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出版者:Prentice-Hall, Inc.

作者:Thomas Kailath

出品人:

页数:682

译者:

出版时间:1980-1-11

价格:USD 136.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780135369616

丛书系列:

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《线性方程组》 引言 在数学的宏伟殿堂中，线性代数占据着举足轻重的地位。它不仅仅是一门抽象的学科，更是连接理论与实际应用的重要桥梁。而线性方程组，作为线性代数的核心内容之一，其重要性不言而喻。从基础的物理学定律到复杂的工程计算，从经济学中的模型构建到计算机图形学的渲染，无不闪烁着线性方程组的智慧光芒。本书《线性方程组》旨在深入浅出地剖析线性方程组的方方面面，带领读者穿越其理论的迷宫，领略其计算的精妙，并最终掌握其解决实际问题的强大力量。 本书并非简单地罗列公式和定理，而是力求展现线性方程组在不同场景下的应用，以及其背后深刻的数学思想。我们将从最基本的概念出发，逐步构建起对线性方程组的全面认知，并探讨更高级的理论和方法。阅读本书，您将不仅学会如何解线性方程组，更能理解为何如此求解，以及这些方法在更广阔的数学领域中所扮演的角色。 第一章：线性方程组的基本概念 本章将为您打下坚实的基础，介绍线性方程组的入门知识。 什么是线性方程组？ 我们将首先定义什么是线性方程，以及如何组合这些线性方程形成一个线性方程组。通过具体的例子，让您直观地理解线性方程组的结构。例如，一个包含两个变量的线性方程组，如 $ax + by = c$ 和 $dx + ey = f$，我们将探讨其几何意义——两条直线在二维平面的交点。 方程组的解： 什么是方程组的解？它意味着什么？我们将区分三种可能的解集：唯一解、无穷多解和无解。通过几何图形的辅助，您将清晰地看到这三种情况分别对应于直线相交于一点、重合或平行。 系数矩阵与增广矩阵： 为了更有效地处理线性方程组，我们引入了矩阵的概念。系数矩阵包含了方程组中各个未知数的系数，而增广矩阵则是在系数矩阵的右侧添加了常数项构成的列向量。我们将演示如何将一个线性方程组转化为矩阵形式，这是后续章节进行系统分析的基础。 初等行变换： 这是解线性方程组的“秘密武器”。我们将详细介绍三种初等行变换：交换两行、用一个非零常数乘以某一行、以及将某一行的倍数加到另一行。这些操作不会改变方程组的解集，为我们系统地简化方程组提供了可能。 方程组的相容性： 什么样的方程组有解？我们将初步探讨方程组相容性的概念，即是否存在至少一个解。这与方程组的自由变量和自由度相关，为我们理解解的结构埋下伏笔。 第二章：高斯消元法与高斯-若尔当消元法 本章将聚焦于解决线性方程组最常用、最经典的算法——高斯消元法及其进阶版本。 高斯消元法： 这是将方程组转化为“行阶梯形”的过程。通过反复运用初等行变换，我们将增广矩阵逐步化简，最终得到一个三角形式的方程组。我们将通过详尽的步骤和示例，演示如何一步步执行高斯消元法。 回代法： 当方程组化为行阶梯形后，我们就可以使用回代法来求解。从最后一个非零方程开始，逐一将已求出的变量代入前面的方程，直至解出所有变量。我们将展示回代法的具体操作流程。 行阶梯形与简化行阶梯形： 我们将区分行阶梯形和简化行阶梯形。行阶梯形要求主元（每行第一个非零元素）在其下方的所有元素为零，而简化行阶梯形在此基础上，还要求主元上方的所有元素也为零，并且主元都为1。 高斯-若尔当消元法： 这是一个更进一步的算法，旨在将增广矩阵化为简化行阶梯形。这种形式下，方程组的解可以直接读出，无需回代。我们将对比高斯消元法和高斯-若尔当消元法的优劣，以及它们在不同情况下的适用性。 自由变量与特解： 当方程组出现无穷多解时，我们将引入自由变量的概念。自由变量可以取任意值，而其他变量则可以表示为自由变量的函数。我们将学习如何确定自由变量，并找出方程组的通解，即由一个特解加上自由变量的线性组合构成。 第三章：矩阵与向量的初步 线性方程组的矩阵表示法是其核心，本章将深入介绍矩阵和向量的基本概念。 向量的定义与运算： 我们将介绍向量作为线性方程组的列表示，以及向量的加法、标量乘法和向量的内积。向量的几何意义，如箭头和方向，也将得到阐述。 矩阵的定义与运算： 矩阵是二维数组，我们将学习矩阵的加法、标量乘法、矩阵乘法。矩阵乘法将重点讲解其定义及其与线性变换的关系。 矩阵与向量的乘积： 我们将深入理解矩阵与向量相乘的含义，以及它如何对应于一个线性方程组。这为我们后续将方程组写成 $Ax=b$ 的形式奠定基础。 矩阵的转置、迹与特殊矩阵： 我们将介绍矩阵的转置运算，以及一些特殊的矩阵，如零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵。这些特殊矩阵在后续的理论和计算中会频繁出现。 矩阵方程 $Ax=b$： 本章将系统地将线性方程组表示为矩阵方程 $Ax=b$ 的形式，并阐述求解线性方程组的本质就是求解这个矩阵方程。 第四章：向量空间与线性无关 本章将进入更抽象但更具普适性的向量空间理论，为理解线性方程组的解空间奠定基础。 向量空间的定义： 我们将形式化定义向量空间，并给出一些常见的例子，如 $mathbb{R}^n$、多项式空间和函数空间。理解向量空间的概念，有助于我们认识到线性方程组的解的本质。 子空间： 在一个向量空间中，满足特定条件的子集就构成了子空间。我们将学习如何判断一个向量集合是否为一个子空间，并探讨线性方程组的解空间是否为一个子空间。 生成组与基： 一个向量集合如果能够生成整个向量空间，我们就称之为生成组。一个线性无关的生成组则称为基。基是描述向量空间的最简洁的方式。我们将学习如何找到一个向量空间的基。 维数： 向量空间中任何一组基所包含的向量个数是固定的，这个个数就是该向量空间的维数。我们将探讨向量空间的维数概念，以及它与线性方程组的解的自由度之间的联系。 线性无关与线性相关： 这是理解方程组解的唯一性与无穷性的关键概念。我们将详细定义线性无关和线性相关，并学习如何判断一组向量是否线性无关。线性无关的向量组是构成基的基础。 第五章：线性方程组解的结构 本章将深入剖析线性方程组解集的内在结构，理解解的唯一性、无穷性和无解性。 齐次线性方程组： 形如 $Ax=0$ 的方程组被称为齐次线性方程组。所有齐次线性方程组都有零向量解，即 $x=0$。我们将探讨齐次线性方程组的解空间，它总是一个向量空间。 非齐次线性方程组的解： 对于非齐次线性方程组 $Ax=b$（其中 $b eq 0$），我们将揭示其解集的结构：如果方程组有解，则其解集可以表示为一个特解与对应的齐次方程组的解空间的叠加。 秩与方程组的相容性： 我们将引入矩阵的秩的概念，即矩阵的列空间（或行空间）的维数。矩阵的秩与方程组的相容性密切相关。我们将建立秩与方程组是否有解之间的联系。 自由变量的数量与解的个数： 通过矩阵的秩，我们可以确定方程组的自由变量的数量，进而判断解是唯一的，还是无穷多，亦或是无解。 解空间的几何解释： 我们将结合几何图像，进一步理解线性方程组解空间的几何形态，如点、线、平面等，以及它们在不同维度下的表现。 第六章：行列式 行列式是描述方阵性质的一个重要数值，它在判断方程组解的唯一性等方面扮演着重要角色。 行列式的定义： 我们将从二阶和三阶行列式入手，逐步介绍高阶行列式的计算方法，包括代数余子式展开法。 行列式的性质： 我们将列举行列式的各种重要性质，如可交换性、线性性质、行列式为零的条件等。这些性质将极大地简化行列式的计算。 行列式与逆矩阵： 行列式为零是方阵不可逆的充要条件。我们将探讨行列式与逆矩阵之间的深刻联系。 克莱姆法则： 当系数矩阵的行列式非零时，我们可以使用克莱姆法则来求解线性方程组。我们将详细介绍克莱姆法则的计算步骤。 行列式在几何上的意义： 行列式可以表示向量组所围成的平行体的体积（有向体积）。我们将阐述行列式的几何解释。 第七章：逆矩阵与矩阵的分解 逆矩阵是求解线性方程组的另一种重要工具，而矩阵的分解方法则为更复杂的计算提供了可能。 逆矩阵的定义与性质： 我们将定义方阵的逆矩阵，并探讨其存在的条件（非奇异性）。我们将介绍逆矩阵的一些重要性质。 求解逆矩阵的方法： 我们将介绍两种主要的求解逆矩阵的方法：伴随矩阵法和初等行变换法（通过构造增广矩阵 $[A|I]$）。 逆矩阵与方程组的解： 如果系数矩阵 $A$ 可逆，那么非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解可以直接表示为 $x = A^{-1}b$。 LU分解： 我们将介绍LU分解，即将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。LU分解在数值计算中具有重要应用，可以加速线性方程组的求解。 其他矩阵分解（简介）： 我们将简要介绍QR分解、特征值分解等其他重要的矩阵分解方法，为读者提供进一步学习的线索。 第八章：线性方程组的应用 本章将展示线性方程组在各个领域的广泛应用，让读者深刻体会其价值。 工程领域： 电路分析： 基尔霍夫定律形成的线性方程组用于分析电路中的电压和电流。 结构力学： 分析桥梁、建筑等结构的受力情况，建立和求解线性方程组。 控制系统： 设计和分析各种反馈控制系统，其模型通常包含线性方程组。 经济学领域： 投入产出模型： Leontief投入产出模型利用线性方程组来分析国民经济各部门之间的相互关系。 均衡分析： 求解供需曲线交点，即市场均衡价格和产量。 计算机科学领域： 计算机图形学： 图像变换、投影、渲染等都涉及大量的矩阵运算和线性方程组的求解。 数据分析与机器学习： 线性回归、支持向量机等算法的核心是求解线性方程组。 图像处理： 滤波、去噪等操作也可能转化为线性方程组的求解。 其他领域： 化学： 化学反应平衡方程组的求解。 生物学： 建立和分析生物系统模型。 结语 《线性方程组》这本书旨在为读者提供一个全面而深入的理解。从最基本的概念到复杂的理论，从抽象的数学推导到具体的应用实例，我们力求将线性方程组的奥秘呈现在读者面前。掌握线性方程组的理论和方法，不仅能够解决具体的数学问题，更能培养严谨的逻辑思维和分析能力，为进一步学习更高级的数学和科学知识打下坚实的基础。希望本书能成为您探索线性代数世界的一盏明灯。

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这本书的封面设计简直是艺术品，那抹深邃的靛蓝和精妙的几何线条交织在一起，营造出一种既沉稳又充满探索欲的氛围。我拿起它的时候，首先被这种视觉冲击力所吸引。内页的排版也极其考究，字体选择典雅又不失现代感，行距和页边距的处理恰到好处，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。我尤其欣赏作者在处理一些复杂概念时，插入的那些手绘插图，它们并非是简单的示意图，而是融入了某种古典美学，仿佛在引导你进入一个清晰、逻辑严谨但又不失人文关怀的思维殿堂。阅读过程中，我时常会停下来，不是因为内容晦涩，而是被这种美学设计所折服，它让原本枯燥的理论学习变成了一种享受，一种对知识和美的双重追寻。这本书的纸张质感也非常好，那种微微的粗粝感和墨水的沉淀感，让每一次翻页都成为一种仪式。它不仅仅是一本工具书，更像是一件值得珍藏的工艺品，摆在书架上，本身就是一种格调的体现。

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这本书的语言风格真是独树一帜，它拥有一种奇特的“反权威”魅力。作者的文字充满了自信，但绝非傲慢，更多的是一种对读者智商的充分信任。他从不使用那种故作高深的晦涩词汇来包装自己的观点，相反，他倾向于使用清晰、直接、甚至略带俏皮的表达方式来阐释最复杂的问题。例如，在讨论一个关键定理的局限性时，他用了“别把这当成万能钥匙，它顶多算个能开大部分锁的普通扳手”这样的比喻，瞬间就将严肃的学术讨论拉到了一个更人性化的层面。这种坦诚和幽默感，极大地降低了阅读的心理门槛。读起来的感觉就像是你在一个顶尖的学术研讨会上，遇到了一位学识渊博但又极其风趣的长者，他毫无保留地将自己毕生的精华倾囊相授，让你在放松愉悦中，不知不觉地吸收了最精髓的知识。这种轻松与深邃并存的笔调，是极其难得的。

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这本书的叙事节奏把握得非常高明，简直像一部精心编排的交响乐。开篇部分，作者如同一个经验老到的音乐指挥家，用一种近乎散文诗的笔触，勾勒出了一个宏大的历史背景，并没有直接抛出硬核公式，而是通过一系列富有哲理性的思考，逐步将读者的心绪沉淀下来，为后续的深入探讨做好了充分的心理铺垫。紧接着，节奏陡然加快，进入到核心概念的阐述，这里的论证如同精密的瑞士钟表，每一个齿轮都咬合得天衣无缝，逻辑链条坚不可摧。令人称奇的是，在最紧张的部分，作者又能巧妙地插入一些精心挑选的案例分析，这些案例并非是陈词滥调，而是充满现实张力的新鲜素材，仿佛在紧张的乐章中加入了一段即兴的独奏，瞬间点亮了整个局面。看到最后，你会发现，作者不是在“教”你知识，而是在“带领”你经历一场思维的探险，最终抵达一个令人豁然开朗的彼岸，这种体验是其他任何教材都无法比拟的。

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我必须得说，这本书的作者展现出一种令人敬畏的跨学科视野。它绝不是那种把自己关在象牙塔里，只顾埋头推导公式的学院派作品。读着读着，我常常会发现，那些原本以为只属于数学范畴的严谨性，是如何巧妙地与经济学的波动原理、甚至是对人类决策心理学的洞察力相结合。比如，作者在解释某个迭代过程的收敛性时，竟然引用了古代兵法中关于“势”的运用，这种类比的精妙，瞬间打破了学科之间的壁垒，让原本高冷的理论变得触手可及，充满了生命力。更让我惊叹的是，作者对全球范围内不同文化背景下的实践应用都有所涉猎，他没有采取“一刀切”的欧美中心论，而是以一种非常谦逊和包容的态度，探讨了不同体系下的适应性差异。这种广博的胸襟，让这本书的价值超越了单纯的技术手册，俨然成了一部关于“世界如何运作”的哲学思辨录。

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这本书的实用性强到令人发指，它完全跳脱了那种“纸上谈兵”的窠臼。我过去读过一些理论书籍，读完后感觉自己像一个刚刚学完理论驾驶的学员，一上真车就懵了。但这本书不同，它的每一章都像是为工程师和实践者量身定做的“操作指南”。作者似乎深谙我们这些一线工作者在面对实际问题时的痛点，他不仅告诉你“为什么”是这样，更详尽地展示了在资源受限、数据噪声干扰的情况下，“如何”才能把它干成。尤其是关于模型鲁棒性那一块，作者给出的几套“野路子”排障技巧，简直是救命稻草，那些都是标准教科书里绝不会提及的“经验之谈”，但恰恰是这些经验，挽救了我手头一个棘手的项目。可以说，这本书与其说是阅读材料，不如说是一本随身携带的、可以解决燃眉之急的“高级工具箱”。

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