A Mathematical Gift, II (Mathematical World) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Kenji Ueno

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:2004-03-01

价格:USD 30.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821832837

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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数学之境：超越极限的探索之旅 本书旨在为数学爱好者、学生及专业研究人员提供一个广阔而深入的视角，探索数学世界的核心概念、前沿进展与跨学科应用。我们专注于那些构成现代数学大厦的基石，并以一种既严谨又富于启发性的方式，展现数学思维的魅力与力量。全书共分为六个部分，旨在引导读者从基础原理出发，逐步迈向更抽象、更复杂的数学前沿。 --- 第一部分：代数结构与数论的精妙交织 本部分深入探讨了抽象代数中的群论、环论和域论。我们首先从群的定义与基本性质入手，详细分析了有限群的结构定理，如拉格朗日定理及其推论。随后，我们将目光投向环与域，着重考察了多项式环、唯一因子分解整环（UFDs）和主理想整环（PIDs）的特性。这一部分的重点在于建立一个坚实的代数框架，理解对称性、不变性以及代数结构如何决定了方程的解集。 紧接着，我们转向经典数论与解析数论的交汇点。我们将系统性地回顾费马大定理的历史背景，并深入探讨狄利希特（Dirichlet）关于算术级数中素数密度的证明思路。此外，本书将详细介绍超越数理论的基础，例如 Lindemann-Weierstrass 定理的应用，它在证明 $pi$ 的超越性中起到的决定性作用。我们特别关注代数数论的初步概念，如域扩张与理想的概念，为理解现代密码学和代数几何奠定基础。本部分强调代数方法在解决数论问题中的强大威力。 --- 第二部分：拓扑学与几何学的空间想象力 本卷致力于构建读者对空间、连续性和形变的直观理解，并将其提升至严谨的数学层面。 我们从点集拓扑学的基石开始，详细定义了拓扑空间、开闭集、连续函数、紧致性和连通性。这些抽象概念的引入，使得我们能够形式化地讨论“邻近性”和“极限”的本质。接着，我们将重点转向代数拓扑学的入门，介绍同伦群（Homotopy Groups）的概念，特别是 $pi_1(X)$ 的计算，用以区分不同拓扑空间（如球面与环面）的洞（holes）。 在微分几何方面，本书不再停留在欧几里得空间，而是转向流形（Manifolds）的概念。我们详细阐述了切空间、向量场和张量场的构造，并引出了黎曼几何的核心工具——黎曼曲率张量。通过对测地线方程的分析，读者将能够理解空间曲率如何影响最短路径的性质。本书将特别关注高斯绝妙定理（Theorema Egregium）及其在曲面上的物理意义，揭示曲率如何在内在几何中被编码。 --- 第三部分：分析学的深刻洞察与泛函分析 本部分是连接微积分的直觉与无穷维度空间的桥梁。我们从实分析的严格基础出发，重温勒贝格积分理论，强调其相对于黎曼积分的优越性，特别是在处理极限和序列的交汇时。书中将详细讨论测度论的基本公理和各种收敛定理（如单调收敛定理、支配收敛定理）。 随后，我们将进入泛函分析的核心领域。本书将清晰地阐述巴拿赫空间和希尔伯特空间的定义、性质及完备性。重点讲解有界线性算子的结构，并深入探讨有界算子谱理论的基础，如谱半径公式和算子范数。对于理解量子力学的数学基础至关重要的一点是，我们对自伴算子（Self-Adjoint Operators）的谱分解进行了细致的阐述，展示了谱理论如何将微分方程的解转化为函数空间中的特征值问题。 --- 第四部分：微分方程的动力学与稳定性 本卷聚焦于描述自然界中变化过程的数学语言——微分方程。我们首先系统考察常微分方程（ODEs）的理论解法，并着重讨论皮卡-林德勒夫（Picard-Lindelöf）存在唯一性定理的严密证明。 重点转向偏微分方程（PDEs）的理论分析，特别是三大经典方程：热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程。本书将详细介绍傅里叶分析在求解这些方程中的关键作用，从基本的一维问题开始，逐步过渡到更复杂的二维和三维边界值问题。 此外，本书还将探讨动力系统的现代观点。我们分析了非线性系统的相图（Phase Portraits），并重点讨论了李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论。通过对吸引子（Attractors）和混沌现象的初步介绍，读者将领略到数学如何精确地刻画复杂系统中的不可预测性。 --- 第五部分：概率论与随机过程的建模 本部分从概率论的公理化视角出发，为理解不确定性提供了一个严谨的框架。我们从概率空间、随机变量和期望的定义出发，深入探讨极限定理，尤其是中心极限定理在统计推断中的核心地位。 本书的核心在于随机过程的深入研究。我们详细介绍了马尔可夫链的定义、转移概率矩阵及其长期行为分析。随后，我们将重点阐述布朗运动（Wiener 过程）的构造及其与随机微积分的联系。我们将简要介绍伊藤积分的概念，展示如何用连续随机过程来建模金融市场和物理扩散现象。 --- 第六部分：离散数学与计算的逻辑基础 最后一部分将目光从连续世界转向离散世界，探讨计算的逻辑结构和效率问题。 我们首先回顾图论的基础，包括图的连通性、欧拉回路与哈密顿回路的存在性判定。接着，我们将深入探讨组合优化的基本问题，例如旅行商问题（TSP）的近似算法和最小生成树的有效算法（如 Prim 和 Kruskal 算法）。 在计算理论方面，本书探讨了可计算性理论的核心——图灵机模型。我们将分析可判定性问题，特别是停机问题（Halting Problem）的不可解性证明。最后，本书将介绍计算复杂性理论，清晰界定 P 类问题和 NP 类问题，并讨论 P=NP 问题的深远意义，连接了纯数学理论与现代计算机科学的根本挑战。 --- 本书结构旨在确保读者不仅掌握了各个数学分支的独立知识，更能理解它们之间错综复杂的联系，为未来的深入研究和应用打下坚实的基础。

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