Geometry of Normed Linear Spaces (Contemporary Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Robert G. Bartle

出品人:

页数:171

译者:

出版时间:1986-05

价格:USD 28.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821850572

丛书系列:

图书标签:

Geometry
Functional Analysis
Normed Spaces
Banach Spaces
Linear Spaces
Topology
Mathematics
Abstract Algebra
Real Analysis
Operator Theory

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具体描述

几何学视角下的赋范线性空间：探索抽象结构的内在韵律本书是一部深入探讨赋范线性空间几何性质的专著，它将代数结构与几何直觉巧妙地融为一体，为读者呈现了一个充满活力且富有洞察力的数学领域。我们在这里将聚焦于其核心概念，挖掘其丰富的几何内涵，而不会触及具体定理的证明或细枝末节的推导。赋范线性空间：基础中的基础一切都始于一个“赋范线性空间”。这是一种在抽象的线性代数框架下，为向量赋予“长度”或“范数”的概念的数学结构。想象一下，在一个由点组成的集合中，我们不仅可以进行加法（连接向量得到新的向量）和标量乘法（拉伸或压缩向量），更重要的是，我们可以测量每个向量的“大小”。这个“大小”——范数，必须满足一系列自然的要求：非负性、仅当向量为零时范数才为零、以及三角不等式（两点之间的直线距离最短）。正是这个看似简单的“范数”概念，为我们打开了探索空间几何的大门。它赋予了线性空间一种度量，使得我们可以在其中谈论距离、邻近性、收敛性，甚至角度。凸集与几何特征：空间的形状与属性赋范线性空间中的“凸集”是理解其几何性质的关键。一个凸集就像一个“没有洞”的集合，如果集合中的任意两点之间的连线段上的所有点都仍在集合内部，那么这个集合就是凸的。凸集的概念在优化、逼近理论以及许多其他数学分支中扮演着至关重要的角色。我们关注的不仅仅是凸集本身，更是它们在赋范线性空间中所展现出的独特几何特征。例如，在单位球（所有范数小于等于1的向量组成的集合）的周围，凸集可能呈现出各种形态：平滑的、尖锐的、或者带有奇特的形状。这些形状与空间的范数定义紧密相关，反映了空间在不同方向上的“伸展”或“压缩”程度。逼近与凸分析：在空间中寻找最佳赋近在赋范线性空间中，我们常常面临寻找“最佳”元素的任务。比如，在一个给定的集合中，我们想找到离某个目标向量最近的元素。这便是“逼近”问题，它在数据科学、信号处理和许多工程应用中有着广泛的应用。凸分析为此类问题提供了强大的工具。通过研究凸集的性质，特别是其“支撑函数”和“对偶”概念，我们可以系统地分析和解决逼近问题。这些工具帮助我们理解，在特定的几何约束下，最优解是如何存在的，以及如何对其进行刻画。算子与几何变换：空间的动态视角线性算子是赋范线性空间中的另一种核心元素。它们是将空间中的向量映射到另一个向量的“规则”或“变换”。这些算子可以是简单的伸缩、旋转，也可以是复杂的积分或微分运算。在赋范线性空间中，算子也具有几何上的含义。例如，一个有界线性算子（其范数有限）可以被看作是一种“受控”的几何变换。我们关注这些算子在空间中的行为，例如它们是否保持距离，是否将凸集映射到凸集，以及它们的“大小”是如何影响空间结构的。度量空间的角度：距离的普适性赋范线性空间本质上也是一种“度量空间”，其中距离的定义源于范数。度量空间的理论为我们提供了一个更普适的框架来审视这些空间。在这个框架下，我们关注诸如“完备性”（空间中所有柯西序列都收敛到空间内的点）等性质，这些性质深刻影响着空间的分析特性。从度量空间的视角，我们可以进一步探讨空间的几何性质，比如“测地线”（在某种意义上最短的路径）的概念，以及这些几何特征如何影响集合的收敛性和逼近问题的解决。总结：几何的启示总而言之，本书旨在揭示赋范线性空间中蕴含的丰富几何信息。通过关注凸集、逼近、算子以及度量空间的普适性，我们得以深入理解这些抽象结构的内在韵律。这种几何化的视角不仅深化了我们对线性代数和泛函分析的认识，更为我们在更广阔的数学领域，乃至科学研究中，提供了宝贵的洞察力。本书将引领读者踏上一段探索抽象空间之美的旅程，体验数学的严谨与优雅。