Irrational Numbers (Carus Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:The Mathematical Association of America

作者:Ivan Niven

出品人:

页数:172

译者:

出版时间:2005-08-18

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883850381

丛书系列:The Carus Mathematical Monographs

图书标签:

无理数
数学
数学
无理数
数学史
数论
实数
数学分析
高等数学
Carus Mathematical Monographs
数学普及
数学哲学

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具体描述

《无理数：卡鲁斯数学专著》本书是对数学世界中一类引人入胜的数——无理数的深度探索。无理数，顾名思义，是那些无法表示为两个整数之比的实数。它们的存在，揭示了我们数字系统的深层奥秘，挑战了古希腊以来对数的朴素理解，并催生了数学史上无数重要的发展。《无理数：卡鲁斯数学专著》并非一本浅尝辄止的科普读物，而是一部严谨而富有洞察力的学术论著，旨在为读者构建起对无理数及其相关概念的坚实理解。本书的编排结构清晰，从基础出发，层层递进，逐步深入到更高级的理论和应用。开篇：数的疆界拓展本书的开篇部分，将带领读者回顾数系的演变史，从自然数、整数、有理数，到实数的出现。特别地，它将详细阐述为何有理数无法满足所有几何上的测量需求，例如正方形的对角线长度，从而引出无理数的必然性。这一部分会详细介绍毕达哥拉斯学派在发现无理数时所面临的哲学与数学困境，以及这一发现对当时数学思想的颠覆性影响。核心概念：无理数的定义与证明接着，本书将给出无理数的严格数学定义，并详细介绍证明一个数是无理数的方法。经典的例子，如$sqrt{2}$、$pi$和$e$的无理性证明，将被详尽解析，让读者理解其内在逻辑和技巧。这些证明往往涉及反证法等重要的数学论证工具，对于培养读者的逻辑思维能力具有重要意义。此外，本书还会探讨更一般的代数数和超越数，解释它们与无理数之间的关系，并提供一些判定数是否为无理数的理论工具。特性与构造：不可穷尽的 Decimal 展开无理数最显著的特征之一是其无限不循环的十进制展开。本书将深入分析这一特性，探讨不同类型无理数的十进制展开的模式与规律。虽然它们不循环，但并不意味着完全没有结构。通过对连分数理论的介绍，读者将了解到如何用一种特殊的“分数”序列来精确地逼近无理数，并理解连分数与无理数性质的深刻联系。几何的语言：无理数与几何图形无理数与几何图形有着不解之缘。本书将重点关注无理数在几何中的体现。从勾股定理推导出的$sqrt{2}$，到圆的周长和面积中出现的$pi$，无理数似乎是度量几何世界的天然语言。本书将通过详细的几何构造和论证，展示如何通过尺规作图等方式来理解和“生成”某些无理数，同时也探讨哪些无理数是尺规不可作的，这与古希腊数学中的三大几何作图难题紧密相关。分析的工具：无理数在微积分中的作用微积分的建立和发展，离不开对极限和连续性的精确刻画，而无理数的存在对这些概念提出了更高的要求。本书将阐述无理数在微积分理论中的核心作用。例如，定义实数域的完备性，以及像$e$这样的重要常数如何在指数函数和对数函数的定义中发挥关键作用。读者将理解，没有无理数，微积分的宏伟体系将无从谈起。超越的领域：超越数的探索在无理数的范畴内，还有一类更为“特殊”的数——超越数。这些数不仅无法表示为有理数的比，更无法成为任何整系数代数方程的根。本书将介绍超越数的概念，重点介绍最著名的超越数$pi$和$e$的超越性证明（尽管证明本身可能非常复杂，但本书将提供清晰的思路和部分细节）。超越数的发现，进一步拓展了我们对数系的认识，并对数论和代数产生了深远影响。应用与前沿：无理数在现代数学中的价值尽管无理数的基础概念相对古老，但它们的应用和研究从未停止。本书将触及无理数在现代数学中的一些前沿课题和应用。这可能包括它们在数论（如丢番图逼近）、遍历理论、甚至在某些物理学和工程学模型中的出现。通过介绍这些应用，读者将看到无理数不仅仅是抽象的数学概念，更是理解和描述现实世界的重要工具。阅读体验《无理数：卡鲁斯数学专著》面向的是对数学有一定基础的读者，可能是高年级本科生、研究生，抑或是对数学充满热情的专业人士。本书的语言严谨而精确，但作者会努力通过清晰的解释和详实的例子，引导读者理解抽象的概念。书中可能包含适量的习题，以帮助读者巩固所学知识。本书的目标是提供一次既具挑战性又富有启发性的阅读体验，让读者在深入理解无理数的同时，也领略到数学思想的深刻与优美。本书将是一次对数学世界中“非理性”存在的精彩遨游，一次对我们理解数字本质的深刻反思。