新版奥林匹克数学竞赛标准教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:186

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出版时间:2010-2

价格:12.00元

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isbn号码:9787560091464

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现代高等代数导论：理论与应用前沿 本书旨在为学习现代高等代数的读者提供一个全面、深入且与时俱进的知识体系。它不仅覆盖了经典代数结构（群、环、域）的严谨理论基础，更着重于展现这些抽象概念在现代数学及相关交叉学科中的实际应用与最新发展。 第一部分：基础结构的重构与深化 本部分从集合论和逻辑的视角出发，对抽象代数的基础进行了坚实的回顾与提升。我们没有停留在传统的定义罗列，而是致力于构建一个连贯的理论框架，强调结构之间的内在联系。 第一章：代数结构的原型与范畴思维 本章首先引入范畴论的基本概念，将其作为理解不同代数结构之间关系的统一语言。我们探讨了集合、群、环作为特定范畴中的对象和态射，从而为后续的深入学习奠定高屋建瓴的视角。重点解析了同构、同态、积与余积的通用构造，并以万有代数的视角重新审视自由代数。具体内容包括： 集合论基础的现代处理： 偏向于 ZFC 公理化系统的现代解读，着重于构造性集合论的初步概念，为构造复杂代数对象提供工具。 基本代数结构的构造性定义： 区分了“描述性定义”和“构造性定义”，例如，通过万有性质而非单纯的元素构造来定义直积。 范畴论入门： 介绍对象、态射、复合、单位元，并初步讨论对偶性原理在初等结构中的体现。 第二章：群论的拓扑与几何视角 在系统复习了基本群（如置换群、循环群）之后，本章的核心在于将群论置于更广阔的几何和拓扑背景下考察。 表示论的初步： 引入群表示的概念，重点讲解线性群 GL(n, $mathbb{C}$) 作为一切群的“原型”。通过不可约表示的理论，推导出费德尔-博雷尔（Faddeev-Borel）定理的初级形式，为理解物理学中的对称性打下基础。 群作用与轨道稳定性： 深入分析柯西-弗罗贝尼乌斯引理在计数问题中的应用，并拓展至同调论中群上同调的朴素介绍，理解群作用如何影响空间的拓扑性质。 无限群的结构分解： 重点探讨自由群的结构，通过图的生成元来直观理解其复杂性。引入黑尔斯-维特（Hales-Witt）定理的背景，讨论无限群的子群增长问题，区别初等群与有限生成群的差异。 第三章：环论与代数几何的桥梁 本章超越了传统的高中代数知识，将环的结构提升到与域、模论紧密关联的层面，并暗示了与代数几何的联系。 模（Module）的中心地位： 将环视为系数域上的一个“广义向量空间”，系统研究模的性质。重点分析有限生成模在主理想域（PID）上的结构定理（Smith Normal Form 的抽象推广），并探讨Noether 环和Artin 环的特性。 分解理论的深化： 对唯一分解域（UFD）和主理想域（PID）进行严格区分与联系。引入Dedekind 环的概念，并阐述其在代数数论中的关键作用，特别是与理想类群的初步关联。 结合晶体（Algebras over a Ring）： 讨论环上的代数结构，特别是结合代数的定义，为理解李代数和张量代数做准备。 第二部分：结构深入与现代工具的应用 本部分聚焦于代数结构中更高级的分解、构造和计算方法，特别是那些在应用数学和理论物理中扮演核心角色的工具。 第四章：域论的深入拓展与伽罗瓦理论的现代重述 本章不仅重述伽罗瓦理论的经典结果（如可解性判据），更将其置于更现代的代数几何框架下考察。 超越有限域： 详细分析代数闭域（如 $mathbb{C}$）和超越扩张的性质。引入维尔斯特拉斯零点定理的代数前置条件，并探讨希尔伯特零点定理的非形式化表述。 反转伽罗瓦问题： 讨论反向伽罗瓦问题的最新进展，即哪些群可以作为某个域的伽罗瓦群。引入反转算子（Inverse Galois Theory）的基本思想和主要困难。 非经典扩张： 考察形式幂级数环上的域扩张，引入p-adic 数的基础概念，将其视为一种特殊的完备化过程。 第五章：张量、结合与李代数的构造 此章旨在将代数工具从加法结构延伸到乘法和双线性结构，为微分几何和规范场理论提供代数基础。 张量积的通用性质： 从双线性映射的唯一分解性质出发，严格定义张量积 $otimes$，并证明其结合律和分配律的“自然性”。重点分析向量空间张量积与环张量积的区别与联系。 李代数的结构与表示： 将李括号视为环乘法的一种“线性化”逼近。系统分析半单李代数的结构，引入卡塔楠矩阵（Cartan Matrix）的构造及其与根系（Root System）的关系。 包络代数（Universal Enveloping Algebra）： 详细阐述 Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW) 定理，证明每个李代数都有一个张量代数的商结构，这是连接李代数和结合代数的关键。 第六章：同调代数的计算方法与范式 本章是全书的技术核心，侧重于如何利用链复形和链映射进行计算，是现代几何学和拓扑学不可或缺的工具。 链复形与链映射： 从链复形的定义出发，引入上同调群的构造过程。详细阐述蛇行引理（Snake Lemma）及其在提取短正合序列中的核心地位。 导出函子（Derived Functors）： 介绍Ext和Tor函子的正式定义，解释它们如何衡量某个函子（如 Hom 或 $otimes$）在“非正合”情况下所产生的偏差。 谱序列的初步应用： 引入双复形的概念，并以此为基础，介绍Serre 谱序列在纤维丛上同调计算中的应用雏形，旨在让读者对这种强大的计算工具有一个直观的认识。 结语：代数思维的未来方向 本书的终极目标是培养读者从“计算”转向“构造”和“证明”的代数思维。我们希望读者能够掌握将复杂问题抽象化为基本结构、利用结构间的联系进行推理的能力。未来的研究方向如非交换几何、高阶范畴论和算术几何，都建立在对这些基础结构的深刻理解之上。本书为读者打开了通往这些前沿领域的大门，提供了必要的理论“工具箱”。

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作为一名多年从事数学竞赛辅导的老师，我深知一套优秀的教材对于提升学生成绩的重要性。最近接触了这本《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》，我必须说，它确实给了我不少惊喜。从整体的编排结构来看，逻辑清晰，循序渐进，覆盖了奥赛所涉及的绝大部分核心知识点，并且在内容的取舍上，体现了相当高的专业水准。书中对于一些经典难题的解析，可以说是非常详尽和独到，它不仅仅是给出答案，更重要的是剖析了问题的本质，引导学生思考多种可能的解题路径，甚至包括一些“旁门左道”的技巧，虽然这些技巧不一定能直接写在标准解法中，但对于拓展学生的思维宽度和激发灵感至关重要。我尤其欣赏的是书中在讲解过程中，对于数学概念的引入和发展，都做了非常扎实的铺垫。例如，在讲解组合计数部分时，它并没有直接跳到复杂的排列组合公式，而是先从简单的计数原理入手，逐步引入鸽巢原理、容斥原理等，让学生在理解的基础上掌握更高级的工具。这种“由浅入深，由简到繁”的教学理念，对于培养学生的数学素养和解题能力，有着长远的益处。此外，书中附带的大量练习题，质量非常高，涵盖了不同难度和类型的题目，能够有效地检验学生对知识的掌握程度，并且能够帮助学生熟悉竞赛的题型和考查方式。总而言之，这是一本值得推荐给所有有志于冲击数学竞赛的学生的优秀教材。

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这本《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》给我最大的感受就是它的“实用性”。我是一名在高二下学期才开始认真准备数学竞赛的学生，之前基础比较薄弱，很多知识点都是零零散散地掌握。这本教材就如同一个梳子，将我之前混乱的知识点梳理得井井有条。我尤其看重它在每章开头对该章知识点的“导引”，它能够清晰地告诉我这一章要学什么，以及这些知识点在整个奥赛体系中处于什么位置。更重要的是，书中的例题设计得非常巧妙，很多题目都取材于经典的竞赛试题，但经过作者的重新编排和解析，使其更具代表性和普适性。我喜欢它解析中的“解题思路”部分，它不只是给出一步步的计算过程，而是会先分析题目的特点，找到突破口，然后引导我一步步构建解题的逻辑链条。这对于提升我的解题能力，特别是独立思考和解决问题的能力，帮助非常大。我一直在寻找一种能够让我“举一反三”的学习方法，而这本书在这方面做得非常到位。通过对例题的深入理解和模仿，我发现自己解决同类问题的能力有了明显的提升。此外，书中对一些抽象的数学概念的解释，也比我之前看过的任何一本教材都要清晰易懂。例如，在讲解集合论中的一些基本概念时，作者用了很多类比和生活中的例子，让我能够迅速抓住核心要义，避免了对抽象符号的过度纠结。

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这本书的出版，对于正在备战奥林匹克数学竞赛的同学们来说，无疑是一场及时雨。我是一名正在高一备战数学竞赛的学生，一直在寻找能够系统性地梳理知识点，并且能够提供足够深度和广度的练习题的教材。市面上很多同类书籍，要么过于浅显，点到为止，难以应对竞赛的挑战；要么过于晦涩，讲解不清，让初学者望而却步。这本《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》则恰恰找到了一个绝佳的平衡点。它在内容的深度上，紧密贴合了历年奥赛真题的考察方向，无论是数论、几何、代数还是组合计数，讲解都力求深入透彻，并且辅以大量的例题和变式。这些例题的难度梯度设计得非常合理，从基础巩固到拔高训练，层层递进，让我在掌握基础知识的同时，也能逐步培养解决复杂问题的能力。更让我惊喜的是，书中对于一些核心数学思想和解题方法的阐述，非常到位。很多时候，我们之所以在解题时卡壳，并非是知识点掌握不牢，而是缺少一个清晰的解题思路。这本书在这方面做得尤为出色，它教会我如何审题，如何联想，如何构建解题框架，这些都是在课堂上难以获得的宝贵经验。我个人非常喜欢其中关于几何部分对“以形助数”和“以数助形”的讨论，以及代数部分对函数方程思想的灵活运用。这些抽象的数学思想，通过书中的详实讲解和精心挑选的例题，变得生动而具体，极大地激发了我学习数学的兴趣和信心。

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说实话，一开始拿到这本《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》的时候，我并没有抱太大的期望。市面上这类书籍太多了，大多数都是换汤不换药。但当我翻开它，尤其是看到关于数论部分的讲解时，我才意识到自己错了。书中对素数定理的引入，以及对丢番图方程的讲解，都让我眼前一亮。它的叙述方式非常现代化，并没有过分强调枯燥的符号推导，而是更注重数学思想的传递。比如，在讲解同余方程组时，作者并没有直接给出高深的结论，而是通过一系列生动形象的例子，将中国剩余定理的思想娓娓道来，让我能够轻松理解其核心逻辑。而且，书中对每一个概念的定义都非常严谨，没有含糊不清的地方，这对于我们这种需要精确理解数学概念的学生来说，至关重要。我特别喜欢它在讲解完一个章节后，会有一个“思维拓展”或者“历史渊源”的板块，这不仅能让我了解到这个知识点在数学史上的地位，更能引发我对数学更深层次的思考。比如，在看到关于欧拉函数和费马小定理的讲解时，书中穿插了关于欧拉和费马两位伟大数学家的故事，让我感受到了数学的魅力所在。这本书让我感觉，学习数学不仅仅是记忆公式和解题技巧，更是一种思维的训练和智慧的启迪。我正在尝试用书中的方法来解决一些我之前觉得很难的问题，并且发现效果显著。

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不得不说，这本《新版奥林匹克数学竞赛标准教材》是一本能够让你“爱上”数学的书。作为一名对数学充满热情的学生，我一直在寻找能够满足我探索欲望的读物。这本教材在保持学术严谨性的同时，注入了非常多的创造性和趣味性。它不仅仅是一本训练题集，更像是一场关于数学思想的探索之旅。书中对数学史的引用，对数学家们探索过程的描述，都让我感觉自己仿佛置身于那个伟大的时代，与他们一同思考，一同进步。我特别喜欢书中在讲解某些定理时，会追溯其发现的“历史背景”和“数学意义”，这让我不仅仅是知道“是什么”，更能理解“为什么”。例如，在讲解组合数学中的“二项式定理”时，书中就详细阐述了其在数学和科学研究中的广泛应用，这让我对数学的价值有了更深刻的认识。而且，书中的题目设计非常具有挑战性，但又并非“无理取难”，每一个难题都蕴含着巧妙的数学思想和解题技巧。我常常会花很长时间去钻研一道题目，即使最后没有完全解出来，在这个过程中，我也获得了巨大的知识和能力的提升。这本书让我明白，奥林匹克数学竞赛不仅仅是考查学生的计算能力和记忆能力，更是考查学生的逻辑思维、创新能力和数学素养。我强烈推荐这本教材给所有热爱数学，并且渴望在数学领域有所建树的同学们。

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