解析函数边值问题教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:路见可

出品人:

页数:447

译者:

出版时间:1970-1

价格:39.00元

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isbn号码:9787307074316

丛书系列:

图书标签:

• 数学力学
• 数学
• 解析函数
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• 应用数学

现代数学前沿探索：非线性偏微分方程的数值解法与应用 图书简介 本书聚焦于现代数学与工程领域中的核心挑战——非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）的数值求解。在物理学、流体力学、材料科学、金融工程乃至生物医学等诸多学科中，描述自然现象和复杂系统的基本规律往往需要依赖于高度非线性的数学模型。对这些模型的精确、高效求解，是推动科学研究和工程创新的关键瓶颈。 本书旨在为高级本科生、研究生以及相关领域的科研人员提供一套全面、深入且注重实践的数值方法论。我们不侧重于解析解的构造（如对经典解析函数边值问题的研究），而是将重点放在如何利用先进的计算技术来逼近这些方程的真实解。 第一部分：非线性问题的理论基础与挑战 本部分首先回顾了研究非线性偏微分方程所必需的数学预备知识，但着重于数值处理的视角。 1. 非线性方程的分类与特性回顾： 简要梳理了椭圆型、抛物型和双曲型非线性方程的物理背景，强调了非线性引入的复杂性，如解的非唯一性、奇性形成（激波、汇聚点）以及全局解的存在性问题。这与线性或解析可解问题有着本质的区别。 2. 变分原理与泛函分析的数值视角： 探讨了解决非线性问题（尤其是椭圆型问题）的能量最小化原理。重点在于如何将连续域上的泛函最小化问题转化为离散的代数优化问题，例如涉及高次多项式或非凸能量泛函的情况。 3. 解的正则性与稳定性： 讨论了数值方法在处理解的间断性或梯度爆炸时的挑战。这包括对弱解、强解概念的理解，以及在数值模拟中如何避免数值不稳定或非物理振荡的出现。 第二部分：核心离散化技术 本书详细介绍了三种在处理非线性偏微分方程中最具影响力的离散化技术，并对比了它们在不同物理场景下的适用性。 1. 有限差分法（FDM）的非线性扩展： 介绍如何将高阶精度差分格式应用于非线性对流项和反应项。 重点分析了Crank-Nicolson、Lax-Wendroff等格式在非线性环境下的稳定性分析（例如Von Neumann稳定性分析的局限性）。 探讨了处理非线性边界条件（如自由边界或移动边界问题）的特殊差分技巧。 2. 有限元法（FEM）的非线性框架： 变分形式的建立： 详细阐述了如何从物理守恒律推导出适合有限元处理的弱形式。 非线性单元与形函数： 讨论了高阶形函数（如二次、三次形函数）在捕捉非线性解梯度变化中的优势与计算成本。 网格生成与自适应： 强调了在解的局部特征（如尖锐梯度区域）附近使用非结构化网格和网格加密技术的重要性，这与解析解的全局平滑性假设大相径庭。 3. 有限体积法（FVM）与守恒律： 专为处理对流主导问题和需要严格质量守恒的系统设计。 深入讲解了通量限制器（Flux Limiters）和黎曼求解器（Riemann Solvers，如Godunov、Roe方法）在求解欧拉方程或Navier-Stokes方程中的核心作用，这些技术直接处理了非线性方程中可能出现的激波和不连续解。 第三部分：非线性系统的迭代求解器 离散化后，NPDEs通常转化为一个大型的非线性代数方程组 $F(mathbf{u}_h) = 0$。本部分是全书的计算核心，专注于高效求解这类方程组。 1. 牛顿法及其变体： 理论推导： 详细阐述牛顿法如何通过迭代求解一系列线性系统来逼近非线性解。 雅可比矩阵的构建与处理： 重点讨论了在大型稀疏系统中，精确计算和存储雅可比矩阵的挑战，以及在计算效率和精度之间的权衡。 欠定牛顿法与线搜索策略： 介绍如何通过选择合适的步长（线搜索）和阻尼因子来确保迭代过程的收敛性，尤其是在初始猜测较差的情况下。 2. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 探讨了Broyden族方法，这些方法通过近似雅可比矩阵（或其逆矩阵）来避免每次迭代都进行完整的矩阵分解，从而极大地降低了计算成本，特别适用于内存受限的大规模问题。 3. 预处理技术与Krylov子空间方法： 鉴于直接求解大型非线性迭代步骤中的线性系统往往是瓶颈，本章深入研究了预处理技术。 详细分析了代数多重网格法（AMG）和不完全LU分解（ILU）作为非线性迭代中线性求解器预处理器的有效性。 结合GMRES、CG等迭代求解器，构建高效的求解链。 第四部分：特定复杂问题的处理策略 本部分针对现代研究中遇到的几个典型复杂非线性问题，展示了特定数值策略的应用。 1. 时间积分的非线性处理： 探讨了隐式（Implicit）时间积分方法，如后向欧拉法（Backward Euler）和隐式Runge-Kutta方法，它们在处理刚性（Stiff）非线性问题（例如反应扩散方程）中是必需的，但要求在每个时间步上进行复杂的非线性求解。 隐式-显式（IMEX）方法： 介绍如何分离方程中的线性（或反应慢速）部分和非线性（或反应快速）部分，利用显式方法处理线性部分以提高效率，同时利用隐式方法处理非线性部分以保证稳定性。 2. 自由边界与移动界面问题： 介绍Level Set方法和相场（Phase-Field）方法在描述材料固化、裂纹扩展等涉及解域变化的非线性问题中的优势，这些方法将边界追踪问题转化为求解一个辅助的输运方程。 3. 大规模并行计算架构： 讨论了如何将上述数值算法映射到现代CPU/GPU集群上。重点包括域分解方法（如Schwarz方法）在处理非线性迭代时的并行化策略，以及如何优化矩阵向量乘积（MVPs）以适应大规模分布式内存环境。 本书的特色 本书的叙事逻辑清晰，从理论基础过渡到具体的算法实现，再到大规模应用。它不依赖于对解析函数边值问题解的预设性质，而是完全专注于数值方法的构建、收敛性分析和工程实现。每章后均附有详细的伪代码和在标准测试问题（如Burgers方程、非线性泊松方程、非线性Schrödinger方程）上的算例分析，帮助读者将理论知识转化为实际的计算能力。本书旨在弥补现有教材在非线性偏微分方程数值解法前沿技术应用上的不足。

评分☆☆☆☆☆

积分方程在很多理工学科都有着广泛应用，在接触力学和断裂力学，弹性波等很多方面，用到的主要是积分方程中的一种类型——奇异积分方程。根据奇异核的不同，可以将奇异积分方程分为两种主要类型：Cauchy核方程；Hilbert核方程，应用最广泛是前者。只要我们找来一本接触力学...

评分☆☆☆☆☆

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这本书在内容的深度和广度上拿捏得恰到好处，显示出作者深厚的学术积累和广阔的视野。它既能满足那些希望打下坚实基础的初学者，也能给已经有一定基础的进阶学习者带来新的启发。作者在对基本原理进行详尽阐述的同时，也穿插了大量前沿的研究动态和实际应用案例，使得内容始终保持着活力和时代感。我特别欣赏其中对于不同流派观点的平衡论述，作者并没有固执地推崇某一种理论，而是客观地展示了各种方法的优劣和适用场景，鼓励读者进行批判性思考，而不是盲目接受。这种开放式的讨论，极大地拓展了我的知识边界，让我意识到这个研究领域并非铁板一块，而是充满着不断探索和修正的活力。特别是对于那些处于理论边缘、尚未完全定型的部分，作者的处理方式显得尤为谨慎和负责任，避免了不必要的误导。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版真是让人眼前一亮，开本适中，拿在手里感觉分量刚刚好。装帧设计简洁大方，封面设计颇具匠心，一看就知道是经过精心打磨的。拿到书后，首先被它清晰的字体和合理的行距所吸引，阅读体验非常舒适，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。书中的图表绘制得尤为精美，线条流畅，内容直观，对于理解复杂的数学概念起到了极大的辅助作用。尤其是那些复杂的公式推导，作者在排版时非常注意逻辑的层次感，使得原本枯燥的数学过程变得井井有条，一目了然。纸张的质感也十分优秀，摸上去手感细腻，印刷清晰，即便是反复翻阅，也丝毫没有褪色的迹象。不得不说，如此精良的装帧和印刷质量，足以见得出版方的用心和对读者的尊重，这在许多专业技术书籍中是相当难得的。它不仅仅是一本知识的载体，更像是一件值得收藏的艺术品，让人在学习知识的同时，也能享受到阅读的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

在阅读过程中，我惊喜地发现作者的语言风格非常独特且富有个人魅力。它既保持了学术著作应有的严谨与精确，又摆脱了传统教材那种刻板、生硬的面孔。行文中时不时出现的精妙比喻和恰到好处的幽默感，极大地调和了内容的专业性所带来的枯燥感。阅读起来，感觉更像是在与一位学识渊博且风趣幽默的导师进行一对一的深度交流，而不是在啃一本冰冷的教材。作者对术语的解释总是力求精准到位，同时不忘对这些术语背后的历史渊源和哲学思考进行简要提及，这使得知识的学习不再是孤立的符号操作，而是融入到了更广阔的学科背景之中。这种富有温度和人情味的表达方式，极大地增强了阅读的粘性，让我能够持续保持高昂的学习热情，这对于学习一门硬核的专业学科来说，无疑是至关重要的加分项。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计简直是一场智力探险，充分体现了“学以致用”的指导思想。与其他教材中常见的纯粹的计算练习不同，这里的习题更像是精心设计的“问题链”。它们不仅仅是检验对公式的记忆，更是对逻辑推理能力和解决复杂问题的综合能力的考验。从基础的代数运算到复杂的工程建模，每一组习题都环环相扣，步步深入。更妙的是，很多习题的设置都巧妙地联系到了前文介绍的理论和应用实例，形成了一个完整的知识闭环。完成这些习题的过程，就像是亲手搭建一座知识的桥梁，每一步都充满了挑战，但每当攻克一个难关，那种成就感是无可替代的。对于那些希望真正掌握这门学问的人来说，这些习题的价值，可能不亚于书本中的主要理论阐述。

评分☆☆☆☆☆

我印象最深的是作者在概念引入部分的叙述方式，简直是教科书级别的典范。他没有急于抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是选择了一种非常贴近直觉的引导方式。比如，在讲解某个高深抽象的概念时，他会先从一个非常具体的、现实世界中可能遇到的简单情境入手，层层递进，将抽象概念具象化。这种“由浅入深、循序渐进”的讲解策略，极大地降低了初学者的入门门槛。我记得以前在其他地方接触到类似内容时，总是会因为一开始的理论轰炸而感到挫败，但在这本书里，作者似乎总能找到那个最恰当的“拐点”，让我们在不经意间就掌握了核心思想。这种润物细无声的教学艺术，体现了作者深厚的教学功底和对读者学习心理的精准把握。读完一个章节，总感觉自己不是被“灌输”了知识，而是“自行领悟”了真谛，收获感油然而生。

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