(WCS)Numerical Methods Chapters 19 for Ohio State University Winter 2007 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons

作者:Amos Gilat

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2007-02-21

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780470145111

丛书系列:

图书标签:

• Numerical Methods
• Ohio State University
• Winter 2007
• WCS
• Mathematics
• Engineering
• Higher Education
• Textbook
• Calculus

数值分析：算法、理论与应用 本专著深入探讨了数值分析的核心概念、经典算法及其在科学与工程领域的广泛应用。本书旨在为读者提供一个扎实而全面的数值方法知识体系，无论读者是希望深入理解数学原理，还是寻求解决实际计算问题的工具，都能从中获益。我们特别关注算法的理论基础、实现细节以及不同方法的优缺点，并结合丰富的实例进行阐释，力求使抽象的数学概念变得具体可感。 第一部分：基础概念与误差分析 在踏入数值分析的广阔天地之前，我们首先需要建立起对数值计算基本特性的深刻理解。本部分将从最基础的数值表示入手，探讨计算机如何存储和处理实数，以及由此带来的潜在误差。 数值表示与浮点运算：我们详细介绍了计算机中浮点数的表示方式，包括符号位、指数位和尾数位，以及IEEE 754标准的细节。在此基础上，我们将深入分析浮点运算中可能产生的各种误差，如舍入误差（round-off error）和截断误差（truncation error）。理解这些误差的来源、传播机制以及如何量化它们，是进行可靠数值计算的第一步。我们将通过具体的例子，如大数相减、小树相加等，来直观地展示这些误差的影响。 误差分析与精度度量：我们将系统地介绍绝对误差、相对误差、不确度和误差传播定律。读者将学习如何评估计算结果的精度，并理解当输入数据存在误差时，这些误差如何影响最终的计算结果。我们还将探讨病态问题（ill-conditioned problems）的概念，即输入数据的微小扰动可能导致输出结果的巨大变化，并介绍如何识别和处理这类问题。 第二部分：线性方程组的求解 线性方程组在科学计算和工程模拟中无处不在，其高效准确的求解是许多复杂问题的基础。本部分将系统地介绍求解线性方程组的经典方法。 直接法：我们将详述高斯消元法（Gaussian elimination）的原理，包括行变换、消元过程以及回代求解。在此基础上，我们将深入分析其变种，如带主元高斯消元法（Gaussian elimination with pivoting），以提高数值稳定性和鲁棒性。接着，我们将介绍LU分解（LU decomposition）及其在求解线性方程组中的应用，并讨论其优势，尤其是在需要多次求解具有相同系数矩阵的方程组时。范例将包含从二维到高维线性方程组的求解过程。 迭代法：对于大规模稀疏线性方程组，迭代法通常比直接法更有效。我们将详细讲解雅可比迭代法（Jacobi iteration）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel iteration）的原理、收敛条件以及收敛速率。进一步，我们将介绍逐次超松弛法（Successive over-relaxation, SOR），并讨论如何选择合适的松弛因子以加速收敛。我们还会触及更高级的迭代方法，如共轭梯度法（Conjugate Gradient method）及其变种，它们在求解大型对称正定线性方程组时表现出色。 第三部分：插值与逼近 插值与逼近是根据一组离散数据点来构建连续函数模型的重要工具，在数据拟合、函数逼近和数值积分等领域有着广泛应用。 多项式插值：我们将从拉格朗日插值多项式（Lagrange interpolating polynomial）开始，深入理解其构造原理和唯一性。接着，我们将介绍牛顿插值多项式（Newton’s interpolating polynomial）及其递推计算的优势，重点讲解差商（divided differences）的概念。我们将讨论多项式插值可能出现的龙格现象（Runge's phenomenon），即在高次插值时可能出现剧烈的震荡，并介绍分段多项式插值（piecewise polynomial interpolation），如三次样条插值（cubic spline interpolation），来克服这一问题。 最佳逼近：除了插值，我们还将探讨函数在给定函数空间内的最佳逼近问题。我们将引入最小二乘逼近（least squares approximation），讨论如何选择基函数来最小化误差平方和，以及在连续函数空间中的最小二乘积分逼近。我们将通过实例展示如何拟合线性、多项式以及其他形式的逼近函数。 第四部分：非线性方程的求解 求解形如 $f(x) = 0$ 的非线性方程是科学研究中的一个基本问题。本部分将介绍一系列有效的数值方法。 根定位方法：我们将首先介绍二分法（bisection method），它是一种简单但保证收敛的方法，通过不断二分区间来逼近根。我们将分析其收敛速率。 开方法：我们将详细讲解不动点迭代法（fixed-point iteration），将其转化为 $x = g(x)$ 的形式，并分析其收敛条件。更重要的是，我们将深入阐述牛顿法（Newton’s method），分析其平方收敛性，并讨论其在实际应用中的优缺点，以及如何处理收敛不佳的情况。我们还将介绍割线法（secant method），它是牛顿法的一种近似，避免了导数的计算，并分析其超线性收敛性。 第五部分：数值积分与微分 数值积分和数值微分是利用离散数据点来近似计算定积分和导数的方法，在物理、工程以及数据分析等领域至关重要。 数值积分：我们将从最基础的梯形法则（trapezoidal rule）和辛普森法则（Simpson’s rule）开始，推导它们的误差公式，并分析它们的精度。在此基础上，我们将介绍复合梯形法则和复合辛普森法则，以及高斯求积公式（Gaussian quadrature），它们能在相同的节点数下获得更高的精度。我们将讨论自适应积分（adaptive quadrature）的思想，即根据被积函数的局部行为来调整积分步长，以达到更高的效率和精度。 数值微分：我们将介绍利用有限差分（finite differences）来近似计算导数的方法，包括前向差分、后向差分和中心差分，并分析它们的截断误差。我们将讨论如何选择合适的差分格式以获得最佳的近似效果。 第六部分：常微分方程的数值解 常微分方程（ODE）在描述动态系统方面发挥着核心作用，而数值方法是求解这些方程的常用手段。 单步法：我们将详细介绍欧拉法（Euler’s method）的两种形式（前向和后向），分析其收敛性和精度。在此基础上，我们将深入讲解改进欧拉法（Improved Euler method）和著名的四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta methods），并分析它们的收敛阶和截断误差。 多步法：我们将介绍 Adams-Bashforth 法和 Adams-Moulton 法等显式和隐式多步法，解释它们如何利用过去几个时间步的信息来预测当前步的值，并分析其收敛性和稳定性。 第七部分：特征值与特征向量的计算 特征值和特征向量在许多应用中都扮演着关键角色，例如稳定性分析、主成分分析和振动分析等。 幂法与反幂法：我们将介绍幂法（power method）及其变种，用于求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。在此基础上，我们将讲解反幂法（inverse power method），它能够用来求解最小特征值，并通过移位技巧（shift）来求解任意特征值。 QR分解法：我们将深入探讨QR分解（QR decomposition）在计算所有特征值和特征向量方面的应用，并分析其数值稳定性和效率。 第八部分：函数逼近的现代方法 除了多项式插值，本部分还将触及更现代的函数逼近技术。 样条函数：我们将详细介绍样条函数的概念，特别是三次样条，并讨论其在插值和逼近中的优势，如分段光滑性和局部性。 傅里叶级数与离散傅里叶变换：我们将介绍周期函数的傅里叶级数展开，以及如何利用离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）来分析和处理离散数据中的频率成分。 结论与展望 本书的每一部分都力求从理论推导到算法实现，再到实际应用的完整链条。我们鼓励读者通过动手实践，运用所学知识解决具体的科学与工程问题。数值分析是一个不断发展的领域，本书所介绍的内容构成了该领域的重要基石，并为进一步探索更高级的主题奠定了坚实的基础。我们希望本书能激发读者对数值方法的兴趣，并成为其学习和研究道路上宝贵的参考。

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