高等数学(文理通用) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787811253511

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《几何物理：从欧几里得到黎曼的演进》 内容简介 本书旨在系统梳理和深入剖析几何学自古希腊奠基以来，跨越两千多年的发展脉络，特别是聚焦于其在物理学中的深刻应用与相互促进。我们不探讨高等数学中代数、微积分的常规内容，而是将焦点完全置于几何概念的抽象化、概念体系的构建及其在描述自然规律中的核心地位。全书结构清晰，逻辑严谨，力求为读者提供一个既具历史深度又富含现代洞察的几何学图景。 第一部分：欧氏几何的辉煌与局限 本部分将从毕达哥拉斯学派的神秘主义开端讲起，详述欧几里得《几何原本》如何将零散的几何知识系统化为公理化体系的典范。我们详细解析点、线、面、角的基本定义，以及五大公设（特别是第五公设，即平行公设）的结构性作用。 随后，我们将深入探讨其在古典力学中的奠基作用。例如，如何利用欧氏几何的透视原理来理解伽利略对落体运动的分析，以及牛顿在《自然哲学的数学原理》中构建绝对时空观时，对欧氏空间概念的依赖。我们将分析当运动物体速度接近光速时，欧氏几何在描述相对性现象时所暴露出的内在局限性。这部分内容侧重于几何直觉的构建及其在宏观经典物理中的适用范围。 第二部分：非欧几何的诞生与范式革命 本部分是全书的转折点。我们将详细追溯罗巴切夫斯基、鲍耶和黎曼在十九世纪对第五公设的质疑与尝试构建的“替代几何”。 双曲几何（罗巴切夫斯基）： 深入探讨双曲空间（如庞加莱圆盘模型、上半平面模型）的内在结构。我们将展示在双曲空间中，三角形内角和小于180度的几何事实如何被一致地推导出来。着重分析双曲几何在某些拓扑结构和流体力学中的潜在应用。 椭圆几何（黎曼的早期工作）： 讨论球面几何作为一种特定有限、无界几何的特点，以及其与椭圆空间（或射影空间）的关联。 最终，我们将聚焦于黎曼几何的伟大构建。黎曼摒弃了欧氏几何中对“直线”的绝对依赖，转而关注流形（Manifold）的概念。我们将详细介绍： 1. 微分几何的基础： 曲线、曲面在三维空间中的描述，曲率的概念（高斯曲率与平均曲率）。 2. 黎曼流形： 内蕴几何与外蕴几何的区别。度量张量 $g_{ij}$ 如何在局部定义距离、角度和体积。 3. 测地线： 局部上“最短”路径的推广，作为广义直线概念的建立。 这部分内容旨在揭示几何学从“平面/空间形状研究”向“抽象空间结构研究”的根本转变。 第三部分：广义相对论中的几何场论 本部分是几何学与现代物理学结合的巅峰。爱因斯坦的广义相对论本质上是一种几何理论，它将引力视为时空弯曲的表现。 等效原理与弯曲时空： 解释为何引力场可以被描述为曲率。 爱因斯坦场方程的几何解释： 深入分析黎曼张量 $R_{mu u}$、里奇张量 $R_{mu u}$、里奇标量 $R$ 如何与能量-动量张量 $T_{mu u}$ 相关联。我们不进行繁琐的张量代数演算，而是侧重于理解场方程的几何意义：物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动（沿测地线）。 具体解的几何剖析： 对史瓦西解（描述黑洞周围的静态真空时空）和克尔解（旋转黑洞）的几何结构进行细致的分析，包括视界、奇点（如彭罗斯-克鲁斯卡尔图）。 时空拓扑与因果结构： 讨论闵可夫斯基（平直时空）与罗伯逊-沃尔克度规（宇宙学模型）的几何差异，以及光锥结构在描述因果关系中的决定性作用。 第四部分：拓扑学：不变性的几何 几何学进入二十世纪后，对“形变下保持不变的性质”的研究成为了新的焦点，这便是拓扑学（或称“橡皮泥几何”）。 基本概念： 连续变形、同胚、拓扑不变量（如连通分支数、亏格）。 流形与嵌入： 拓扑流形（不要求度量结构，只要求局部像欧氏空间）的概念。介绍莫比乌斯带、克莱因瓶等经典不可定向曲面的拓扑构造与物理意义（例如，在凝聚态物理中的应用）。 纤维丛与规范场论的几何基础： 简要介绍纤维丛（Fiber Bundles）的概念，如何用主丛来描述物理场（如电磁场、引力场）。规范不变性在本质上是一种几何对称性。 第五部分：黎曼几何的现代拓展与前沿 本部分将视野投向更抽象、更前沿的几何领域，它们是粒子物理和量子引力研究的潜在工具。 卡拉比-丘流形： 介绍其在弦论（特别是超对称理论）中作为紧致六维空间的要求，以及卡拉比猜想的几何意义（零里奇曲率）。 辛几何与相空间： 介绍辛结构（Symplectic Structure）在经典力学（哈密顿力学）相空间中的核心作用。分析辛流形如何为量子化提供几何背景。 非交换几何的萌芽： 探讨对黎曼几何的进一步推广，即当坐标不再是函数环，而是非对易代数时，几何描述如何维持（康奈尔-格洛伯的初步思想）。 结语 本书并非一本用于解题的“习题集”，而是一部旨在引导读者领略几何思维如何成为理解宇宙基本规律的语言的“思想史”。通过对这些几何概念的深入考察，读者将发现，从行星轨道的经典描述到量子场论的规范对称性，几何学始终是物理学最深层、最坚实的支柱。本书适合对数学结构、物理学基础有深刻探究欲望的理工科高年级学生及研究人员阅读。

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坦白讲，我买这本书更多是出于一种“广撒网”的心态，希望能找到一本能真正解决我数学学习困境的宝典。而《高等数学(文理通用)》这本书，真的给了我意想不到的惊喜。它最让我印象深刻的地方在于，作者对于数学公式的推导过程写得非常详细，而且每一步都解释得非常清楚，让我能够理解公式是如何一步一步产生的，而不是简单地记忆。例如，在讲解洛必达法则时，作者先从极限的两种不定型形式引入，然后通过图像和代数推导，一步步揭示了洛必达法则的原理，这比我之前看过的任何教材都要透彻。另外，书中对一些易混淆的概念，比如收敛和发散、积分和微分等，都进行了非常细致的区分和对比，并且提供了大量的反例，让我能够更准确地区分它们。这本书的语言风格也非常朴实，没有华丽的辞藻，但字字句句都饱含深意，让我能够用最直接的方式理解最核心的数学思想。总而言之，这是一本能够真正帮助我理解高等数学的书，我非常庆幸自己当初选择了它。

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这本书真的颠覆了我对高等数学的认知。我之前一直以为数学就是枯燥的公式和定理，但《高等数学(文理通用)》却展现了数学的逻辑美和思想深度。作者在介绍数学概念时，并没有急于给出定义，而是先抛出一个问题，然后引导读者去思考，去探索，最终自然而然地得出结论。这种“引导式”的教学方法，让我感觉自己不是在被动接受知识，而是在主动参与到数学的发现过程中。例如，在讲解级数时，作者并没有直接给出收敛判别法的公式，而是通过将无穷多项相加的直观感受，以及与有限项求和的对比，让读者自己体会到级数求和的复杂性，然后才引出各种收敛判别法。这本书的语言非常精炼，但又富有启发性，每一句话都值得反复琢磨。我尤其喜欢书中对于一些“陷阱”题目的讲解，作者会把常见的错误思路一一剖析，并指出其错误所在，这让我受益匪浅，避免了很多弯路。总而言之，这是一本能够真正提升我数学思维能力的书，让我对高等数学的学习充满了信心和期待。

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说实话，我一开始对这本《高等数学(文理通用)》并没有抱太大的期望，毕竟市面上的数学书太多了，良莠不齐。但是，当我开始认真研读它之后，才发现自己错了。这本书的优点太多了，让我从一个对数学感到畏惧的学生，逐渐变成了一个对数学充满好奇的学习者。我最欣赏的是它对每一个数学概念的溯源和发展历程都有所交代，这不仅仅是简单的知识传授，更是一种思想的启迪。比如，在介绍积分时，作者并没有停留在计算定积分和不定积分的层面，而是详细阐述了积分的几何意义，它是如何从求面积、求体积等实际问题中演变而来的，并且还提及了黎曼积分的思想。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，极大地增强了我对数学的理解深度。而且，这本书的习题设计也非常巧妙，从基础题到综合题，层层递进，让我能够巩固所学知识，同时也能锻炼我的解题能力。有些习题甚至带着一点趣味性，就像是在玩一场智力游戏，让我乐在其中。我感觉这本书就像一位循循善诱的良师益友，在我迷茫时指引方向，在我困顿时给予鼓励，让我能够克服对数学的恐惧，享受学习数学的乐趣。

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这本书的封面设计简洁大气，封面上“高等数学(文理通用)”几个字沉稳有力，一看就是那种内容扎实、值得信赖的书。我当初买这本书，纯粹是因为学校要求，但翻开第一页，就被它严谨的逻辑和清晰的讲解深深吸引了。它不像一些教材那样枯燥乏味，而是通过大量的例题和图示，将抽象的数学概念变得生动形象。例如，在讲解导数的部分，作者并没有直接给出复杂的公式，而是从生活中的实际问题出发，比如计算速度的变化率，然后循序渐进地引入导数的定义和几何意义。这种方式让我觉得数学不再是遥不可及的学科，而是与我们生活息息相关的工具。而且，这本书的排版也非常舒服，字体大小适中，行距合理，阅读起来一点也不费眼。我尤其喜欢它在每一章节末尾设置的“思考题”和“拓展阅读”，这些题目不仅能检验我是否真正理解了知识点，还能引导我去探索更深层次的数学奥秘。虽然我目前还没有完全学完，但这本书已经在我心中树立了高等数学的权威形象，我期待着在接下来的学习中，它能继续成为我最得力的助手。

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当初选择这本《高等数学(文理通用)》，主要是被它“文理通用”几个字吸引。我本人文科背景，对数学一直有些心理阴影，但又不得不学。拿到这本书后，我怀着忐忑的心情翻开，却意外地发现它并没有我想象的那么艰涩。作者在讲解概念时，总是尽量联系生活中的实例，比如在讲函数部分，就用“身高与年龄的关系”、“物价与时间的关系”来比喻函数的概念，让我这种文科生也能迅速get到点。而且，这本书的例题非常丰富，而且每道例题的解题思路都讲解得很详细，从题目分析到步骤详解，一步不落。更重要的是，它还给出了多种解题方法，让我看到了数学的灵活性和多样性，也培养了我多角度思考问题的能力。书中还穿插了一些数学史的小故事，比如数学家们是如何发现某个定理的，这些故事让原本枯燥的数学学习变得有趣起来，也让我对数学产生了更深厚的兴趣。这本书真的像一位耐心细致的老师，一点点地为我扫清了数学的障碍，让我觉得数学也没那么可怕了。

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