具体描述
《现代数理统计：从理论基石到前沿应用》 本书简介 本著作旨在为高等院校数学、统计学、工程学、经济学等相关专业的高年级本科生及研究生提供一部全面、深入且兼具理论深度与应用广度的现代数理统计教材与参考书。我们深知，数理统计是理解和分析随机现象的基石，它不仅是理论科学探索的工具，更是数据驱动决策的强大引擎。本书的编写理念聚焦于构建严谨的数学框架，并在此基础上，系统地展示这些理论如何应用于解决现实世界中的复杂问题。 第一部分：概率论基础与统计推断的数学准备 本书的开篇部分将巩固读者对概率论的理解，并将其无缝衔接到统计推断的领域。我们将从随机变量的性质、矩、矩生成函数以及大数定律和中心极限定理的现代阐述入手。特别地，我们将投入大量篇幅讲解收敛性理论（依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛），这对于理解渐近统计推断至关重要。 随后，本书将深入探讨多维随机变量，包括多元正态分布的特性、协方差矩阵的性质及其在降维和分类问题中的作用。我们不会仅仅停留于分布的定义，而是会强调其在信息论和统计模型假设中的重要性。 第二部分：参数估计的理论与方法 本部分是数理统计的核心。我们首先构建统计推断的基本框架，明确充分性、完备性和无偏性的统计学意义。 点估计理论： 详细分析矩估计法 (MOM)、极大似然估计法 (MLE) 的构造过程、性质（如一致性、渐近正态性）及其局限性。对于MLE，我们将探讨其在复杂模型（如混合分布、生存分析中的半参数模型）中的应用挑战及解决方案。 有效性与最优性： 深度剖析Cramér-Rao 界，并介绍UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator) 的概念，阐述Lehmann-Scheffé 定理及其在寻找最优估计量中的实际意义。 贝叶斯推断基础： 区别于传统的频率学派观点，本书用一章的篇幅系统介绍先验分布的选择、后验分布的计算，以及贝叶斯估计（如最小均方误差估计）。我们将讨论马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 方法在处理复杂后验分布时的初步应用场景。 第三部分：假设检验的严谨构建 假设检验是统计决策的核心。本书将从损失函数、风险函数的角度引入统计决策论，为假设检验提供坚实的理论基础。 检验方法的推导： 详细推导Neyman-Pearson 引理，并将其推广至最有力检验 (UMP) 的概念。随后，我们将介绍似然比检验 (LRT)，并论证其在许多常见参数模型下的渐近最优性。 非参数检验： 针对分布假设不成立的情况，本书介绍并推导了Wilcoxon 秩和检验、符号检验等基于分布无关方法的原理和应用条件。 多重检验问题： 在大数据和高维数据分析的背景下，我们专门探讨了第一类错误膨胀问题，介绍Bonferroni 校正、FDR (False Discovery Rate) 等现代多重比较控制方法。 第四部分：线性模型与方差分析 (ANOVA) 线性模型是应用最广泛的统计模型之一。本书将从最小二乘估计 (OLS) 的几何解释出发，建立多元线性回归的统计框架。 高斯-马尔可夫定理： 严格证明在经典假设下OLS估计的BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) 性质。 推断与诊断： 详细介绍回归系数的t 检验与 F 检验，并深入讲解多重共线性、异方差性和自相关等常见违约情况的处理方法（如广义最小二乘 GLS）。 方差分析 (ANOVA)： 以线性模型的视角重新审视 ANOVA，讲解单因素、双因素模型的模型设定、F 统计量的推导及其在实验设计中的应用。 第五部分：非参数统计与经验过程 为了应对现代数据分析中对模型灵活性日益增长的需求，本书专门设置章节讨论非参数方法。 经验过程与Kolmogorov-Smirnov 检验： 引入Dudley 积分和Kullback-Leibler 散度等概念，用经验过程的理论来统一描述统计量如何依赖于数据分布。系统推导Kolmogorov-Smirnov (K-S) 和 Cramér-von Mises (CvM) 统计量的渐近分布。 核密度估计 (KDE)： 详细介绍核函数的选择（如高斯核、Epanechnikov 核）和带宽 (Bandwidth) 的优化策略，并分析 KDE 的均方误差 (MSE) 结构。 第六部分：随机过程导论及其在统计推断中的衔接 本部分旨在为读者理解更高级的、基于时间的随机模型做好准备，同时展示随机过程理论与统计推断的交叉点。 基本随机过程回顾： 简要回顾马尔可夫链、泊松过程以及布朗运动 (Wiener 过程) 的核心性质。 时间序列的初步分析： 从统计学的角度介绍平稳性、自相关函数 (ACF) 和偏自相关函数 (PACF) 的概念。介绍ARMA 模型的估计与诊断，侧重于如何用统计检验方法确定模型的阶数。 鞅 (Martingale) 理论在统计中的应用： 介绍鞅收敛定理，并简要讨论鞅在处理依条件期望的序列（如随机梯度下降过程）中的理论价值。 本书特点 1. 严谨性与直观性并重： 每一推导都力求逻辑清晰，同时辅以大量的几何解释和算例，帮助读者建立直观理解。 2. 关注现代应用： 理论讨论紧密结合现代统计面临的挑战，如模型诊断、非参数方法的选择、大数据背景下的推断问题。 3. 全面的习题设计： 书后附有大量分层次的练习题，包括理论证明题和基于实际数据集的计算分析题，以巩固学习效果。 本书适合作为应用统计、生物统计、金融工程等专业的研究生核心课程教材，也是对数理统计有深入追求的科研人员的重要参考资料。
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