Harmonic Analysis and Nonlinear Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Michel L. Lapidus

出品人:

页数:350

译者:

出版时间:1997-06

价格:USD 68.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821805657

丛书系列:

图书标签:

非线性偏微分方程
调和分析
调和分析
非线性微分方程
偏微分方程
泛函分析
傅里叶分析
常微分方程
数学分析
应用数学
数值分析
动力系统

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具体描述

This volume is a collection of papers dealing with harmonic analysis and nonlinear differential equations and stems from a conference on these two areas and their interface held in November 1995 at the University of California, Riverside, in honor of V. L. Shapiro. There are four papers dealing directly with the use of harmonic analysis techniques to solve challenging problems in nonlinear partial differential equations. There are also several survey articles on recent developments in multiple trigonometric series, dyadic harmonic analysis, special functions, analysis on fractals, and shock waves, as well as papers with new results in nonlinear differential equations. These survey articles, along with several of the research articles, cover a wide variety of applications such as turbulence, general relativity and black holes, neural networks, and diffusion and wave propagation in porous media. A number of the papers contain open problems in their respective areas.

《数学的奇妙交响：从和谐分析到非线性方程的探索之旅》引言本书并非一本关于“谐波分析”与“非线性微分方程”这两门学科的简单拼凑。相反，它旨在揭示数学内部深刻的内在联系，特别是这两个看似独立的数学领域之间存在的迷人对话。我们将一同踏上一段探寻数学之美与力量的旅程，从最基本的周期性现象出发，逐步深入到描述复杂、动态世界的非线性方程的奥秘。这本书将引领读者领略数学家们如何巧妙地运用分析工具来理解和解决那些在物理、工程、生物学乃至经济学等众多领域中出现的挑战性问题。第一部分：和谐的韵律——数论与傅里叶分析的基石我们将从数论最基础的概念开始，探索整数的内在结构与规律。质数分布的神秘、丢番图方程的解的存在性，这些古老的问题至今仍闪耀着智慧的光芒。我们将学习如何用抽象的代数语言来描述数与数之间的关系，理解同余理论如何构建起一个有序的数学世界。紧接着，我们将引入傅里叶分析的强大工具。从声波、光波到更抽象的信号，我们发现许多看似复杂的现象都可以分解成一系列简单的正弦和余弦波的叠加。我们将学习如何运用傅里叶级数和傅里叶变换来分析周期性函数和一般函数，理解其在信号处理、图像压缩等领域的广泛应用。这个过程本身就像是认识一个复杂乐曲的构成，将宏大的旋律分解为一个个纯净的音符。我们还将探讨傅里叶分析在解决微分方程中的作用，特别是那些描述稳态现象的线性方程。第二部分：动态的涟漪——微分方程与稳定性分析我们将目光转向描述变化的数学语言——微分方程。从牛顿力学中的经典方程，到热传导、流体动力学中的偏微分方程，它们是构建我们对世界动态理解的基石。我们将首先回顾常微分方程的基本理论，包括解的存在性、唯一性以及各种求解方法。随后，我们将深入研究线性偏微分方程，如波动方程、热方程和拉普拉斯方程。这些方程描述了从音乐的振动到热量的扩散，再到电势场的分布等众多自然现象。我们将学习如何利用分离变量法、格林函数等技术来求解这些方程，理解解的性质，例如能量守恒、耗散以及边界条件的影响。在此基础上，我们将引入稳定性分析的概念。在一个动态系统中，我们如何判断一个平衡点是稳定的，还是会随着微小的扰动而趋于失控？我们将学习李雅普诺夫稳定性理论，理解吸引子、分岔等概念，这些是理解复杂系统行为的关键。第三部分：非线性的挑战——超越线性世界的探索然而，现实世界中绝大多数的系统并非简单的线性组合。非线性效应无处不在，从天气预报中的混沌现象，到生态系统中物种的繁衍，再到大脑神经元的活动，非线性是理解这些复杂现象的钥匙。我们将探讨非线性常微分方程的独特挑战。线性方程的解具有叠加性，使得求解相对容易。但非线性方程的解往往不具备这种性质，求解变得困难重重。我们将学习一些处理非线性方程的定性方法，如相平面分析、极限环的存在性证明，以及一些近似方法。我们将重点关注非线性偏微分方程，例如著名的KdV方程、纳维-斯托克斯方程等。这些方程描述了更加复杂和奇特的现象，如孤子（solitons）的传播，它们在相互碰撞后能保持原有的形状和速度，如同在水中传播的孤立波。我们将介绍一些分析非线性偏微分方程的现代工具，如守恒律、双线性方法以及反散射方法，这些方法在数学和物理学中都取得了突破性的进展。第四部分：交汇与共鸣——分析工具在非线性研究中的应用本书的核心在于展示分析方法，特别是那些源自傅里叶分析和泛函分析的工具，如何被巧妙地应用于理解和解决非线性微分方程的问题。例如，我们如何利用傅里叶分析的思想来研究非线性方程的解的某些性质，即使这些解本身并非简单的周期函数？我们将探讨如“能量方法”等技巧，它们能够通过分析方程的“能量”在时间演化中的变化来推断解的长期行为和稳定性。我们还将看到，数论中的一些深刻思想，例如在群论和表示论中的体现，如何在非线性系统的对称性分析中发挥作用。理解系统的对称性往往能极大地简化对其动力学行为的分析。结论《数学的奇妙交响》并非一本止步于理论介绍的教科书，而是一次数学思想的深度漫游。它旨在激发读者对数学内在联系的兴趣，展示数学作为一门强大而富有创造性的语言，如何帮助我们理解从最微观的粒子运动到最宏观的宇宙演化的一切。通过对和谐分析和非线性微分方程的探索，我们将体验到数学思维的优雅与力量，以及它们在构建我们认知世界过程中的核心地位。本书邀请每一位对未知充满好奇、对逻辑充满敬畏的读者，一同品味数学世界中那和谐而又充满挑战的交响乐章。

作者简介

目录信息

V. L. Shapiro -- From reaction-diffusion to spherical harmonics
J. M. Ash and G. Wang -- A survey of uniqueness questions in multiple trigonometric series
R. Askey -- A new look at some old trigonometric expansions
J. Bourgain -- Analysis results and problems related to lattice points on surfaces
J. F. Caicedo and A. Castro -- A semilinear wave equation with derivative of nonlinearity containing multiple eigenvalues of infinite multiplicity
A. L. Edelson -- The structure of the solutions to semilinear equations at a critical exponent
C. Foias -- What do the Navier-Stokes equations tell us about turbulence?
L. H. Harper -- A reminiscence and survey of solutions to a JPL coding problem
M. W. Hirsch -- Weak limit sets of differential equations
M. L. Lapidus -- Towards a noncommutative fractal geometry? Laplacians and volume measures on fractals
H. A. Levine, P. Pucci, and J. Serrin -- Some remarks on global nonexistence for nonautonomous abstract evolution equations
S. L. McMurran and J. J. Tattersall -- Cartwright and Littlewood on Van der Pol's equation
A. J. Rumbos and V. L. Shapiro -- One-sided resonance for a quasilinear variational problem
J. A. Smoller and J. B. Temple -- Shock-waves in general relativity
W. R. Wade -- Dyadic harmonic analysis
· · · · · · (收起)