An Introduction to Multivariable Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Piotr Mikusinski

出品人:

页数:305

译者:

出版时间:2001-11-26

价格:USD 74.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817642341

丛书系列:

图书标签:

• Multivariable Analysis
• Calculus
• Linear Algebra
• Real Analysis
• Mathematical Analysis
• Advanced Calculus
• Vector Calculus
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook

探索无限维度：一部关于多变量微积分的深度之旅 本书并非仅仅是对“多变量微积分入门”这一概念的简单介绍。相反，它是一次深入探索、理解并掌握多变量世界中至关重要的数学工具的旅程。我们将超越单一变量函数的局限，踏入一个由函数、向量、曲面和空间交织而成的广阔领域。本书旨在为读者提供一套坚实的理论基础和强大的解析能力，使他们能够自信地应对现实世界中遇到的复杂多变量问题，无论是在物理、工程、经济、计算机科学还是其他任何需要精确描述和分析多重因素相互作用的领域。 第一部分：奠定多变量分析的基石——函数与向量 在我们正式进入多变量分析的核心之前，有必要回顾并扩展我们对函数和向量的理解。 多变量函数：映射更复杂的现实 我们将从定义域和值域包含多个变量的函数入手。这意味着我们不再局限于绘制一条曲线，而是要描绘一张网格，其中每个点（由多个坐标定义）对应一个输出值。我们将学习如何可视化这些函数，尽管高维度的可视化存在固有的挑战，但通过等值面、截面投影等方法，我们可以窥探函数的形态。函数的可导性，即偏导数和方向导数，将成为我们理解函数局部行为的关键。偏导数告诉我们在某个方向上函数的变化率，而方向导数则概括了任意方向上的变化率，这为我们理解函数的“坡度”提供了更全面的视角。我们还会探讨全微分，它将偏导数的信息整合起来，为我们提供了函数在某一点附近线性近似的最佳方式，这是许多后续理论的基础。 向量：描述方向与大小的语言 向量不仅仅是箭头，它们是描述空间中方向和大小的强大工具。我们将深入研究向量的代数运算，包括加法、减法、标量乘法，以及重要的点积和叉积。点积的应用广泛，它能帮助我们计算两个向量的夹角，判断它们是否正交，并被用于投影运算。叉积（仅在三维空间中定义）则赋予了我们一种计算垂直于两个给定向量的向量的能力，这在计算面积、体积以及理解旋转效应时至关重要。我们将学习向量在几何中的应用，例如用向量表示直线和平面，并计算点到直线、点到平面的距离，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面的相对位置关系。 第二部分：揭示曲线、曲面与空间的奥秘——多元微积分的核心 掌握了多变量函数和向量的基本概念后，我们将深入探讨多元微积分的强大工具。 极限与连续性：理解函数的行为 多变量函数的极限概念比单变量情况更为复杂。我们将学习如何利用多种路径趋近某一点，以判断该点的极限是否存在。函数的连续性也同样重要，它保证了函数在某个区域内没有“跳跃”或“断裂”，使得我们可以进行可靠的微分和积分运算。 微分：捕捉瞬时变化 偏导数与梯度： 我们将系统地学习偏导数的计算和解释，以及它们在优化问题中的作用。梯度向量，作为所有偏导数组成的向量，将指向函数增长最快的方向，成为我们寻找函数极值的重要向导。 方向导数： 更进一步，方向导数让我们能够计算函数在任意指定方向上的变化率，这对于理解物体在空间中受力或能量传递的方向至关重要。 链式法则： 当函数的变量本身也是其他变量的函数时，链式法则就显得尤为重要。我们将学习如何通过多步嵌套来计算复合函数的导数，这在物理模型和工程计算中是不可或缺的。 高阶偏导数： 二阶甚至更高阶的偏导数能够揭示函数的曲率信息，例如凹凸性，这对于区分极值点（局部最大值、最小值）和鞍点至关重要。 隐函数与反函数定理： 这些定理为我们处理那些不易显式表示的函数提供了强大的分析工具，使得我们能够研究隐函数或反函数的导数，拓展了函数的分析范围。 积分：测量面积、体积与更多 重积分（二重积分与三重积分）： 重积分是我们计算区域面积、体积，甚至质量、质心等物理量的关键。我们将学习如何在不同坐标系（笛卡尔坐标、极坐标、柱坐标、球坐标）下计算重积分，并根据被积函数和积分区域的形状选择最合适的坐标系。积分限的确定是重积分计算的关键难点，我们将通过绘制积分区域来系统地掌握这一点。 积分次序的改变： 在某些情况下，改变重积分的积分次序可以大大简化计算。我们将学习如何通过分析积分区域来有效进行积分次序的变换。 场论基础： 线积分： 线积分用于计算曲线上的累积量，例如沿着一条曲线做功，或者计算曲线的质量。我们将学习计算标量函数在线积分和向量场沿曲线的线积分。 面积分： 面积分则是在曲面上进行积分，例如计算曲面上的质量分布，或者通过曲面的流量。我们将学习计算标量函数在曲面上的面积分和向量场通过曲面的面积分。 第三部分：连接局部与全局——微积分基本定理的拓展 微积分基本定理是连接微分与积分的桥梁，在多变量分析中，这一基本定理得到了令人惊叹的拓展。 格林公式（Green's Theorem）： 这个公式将平面区域上的二重积分与边界曲线上的线积分联系起来，为我们提供了一种计算面积或验证向量场性质的新方法。它揭示了“边界上的信息”如何与“区域内部的信息”相关联。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）： 在三维空间中，斯托克斯公式将一个曲面上的向量场旋度（curl）的面积分与该曲面边界曲线上的向量场线积分联系起来。它是在三维空间中推广了格林公式，是理解电磁学、流体力学等领域现象的关键。 散度定理（Divergence Theorem，也称为高斯公式）： 这个定理将一个三维闭合曲面上的向量场散度（divergence）的体积积分与该向量场通过该闭合曲面的通量（flux）联系起来。它在描述流体流动、热量传递等问题中发挥着核心作用，揭示了“区域内部的源汇”如何决定“通过边界的流量”。 本书的价值与展望 本书并非仅仅罗列公式和定理，而是致力于培养读者对多变量分析概念的深刻理解。我们将通过大量的例题和图示，帮助读者建立直观的几何认识，并掌握求解各类问题的系统方法。对于那些希望深入理解科学和工程领域数学模型的人来说，本书将是不可或缺的向导。掌握了多变量分析，你将能够更精确地描述、分析和预测自然界和社会现象中的复杂相互作用，从而在你的学术或职业生涯中获得更强大的竞争力。本书为你的数学探索之旅提供坚实的地基，让你有能力继续攀登更高更远的山峰，去探索更广阔的数学天地。

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