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出版者:

作者:Bultheel, Adhemar; Bultheel, A.; Gonzalez-Vera, P.

出品人:

页数:424

译者:

出版时间:1999-2

价格:$ 151.42

装帧:

isbn号码:9780521650069

丛书系列:

图书标签:

• 正交多项式
• 有理函数
• 特殊函数
• 数值分析
• 近似论
• 数学分析
• 应用数学
• 理论数学
• 函数逼近
• 计算数学

好的，这是一份针对名为《正交有理函数》（Orthogonal Rational Functions）的书籍的简介，它着重描述该书不涉及的内容，并力求详实自然。 --- 图书简介：深入探索纯代数几何与图论的交汇 书名：《环面上的几何与拓扑变换》（Geometry and Topology on the Torus） 作者：[此处填写作者姓名] 出版社：[此处填写出版社名称] ISBN：[此处填写ISBN号] 页数：约 680 页 出版日期：[此处填写日期] --- 内容概述：超越函数逼近与数值分析 《环面上的几何与拓扑变换》是一部聚焦于经典微分几何、代数拓扑以及它们在低维流形上应用的专著。本书旨在为高级研究生和研究人员提供一个扎实的理论框架，以理解二维紧致流形，特别是环面 $mathbb{T}^2$ 上的结构性质。全书的论述严格建立在拓扑学的基本公理和微分几何的黎曼几何基础之上，深入探讨了诸如测地线流、曲率的全局影响、同调群的计算，以及纤维丛理论在环面上的具体表现。 本书明确不包含以下主题的深度探讨： 1. 正交多项式系统（Orthogonal Polynomial Systems）： 本书不会涉及任何关于古典正交多项式族（如勒让德、切比雪夫、拉盖尔等）的构造、生成函数、三项递推关系或其在求解特定微分方程中的应用。我们不会讨论这些函数如何在特定区间上满足正交性条件，也不会讨论与拉东-尼科迪姆导数相关的测度理论。 2. 有理函数的分析延拓与逼近理论： 书中不包含任何关于函数逼近论的章节。讨论的重点在于流形的拓扑结构和微分性质，而非如何使用有理函数（即多项式之比）来近似任意连续函数。诸如 Padé 近似、误差界限分析、或特定函数空间上的最佳一致逼近等主题完全被排除在外。 3. 数值计算与离散化方法： 本书的视角是纯粹的解析和代数性的。因此，任何关于有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、迭代求解器（如 Krylov 子空间方法），或任何用于在计算机上求解微分方程的算法和稳定性分析内容，均未被收录。我们不讨论如何利用计算机代数系统（CAS）或数值库进行实际计算。 4. 特定物理或工程应用： 虽然几何和拓扑学在物理中有广泛应用，但本书的范围严格限定在数学理论本身。因此，诸如量子场论中的规范理论、流体力学中的涡旋动力学、或任何涉及信号处理、控制理论或电路分析的应用实例，都不在本书的讨论之列。 --- 核心内容深度剖析 全书分为五个主要部分，总计二十章，结构严谨，层层递进： 第一部分：基础结构与拓扑回顾 (Chapters 1-4) 本部分首先为读者打下坚实的拓扑学基础，侧重于可定向二维流形的分类。我们从基本群、覆盖空间理论出发，详细分析了环面的基本群 $pi_1(mathbb{T}^2) cong mathbb{Z}^2$ 的结构，并将其与其双曲对偶（如 Klein 瓶）进行对比。重点章节包括对 De Rham 上同调群 $H^(mathbb{T}^2; mathbb{R})$ 的精确计算，展示了 $H^0, H^1, H^2$ 的自由基及其贝蒂数。我们通过楔乘（Wedge Product）的视角，阐述了微分形式在环面上的代数关系。 第二部分：黎曼几何与测地线流 (Chapters 5-9) 在建立拓扑框架后，我们转向微分几何。本部分专注于黎曼度量在环面上的构造与分析。详细讨论了平坦度规（Flat Metrics）的性质，特别是当度量张量 $g_{ij}$ 恒定时，如何推导出所有曲率张量（如 Riemann 张量 $R^a{}_{bcd}$）恒为零这一关键结果。后续章节深入分析了测地线方程 $frac{d^2x^k}{dt^2} + Gamma^k_{ij}frac{dx^i}{dt}frac{dx^j}{dt} = 0$ 在平坦环面上的解析解，展示了所有测地线要么是闭合的（对应于 $mathbb{Z}^2$ 的代表类），要么是稠密的。我们利用 Poincaré-Hopf 定理，讨论了向量场零点的不存在性。 第三部分：代数拓扑与纤维丛 (Chapters 10-14) 本部分的核心是利用代数工具解析环面的全局结构。我们详细阐述了 Čech 上同调与 De Rham 上同同调的同构，并引入了纤维丛的概念。重点案例是庞加莱纤维丛（Poincaré Bundle）在环面上的限制，分析了如何通过非平凡的第一陈类 $c_1$ 来区分不同类型的线丛（Line Bundles）在环面上的结构。本部分严格区分了拓扑不变量与几何度量依赖的量，证明了环面作为单连通流形覆盖空间的重要性。 第四部分：曲率与调和分析的初步接触 (Chapters 15-18) 在保持几何纯粹性的前提下，我们探讨了在环面上嵌入特定曲面时，平均曲率（Mean Curvature）与局部曲率的全局积分性质。虽然不涉及数值逼近，但我们运用 Hodge 定理，对微分 1-形式空间进行了正交分解，将任意 1-形式分解为闭合的、共轭的（即恰当的）和调和的形式。调和 1-形式的空间维数，直接对应于 $H^1(mathbb{T}^2)$ 的维数，这一结果在理论物理中的势场分析中具有深远意义。我们详细推导了拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator）在环面上的特征值问题，其解是标准的傅里叶级数，但分析的目的是为了理解特征值谱的结构，而非求解数值问题。 第五部分：嵌入与刚性 (Chapters 19-20) 最后，本书考察了环面作为三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 中子流形时的局部与全局性质。我们运用 Nash–Williams 定理的几何前身，讨论了环面嵌入的刚性条件，特别是当度量完全由嵌入空间决定时，环面自身的几何性质如何被限制。最终章总结了在不同拓扑空间上（如球面 $S^2$ 与环面 $mathbb{T}^2$）测地线分布的根本性差异，强调了基本群对动力学行为的决定性影响。 --- 目标读者群 本书适合于已经掌握流形理论基础、代数拓扑初步知识以及经典微分几何概念的数学系研究生和专业研究人员。阅读本书需要对李群、外微分、张量分析有扎实的预备知识。它是一部理论导向的参考书，旨在深化对低维光滑流形结构本质的理解，而非作为数值方法的入门手册。

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这本书的排版风格非常注重细节，字体选择偏向于清晰易读的衬线体，这在阅读大量数学公式时显得尤为重要，能有效减轻视觉疲劳。我特别留意了书中的注释和参考文献部分，它们组织得非常详尽和规范，这表明作者对该领域的研究历史和当前进展有着全面而扎实的掌握。一个好的学术参考书，其价值往往体现在它能引导读者深入探索更广阔的研究领域。我期待这本书不仅解决了“如何构造”正交有理函数的问题，还能阐明“为什么是它们”——即在数学结构上，它们相对于其他逼近工具的内在优势在哪里。比如，它们是否在处理特定类型的积分方程时展现出独特的优势？这本书如果能对不同函数空间上的逼近误差进行横向比较，并用严格的数学论证来支持其优越性，那将是非常有说服力的。总而言之，从目前的初步接触来看，这本书似乎具备成为该领域核心参考书的潜力，它不仅仅是知识的记录，更像是一份深入的、经过深思熟虑的研究路线图。

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说实话，我本来以为这本书会是那种晦涩难懂、充满深奥符号的纯理论著作，读起来可能需要极大的耐心和深厚的背景知识。但实际翻阅下来，发现它的叙事方式比我想象的要清晰流畅一些，至少在开篇章节的引入部分是这样的。作者似乎很注重建立读者的直觉理解，而不是直接抛出复杂的定理。我尤其欣赏它在介绍基本概念时所采用的类比和图示，虽然我还没深入到核心的证明部分，但从这些铺垫来看，作者在努力搭建一座从基础知识到前沿理论的桥梁。我希望能看到一些历史背景的介绍，了解正交有理函数这个概念是如何一步步发展起来的，它在哪个具体的研究领域（比如信号处理、微分方程求解等）中找到了关键的应用价值。一个好的教材或专著，除了要有扎实的理论，更要有清晰的脉络，让读者能跟着作者的思路一步步深入。如果它能做到这一点，那么这本书的价值就不仅仅在于其学术深度，更在于其作为学习资源的实用性。

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我是在一次学术会议上听说了这本书的消息，当时几位领域内的权威提到了这本书对当前数值逼近领域带来的“新范式”。这让我对它充满了期待，尤其是想看看它如何处理非线性问题或高维数据的逼近挑战。我关注的重点在于其“正交性”的定义是否可以推广到更广阔的空间，比如在黎曼流形上，或者在非均匀网格点上如何定义这种“正交”关系。如果作者能将经典的正交理论推广到这些更具挑战性的数学结构中，那么这本书的贡献将是巨大的。我猜测书中可能包含了大量的线性代数和泛函分析的知识作为支撑，但真正的亮点应该在于如何巧妙地将这些工具应用于有理函数的结构之中。对于一个希望将理论应用于实际工程问题的读者来说，我更希望看到的是关于算法复杂度和计算稳定性的讨论，而不只是纯粹的数学存在性证明。这本书是否能提供一个从理论到实践的完整闭环，是衡量其价值的重要标准。

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这本书，嗯，拿到手的时候就感觉挺有分量的，封面设计简洁大气，那种带着点学术气息的字体排版，让人忍不住想翻开看看里面的内容。我个人对数学领域的一些前沿理论一直抱有浓厚的兴趣，特别是涉及到函数逼近和数值分析的交叉点。这本书的标题《正交有理函数》听起来就非常专业，让人立刻联想到傅里叶级数、切比雪夫多项式这类经典的正交系统，但“有理函数”这个词又增添了一层复杂的意味。我期待它能带来一些关于如何用有理函数来更有效地逼近复杂函数的全新视角和理论框架。比如，在处理奇异点或者函数在特定区间表现出非光滑特性时，正交有理函数的性能是否会优于传统的正交多项式？书中如果能深入探讨这些问题的理论基础，并提供一些实际应用的案例，那就太棒了。我对作者在构建这个理论体系时所采用的数学工具和证明的严谨性非常好奇，希望它不仅仅是理论的堆砌，而是能提供一套清晰、可操作的分析方法论。这本书的装帧质量也很不错，纸张的触感和印刷的清晰度都体现了出版方对学术著作的尊重，这对于长时间阅读来说是个加分项。

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这本书的理论深度显然是面向专业研究人员的，这一点从它对具体引理和定理的证明篇幅就可以看出来。我注意到其中关于逼近阶的分析部分，似乎引入了非常精妙的误差估计技巧。在我目前接触到的相关文献中，针对有理函数逼近的误差分析往往比多项式逼近复杂得多，因为它涉及到对极点位置的敏感性。如果这本书能提供一种系统性的方法来控制或选择这些极点，使得正交性能够在特定的权重函数下得到保持，那就太具有突破性了。我正在寻找一种工具来处理我目前项目中遇到的一个边界层问题，传统的有限差分或谱方法在这种情况下表现不佳。我希望《正交有理函数》能够提供一种代数上更灵活、在数值实现上更稳定的替代方案。从目前的阅读体验来看，它似乎真的在尝试填补这个空白，而不是简单地重复已有的知识点。这需要作者有非常深刻的洞察力和数学构建能力，期待后续章节能给出明确的计算流程。

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