具体描述
《组合数学导论》 本书旨在为读者提供组合数学的坚实基础，涵盖其核心概念、重要定理以及经典应用。全书共分十章，脉络清晰，层层递进，适合数学、计算机科学、统计学等专业本科生和研究生作为教材或参考书。 第一部分：计数的基本原理 第一章：计数的基本方法 本章将介绍组合计数中最基础也最核心的原理，包括加法原理和乘法原理。我们将通过大量的实例，如排列、组合、多重集排列与组合等，来阐释这些原理的强大威力。读者将学会如何将复杂的问题分解为简单的计数步骤，并熟练运用这些工具解决实际问题。 第二章：排列与组合 本章深入探讨排列与组合的概念及其变体。我们将详细介绍具有重复元素的排列、可重复组合（也称为多集组合）等，并引入二项式定理，阐述其在多项式展开中的作用。此外，还会介绍与 Pascal 三角形相关的性质和恒等式，为后续章节打下基础。 第二部分：组合结构的计数 第三章：容斥原理 容斥原理是组合数学中解决“恰好”和“至少”类型问题的有力工具。本章将详细介绍容斥原理的表述形式及其证明，并展示其在数论（如欧拉函数）、集合论以及图论中的应用。我们将通过具体的例子，如素数计数、染色问题等，来展示容斥原理的灵活性和普遍性。 第四章：鸽笼原理与乘积原理 本章将介绍简洁而深刻的鸽笼原理，它在证明存在性问题时表现出色。我们将讨论其不同形式及其应用，例如在算法分析和图论中的应用。乘积原理作为计数的基本工具，在本章也将得到进一步的阐述和应用。 第五章：生成函数 生成函数是组合数学中一种强大的代数工具，能够将计数问题转化为多项式或幂级数的操作。本章将介绍普通生成函数和指数生成函数的概念，并阐述如何利用生成函数求解递推关系、计算特定序列的项数以及证明组合恒等式。我们将聚焦于生成函数在解决整数划分、子集和问题以及图计数等方面的应用。 第三部分：计数与结构 第六章：递推关系 递推关系是描述序列元素之间关系的一种重要方式。本章将介绍线性齐次和非齐次递推关系，并教授求解各种类型递推关系的方法，包括特征方程法、母函数法等。我们将通过斐波那契数列、汉诺塔问题等经典例子，展示递推关系在算法设计和分析中的普遍性。 第七章：图论基础 本章将引入图论的基本概念，包括图的定义、表示方法（邻接矩阵、邻接表）、顶点的度、图的连通性等。我们将介绍几种重要的图类型，如完全图、二分图、周期图和树。此外，还将讨论图的基本性质，例如度数和与边数的关系。 第八章：图的计数 本章将专注于图的计数问题。我们将学习如何计算特定类型图的数量，例如无向图、有向图、有标签图和无标签图的数量。本章还将涉及一些重要的图计数定理，并展示生成函数和 Pólya 计数定理在解决图计数问题中的应用。 第四部分：进阶主题与应用 第九章： Pólya 计数定理 Pólya 计数定理是一种强大的计数方法，用于计算在对称群作用下等价的对象的数量。本章将详细介绍 Pólya 计数定理的原理，包括置换群、循环指标和 Burnside 引理。我们将重点演示其在计算化学分子结构、图染色等问题中的应用。 第十章：组合设计的入门 组合设计是一类研究有限集及其子集结构的组合数学分支。本章将介绍组合设计的基本概念，如区块、点集、平衡不完全区组设计（BIBD）等。我们将讨论一些简单的组合设计，并介绍其在实验设计、编码理论和密码学中的初步应用。 全书结构严谨，逻辑清晰，每章都配有丰富的例题和习题，旨在帮助读者深入理解和掌握组合数学的理论与方法。通过学习本书，读者将能够培养严谨的数学思维，提升解决复杂计数问题的能力，并为进一步学习组合数学相关的进阶领域打下坚实的基础。
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