅提供了严格的数学证明，更注重将抽象概念与实际应用（如数据分析中的降维、系统稳定性分析）联系起来，培养读者利用线性代数思维解决复杂问题的能力。本书适合作为理工科本科生或需要扎实代数基础的研究生入门教材。

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我对**《量子场论导论》**的评价是，它的理论深度毋庸置疑，但其组织结构和行文风格，使得学习过程充满了不必要的挫折感。作者在介绍费曼图和路径积分的章节时，对于量子电动力学（QED）的规范不变性讨论得有些含糊不清，这对于理解高阶微扰计算至关重要。更令人费解的是，书中对正则量子化和协变量子化两种方法的切换显得非常突兀，缺乏平滑的过渡。比如，在处理自旋统计定理时，作者直接给出了结论，却没有详细展示如何从量子化过程的内在要求推导出这个基本结论。此外，书中涉及到的高等数学工具，如群论和张量分析，虽然有附录作为补充，但与正文的衔接不够紧密，读者常常需要在正文和附录之间来回翻阅，严重打断了思维的连贯性。这本书更像是对某位教授多年讲义的忠实记录，而不是为新一代学习者精心雕琢的入门之作。它适合那些已经对狭义相对论和经典场论有深厚积累，并能自我消化复杂数学框架的读者，但对于希望建立完整、清晰知识体系的新手来说，无疑是一场艰苦的智力马拉松。

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阅读**《生物信息学中的统计推断》**的体验非常奇特，它就像是走进了一间堆满了精美古董，但灯光昏暗的博物馆。作者对贝叶斯统计框架在基因表达谱分析中的应用描绘得栩栩如生，特别是马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的引入，逻辑严密，层次分明。然而，这本书的“新”似乎仅仅停留在引用了最新的数据库名称上。对于诸如单细胞测序数据（scRNA-seq）这种具有极高维度和稀疏性的数据特性，书中给出的经典线性模型假设几乎完全不适用，而作者对于如何修正这些经典方法以适应现代数据挑战的探讨，却寥寥无几。我们期待看到更多关于高通量数据预处理中偏差（bias）的量化分析，以及如何使用更现代的非参数方法来应对“小样本、大维度”的困境。最终的感觉是，这本书的结构停留在十年前的生物数据分析水平，虽然概念扎实，但缺乏与当前科研前沿的有效对话，让人感觉它在努力追赶一个已经跑远了的时代。

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这本书，姑且称之为**《高级优化算法及其在金融建模中的应用》**，在算法的理论证明方面可谓是滴水不漏，但它在“应用”这一承诺上却显得力不从心。作者花费了大量篇幅推导出共轭梯度法（CG）和准牛顿法（BFGS）的精确收敛率，这本身是学术上的壮举。然而，当真正进入金融时间序列分析的实际场景时，例如波动率模型的参数估计，书中提供的代码示例却是用一种过时且效率低下的伪代码写成的，缺乏对现代高性能计算环境（如GPU加速或并行化）的考量。一个更致命的问题是，书中对“约束优化”的讨论严重不足，而在实际的投资组合优化问题中，如巴塞尔协议的限制、交易成本的引入等，约束条件往往是问题的核心难点。作者似乎更热衷于展示数学上的美感，而忽视了工程实践中的“脏活累活”，这使得这本书的实用价值大打折扣。它更像是一本纯数学手册，而非一个能指导实践的工具箱。

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这本**《流体动力学基础》**的作者显然对非线性偏微分方程的数值方法有着深刻的理解，但读完这本书，我感觉它在基础概念的阐述上显得有些力不从心。特别是关于如何处理高雷诺数流动中的湍流模型，书中给出的理论推导虽然严谨，但实际应用中的网格无关性讨论和收敛性分析却显得过于简略。举个例子，在讨论有限体积法求解纳维-斯托克斯方程时，作者似乎默认读者已经非常熟悉压力-速度耦合算法（如SIMPLE或PISO），并未深入剖析这些算法背后的物理意义和数值稳定性问题。我期望看到更多关于离散化误差来源的详细分析，以及在不同边界条件下，不同格式（如迎风格式与中心差分格式）的实际性能对比。整本书的叙事节奏偏快，对于初学者来说，可能会像是在攀登一座陡峭的山峰，缺乏必要的脚手架和休息站。如果作者能增加一些精心设计的、能体现数值技巧核心思想的简化案例，而不是直接跳到复杂的实际工程问题，这本书的教学价值会大大提升。当前的呈现方式更像是高级研究人员之间的专业交流，而非一本面向广泛工程或物理学读者的教材。

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**《材料科学中的晶体学与衍射理论》**这本书，其插图和图表是其最大的亮点，那些清晰的布拉格峰模拟图和倒易点阵的透视图，无疑是教科书级别的视觉盛宴。作者在解释点群对称性和空间群的概念时，采用了非常直观的几何视角，这极大地帮助理解了晶体结构的周期性本质。然而，这种对宏观和中观几何描述的过度侧重，却牺牲了对微观电子结构影响的深入探究。例如，在讨论X射线衍射强度时，德拜-沃勒因子（Debye-Waller factor）的引入仅仅是作为一个修正项被提及，但其背后的原子振动与温度的统计物理联系却被一带而过。更关键的是，对于电子衍射和中子衍射这两种在材料研究中同样重要的技术，书中的分析权重严重失衡，后两者似乎只是作为脚注出现。这本书仿佛只专注于“看”材料的结构，却未能充分解释“为什么”材料会表现出特定的物理和化学性质，使得材料科学的完整图景被打上了一层厚厚的“几何滤镜”。

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