The Concentration of Measure Phenomenon (Mathematical Surveys and Monographs) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Michel Ledoux

出品人:

页数:181 Pages

译者:

出版时间:2005-02-14

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821837924

丛书系列:Mathematical Surveys and Monographs

图书标签:

Math
Concentration of Measure
Probability
Functional Analysis
High-Dimensional Probability
Random Matrices
Geometric Functional Analysis
Mathematical Surveys
Monographs
Probability Theory
Analysis

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具体描述

《测量集中现象》内容简介《测量集中现象》一书深入探讨了数学中一个核心且影响深远的领域——测量集中现象。这一现象描述了在高维空间中，概率测度常常“集中”在一个很小的区域附近，尽管整个空间可能非常巨大。本书将带领读者穿越这个迷人领域的理论基石，探索其在概率论、统计学、几何学以及理论计算机科学等众多学科中的广泛应用。本书首先会回顾概率论中的基本概念，包括概率空间、随机变量、期望、方差以及各种重要的概率不等式，例如切比雪夫不等式和霍夫丁不等式。这些基础知识为理解测量集中现象的出现和形式提供了必要的框架。随后，本书将逐步引入测量集中现象的本质。我们将探讨随机变量的集中性质，重点关注函数（特别是Lipschitz函数）在概率测度下的取值。核心思想是，在高维情况下，一个随机变量的取值极大概率地会非常接近它的期望值，或者说，其分布的“质量”高度集中在期望值附近。本书将详细介绍测量集中现象的几种关键形式。其中，高斯测度的集中是重要的一章，我们将研究高斯分布在高维空间中的集中性质。例如，高斯测度下，一个球体（或其高维推广）的“绝大部分”体积都集中在其赤道附近。接着，我们将探讨Lipschitz函数的集中，这是测量集中现象最普遍和最有用的表现之一。我们会介绍马尔可夫链的混合时间、随机图的性质等许多问题都与Lipschitz函数在测度下的集中程度密切相关。本书还将深入讨论集中不等式，这些不等式量化了测量集中现象的强度。读者将学习到如Talagrand不等式、BCK不等式等一系列强大的集中不等式。这些不等式不仅在理论上有深刻的意义，而且为实际问题的分析提供了有力的工具。我们会详细解释这些不等式的形式、证明思路以及它们在不同场景下的应用。理论分析的深入将离不开对几何背景的理解。本书将探讨高维空间中概率测度与几何结构之间的联系。例如，在欧几里得空间中，我们会研究单位球上的均匀测度，以及它如何表现出惊人的集中性质。此外，我们还将触及一些更一般的几何空间，例如度量空间，并讨论测量集中现象在这种更广泛的框架下的成立条件和表现。本书的另一个重要方面是展示测量集中现象的实际应用。我们将探讨它在以下领域的关键作用：统计学习理论：测量集中现象为理解和分析高维统计模型的泛化能力提供了理论基础。它解释了为什么在许多情况下，即使模型非常复杂，也能在未见过的数据上获得良好的预测性能。机器学习：在支持向量机、神经网络等算法的设计和分析中，测量集中现象扮演着重要角色。它有助于理解模型参数的稳定性和学习过程的收敛性。随机矩阵理论：随机矩阵的特征值和特征向量的分布在高维情况下常常表现出集中的性质，这与测量集中现象密切相关。组合学：在分析随机图、随机置换等组合对象时，测量集中现象可以帮助我们确定这些对象的性质（如度数分布、连通性）在高维极限下的行为。信息论：测量集中现象在信息传输和压缩的理论极限分析中也有应用。本书旨在为有志于深入研究这一领域的研究者和高年级本科生、研究生提供一套全面而严谨的理论框架。读者应具备扎实的概率论和实分析基础。全书行文严谨，论证清晰，并辅以大量的例子和习题，以帮助读者更好地理解和掌握测量集中现象的精髓。通过学习本书，读者将能够深刻理解高维概率测度的行为模式，并将其应用于解决实际的数学和科学问题。