Volume Doubling Measures and Heat Kernel Estimates on Self-Similar Sets (Memoirs of the American Mat pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Jun Kigami

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2009-05-15

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821842928

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 几何测度论
• 热核
• 自相似集
• 调和分析
• 函数空间
• 体积加倍测度
• 美国数学学会回忆录
• 泛函分析
• 实分析

《分形几何与偏微分方程的交汇：理解复杂结构的内在尺度与动力学》 本书深入探索了分形几何中一类特殊且重要的对象——自相似集（Self-Similar Sets），并着重研究了它们在体积增长和热核行为方面的特性。自相似集，例如著名的康托尔集（Cantor Set）和谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle），以其在不同尺度上展现出的自我重复模式而闻名。它们是构建复杂几何形态的基石，在自然界和数学建模中无处不在，从海岸线的形状到树枝的分叉，再到一些统计物理模型的描述。 本书的核心在于分析这些自相似集上的体积增长性质（Volume Doubling Measures）。在欧几里得空间中，体积的增长遵循简单的幂律关系，即随着半径的增加，体积呈 $r^d$ 的增长，其中 $d$ 是空间的维度。然而，在自相似集上，由于其高度不规则和“多孔”的结构，体积的增长不再遵循简单的欧几里得维度。本书将引入并研究一种能够捕捉这种复杂增长模式的度量（measure）。这种度量被称为“体积加倍度量”，其关键特征在于，当我们将观测范围的半径加倍时，度量的体积增长近似于一个常数因子（通常是2）。这种性质表明，在自相似集上，存在着一种内在的、与尺度相关的“均匀性”，尽管其宏观结构极其不规则。理解这种体积加倍性质，对于量化自相似集的“维度”——即分形维度（fractal dimension）——至关重要。本书将探讨不同类型的自相似集所对应的体积加倍度量，并分析这些度量在自相似集上的存在性、唯一性以及它们的几何意义。 另一方面，本书将深入研究热核估计（Heat Kernel Estimates）。热核，也称为高斯核（Gaussian kernel）或热传导核，是描述热量在介质中扩散过程的基本函数。在自相似集上，由于其离散的、非光滑的拓扑结构，热量的传播方式与在欧几里得空间中大相径庭。热核的行为直接反映了自相似集上的黎曼流形（Riemannian manifold）或类黎曼流形（Riemannian-like structures）的性质。本书将专注于推导自相似集上热核的指数级衰减估计（exponential decay estimates），这是一种非常精细的估计，它表明热核的幅度随距离的增加而指数级减小。这种估计对于理解自相似集上的扩散过程、谱性质（spectral properties）以及它们作为黎曼流形逼近性质的研究具有极其重要的意义。特别是，本书将建立这些热核估计与自相似集上的体积加倍性质之间的深刻联系。我们将证明，体积加倍性质的存在是获得良好热核估计的有力工具，反之亦然。这种互通性揭示了自相似集上几何与分析之间一种深刻的内在联系。 本书的研究内容将贯穿几个关键的数学工具和概念： 迭代函数系统（Iterated Function Systems, IFS）: 这是构造自相似集的基本框架。本书将首先介绍IFS的概念，并利用其来定义和分析各类自相似集。 测度论（Measure Theory）: 体积加倍度量的概念离不开测度论的基础。我们将利用测度论的工具来定义和研究这些特殊的度量。 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）: 热核是热方程（heat equation）的解。本书将运用PDE的理论和方法来分析热核的行为。 调和分析（Harmonic Analysis）: 调和分析的工具，例如傅里叶分析以及相关的深刻不等式，将在研究热核的估计中发挥重要作用。 几何测度理论（Geometric Measure Theory）: 本书的部分内容将触及几何测度理论的概念，以理解度量在复杂几何上的作用。 本书的研究对象——自相似集，其分形维度通常大于其拓扑维度。例如，康托尔集的拓扑维度为0，但其分形维度（豪斯多夫维度）为 $log_3 2 approx 0.63$。这种“维度”的差异正是本书要深入探讨的。体积加倍度量捕捉了自相似集上的“有效”度量增长，而热核估计则揭示了在这种非欧几里得几何上的扩散动力学。 本书的读者群体将主要包括对分形几何、概率论、偏微分方程、调和分析、测度论等领域有浓厚兴趣的研究生、博士后以及相关领域的学者。本书期望能够为读者提供一个深入理解自相似集上几何与分析之间相互作用的窗口，揭示这些复杂结构在内在尺度上的规则性和动力学上的丰富性。通过对体积加倍度量和热核估计的研究，本书将为探索更广泛的分形空间上的几何与分析问题提供新的视角和强有力的数学工具。本书内容具有高度的原创性和前沿性，将为该领域的研究提供重要的参考价值。

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