具体描述
This survey covers a wide range of topics fundamental to calculating integrals on computer systems and discusses both the theoretical and computational aspects of numerical and symbolic methods. It includes extensive sections on one- and multidimensional integration formulas, like polynomial, number-theoretic, and pseudorandom formulas, and deals with issues concerning the construction of numerical integration algorithms.
《数值计算方法基础》 本书是一本旨在为读者构建扎实数值计算理论基础的入门读物。全书从最基本的算术运算和代数概念出发，循序渐进地深入到现代科学计算的核心领域。我们强调理解各种数值方法的内在原理、误差来源及其控制方法，而非仅仅罗列公式。 第一部分：数值计算的基石 在正式展开各类计算方法之前，本书首先回顾和巩固读者在数值计算方面所需的必要数学知识。我们从误差分析入手，这是数值计算的灵魂所在。读者将深入理解数字表示的精度限制，浮点数的存储方式，以及由此产生的截断误差和舍入误差。掌握误差的传播规律，以及如何量化和评估计算结果的可靠性，是后续学习一切算法的基础。 接着，我们将探讨线性代数方程组的数值解法。从经典的消元法（如高斯消元法）及其改进（如LU分解）开始，详细分析它们的原理、计算过程和稳定性。随后，我们将介绍迭代法，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论它们在收敛性方面的优劣。对于大规模稀疏线性方程组，我们将简要介绍其特殊性以及求解策略。 第二部分：函数的数值处理 这一部分聚焦于如何用数值方法处理函数。我们首先讲解插值与逼近。读者将学习多项式插值，如拉格朗日插值和牛顿插值，理解它们如何通过已知数据点构建函数模型。同时，我们也会探讨分段插值，如样条插值，以解决高次多项式插值可能带来的龙格现象。逼近理论，如最小二乘法，将帮助读者在数据存在噪声的情况下，找到最能代表数据的函数。 随后，我们将深入数值微分与积分。本书将介绍各种有限差分公式，用于近似计算函数的导数。对于数值积分，我们将涵盖梯形法则、辛普森法则等基本方法，并讨论复合梯形法则和复合辛普森法则等提高精度的技术。对于更复杂的积分问题，我们将介绍高斯积分等高效方法。 第三部分：非线性方程的求解与优化 本书的第三部分致力于解决非线性方程和优化问题。我们将从非线性方程的根查找开始。读者将学习直观的图解法、易于实现的二分法，以及收敛速度更快的牛顿法和割线法。我们将详细分析这些方法的迭代过程、收敛条件和局限性。 紧接着，我们将转向函数的优化。对于单变量函数，我们将介绍求导数法（如牛顿法）和无导数法（如黄金分割法）。对于多变量函数，我们将介绍梯度下降法、共轭梯度法等下降类方法，并探讨它们在求解局部最优解时的表现。本书也将触及一些全局优化策略的初步概念。 第四部分：常微分方程的数值解 对于许多科学和工程问题，常微分方程的求解是不可或缺的。本部分将介绍常微分方程的数值解法。我们将从最简单的欧拉方法开始，理解其原理和误差。然后，我们将介绍更精确的改进欧拉方法和经典的四阶龙格-库塔方法。我们也将讨论多步法，以及它们与单步法在计算效率和实现复杂度上的权衡。 第五部分：线性回归与最小二乘法 线性回归是数据分析中广泛应用的统计工具。本书将详细讲解线性回归的模型建立、参数估计，并重点阐述最小二乘法在其中的核心作用。读者将学习如何通过最小二乘原理求解线性回归方程的系数，理解回归模型的假设和评价指标，如决定系数R²，以及残差分析的重要性。本书将通过实例展示如何使用最小二乘法从观测数据中提取有意义的线性关系。 目标读者 本书面向的对象包括但不限于： 高等院校理工科专业的学生：为学习专业课程（如数值分析、数值方法、科学计算、数据科学等）提供坚实的理论基础。 科研人员和工程师：希望提升在实际工作中运用数值计算解决工程问题和进行数据分析的能力。 对数值计算感兴趣的自学者：希望系统地学习数值计算的核心概念和方法。 本书力求语言通俗易懂，理论推导清晰严谨，并配以丰富的算例和图示，帮助读者更好地理解抽象的数学概念。我们相信，通过对本书内容的深入学习，读者将能够自信地运用数值计算方法解决实际问题，并为进一步深入研究打下坚实的基础。
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