SMP 11-16 Book R2 School Mathematics Project 11-1 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:School Mathematics Project

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页数:0

译者:

出版时间:1986-11

价格:85.00元

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isbn号码:9780521314558

丛书系列:

图书标签:

• SMP
• 11-16
• 数学
• 初中
• 教材
• School Mathematics Project
• R2
• 英国
• 教育
• SMP Project
• 数学项目

深入探索高等数学的基石：一本全面而严谨的教材简介 本书旨在为对高等数学，特别是微积分和线性代数有深入学习需求的读者提供一套全面、系统且富含洞察力的学习资源。它并非仅仅是一本教科书，更是一份引导学生从基础概念迈向高级理论的详尽指南。全书结构精心设计，确保知识点的逻辑性和递进性，使学习过程既扎实又富有启发性。 第一部分：微积分的精妙构建 (Calculus Foundations) 本书的开篇聚焦于微积分学的核心——极限、连续性与导数。我们摒弃了过于简化的处理方式，而是深入探讨了 $epsilon-delta$ 语言的严谨性，为理解微积分的数学基础奠定坚实的基础。 极限与连续性： 这一章节详尽地阐述了序列的收敛性，函数极限的精确定义，以及处理各种不确定形式（如 $frac{0}{0}$ 和 $infty / infty$）的技巧。对于连续性的讨论，不仅限于直观理解，更结合拓扑学中的邻域概念，解释了闭区间套定理、介值定理和极值定理的深刻内涵及其在证明中的应用。 导数的理论与应用： 导数部分的讲解超越了简单的求导公式罗列。我们首先探讨了导数的几何意义——切线的斜率，以及物理学中的瞬时变化率。随后，深入研究了微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理），并重点演示了这些定理如何作为证明其他数学命题（如泰勒展开的余项形式）的关键工具。多元函数的偏导数、方向导数和梯度向量的引入，为后续的向量微积分和优化问题做好了充分的准备。 积分学的深度剖析： 黎曼积分的构建过程被细致地分解，强调了上和与下和的界限。我们详细讨论了积分的性质，以及微积分基本定理的两个部分，并从理论层面证明了其成立的条件。对于反常积分（Improper Integrals），本书提供了丰富的案例来展示其收敛与发散的判断标准，特别是涉及无穷区间和函数不连续点的情况。此外，拉格朗日乘数法在约束优化问题中的应用，以及定积分在计算面积、体积、弧长和曲面面积中的具体建模过程，均有详尽的图示和推导。 第二部分：线性代数的结构之美 (The Architecture of Linear Algebra) 线性代数的引入，旨在让读者理解向量空间这一抽象概念的实际意义。本书的叙事线索围绕着“线性映射”展开，强调矩阵是操作的载体，而非最终目的。 向量空间与子空间： 这一部分从向量的线性组合、张成空间、线性无关性开始，逐步引入基（Basis）和维数（Dimension）的概念。我们严格定义了向量空间的公理体系，并详细对比了 $R^n$ 与抽象向量空间（如函数空间 $C[a,b]$ 或多项式空间 $P_n$）之间的映射关系，突显了抽象化带来的普适性。 线性变换与矩阵表示： 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本书着重解释了如何根据选定的基来构造表示线性变换的矩阵。核（Kernel）和像（Image）的概念被赋予了清晰的几何和代数解释，并与秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）紧密结合。 行列式与逆矩阵： 行列式的代数性质（如乘法性和交错性）被系统地阐述。我们不仅教授了代数计算方法，更深入探讨了行列式作为体积缩放因子的几何意义。逆矩阵的存在性与唯一性，以及它在线性方程组唯一解判断中的核心作用，是本节的重点。 特征值与特征向量： 这是理解线性动力学系统的关键。特征值的求解被视为矩阵作用下不变方向的体现。本书详细阐述了对角化（Diagonalization）的条件和意义，解释了为什么对角化可以简化矩阵的幂运算，这在求解差分方程和处理高维数据时至关重要。对于不可对角化的情形，广义特征向量和若尔当标准型（Jordan Canonical Form）作为补充，确保了理论的完备性。 内积空间与正交性： 引入内积的概念，使得“长度”和“角度”这些几何概念得以在抽象空间中定义。正交基的构建，特别是格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，被详细演示。对称矩阵在内积空间中的特殊性质，以及谱定理（Spectral Theorem）在数据分析和量子力学中的基础地位，得到了充分的强调。 第三部分：进阶主题的融合与应用 (Synthesis and Advanced Topics) 本书的最后部分致力于将微积分与线性代数结合起来，展示现代数学分析和应用数学的前沿视角。 泰勒级数与傅里叶分析的初步接触： 通过严谨的泰勒定理，我们分析了函数局部逼近的精度。随后，我们简要介绍了傅里叶级数作为将复杂周期函数分解为正弦和余弦基函数的方法，展示了线性代数中基的概念在函数空间中的延伸应用。 微分方程初步： 线性常微分方程组的解法，是线性代数在动态系统中的直接体现。我们使用特征值和特征向量来求解非齐次和齐次线性微分方程组，清晰地展示了系统的稳定性和长期行为如何由矩阵的特征值决定。 排版与风格： 全书的排版力求清晰、专业。数学符号遵循国际惯例，图示简洁明了，旨在减少视觉干扰。习题被分为基础练习、证明题和应用建模题三大类，确保学习者在不同层次上都能得到充分的训练。对于需要更高深理解的读者，书中穿插了“深入探究”栏目，引导他们接触更前沿的研究领域，培养独立思考和解决复杂问题的能力。本书的目标是培养出不仅会“计算”，更能“理解”数学结构本质的下一代数学人才。

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