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isbn号码:9780003225013

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《空间几何的奇妙旅程》 作者： 张华，李明 出版社： 科学出版社 出版日期： 2023年10月 --- 内容简介 《空间几何的奇妙旅程》并非一本传统的教科书，它是一次对三维世界结构与美学的深度探索。本书旨在带领读者，无论其数学基础如何，穿越想象力的边界，领略空间几何学（Stereometry）的精妙与迷人之处。我们相信，几何学不仅仅是冰冷的公式与证明，更是理解我们所处物理世界的基础语言。 本书摒弃了繁琐的初级代数预备知识，直接切入核心的几何直觉与空间思维训练。全书结构分为四个核心部分，层层递进，构建起一个完整而富有启发性的学习路径。 --- 第一部分：基础构建与直觉培养 本部分着重于建立坚实的、基于视觉和感性的几何基础。我们不急于引入复杂的坐标系，而是通过对现实世界常见物体的解构与重构，培养读者的空间想象力。 1.1 从平面到立体：拓扑学的初探 我们从欧几里得几何的平面概念出发，但迅速引入维度提升的概念。重点讨论了拓扑学（Topology）的初步思想，例如“连续形变”在空间中的意义。我们将探讨多面体的欧拉公式（$V - E + F = 2$）的直观几何解释，以及它如何跨越不同复杂度的多面体，揭示其内在的恒定规律。我们通过大量的实体模型图示和手工制作指导，鼓励读者动手操作，将抽象概念转化为可触摸的实体。 1.2 投影与视角的艺术 空间几何的挑战之一是如何将三维信息二维化地呈现。本章深入讲解了正交投影（Orthographic Projection）和透视投影（Perspective Projection）的原理。我们详细分析了文艺复兴时期艺术家（如皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡）是如何利用几何学原理来创造逼真景深的。读者将学习如何从不同视角解读工程图纸，理解“隐藏线”和“可见线”背后的几何逻辑。这一部分尤其强调了对偶性（Duality）的概念，即将点与面、线与边的关系进行互换，从而发现新的几何洞察。 1.3 规则形体的内在对称 本章聚焦于柏拉图多面体（Platonic Solids）——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。我们不仅仅是罗列它们的边、面和顶点数量，而是深入分析它们的对称群（Symmetry Groups）。通过探讨旋转对称轴和反射面对称面，读者将领略到这些完美形体所蕴含的深刻数学美感，以及它们在晶体学和自然界中的普遍存在。 --- 第二部分：解析几何的介入与工具箱 在建立了稳固的直觉基础后，本部分开始引入代数工具，特别是笛卡尔坐标系，来精确描述和操作空间中的点、线和面。 2.1 向量：空间中的“力”与“方向” 向量（Vectors）是现代空间几何的基石。本章详细讲解了向量的加减法、标量乘法，以及两个至关重要的运算：点积（Dot Product）和叉积（Cross Product）。点积用于计算夹角和投影，帮助我们理解力的分解；而叉积则生成一个垂直于已知平面的新向量，这对于确定法线和平面的方向至关重要。我们提供了大量的物理应用实例，如计算扭矩和平面面积。 2.2 直线与平面的方程 如何用代数语言精确描述空间中的直线和平面？本章系统介绍了直线的向量方程和参数方程，以及平面的法向量方程和一般式方程。读者将学习如何根据两个点确定一条直线，如何根据三个不共线点确定一个平面。计算两直线、线面、平面间的夹角，以及点到平面和点到直线的距离，这些核心计算技能将被清晰、分步地阐述。 2.3 空间中的二次曲面 本章是对解析几何在三维空间中应用的精彩展示。我们将探索二次曲面（Quadric Surfaces）的代数描述。重点解析了椭球面（Ellipsoid）、抛物面（Paraboloid）、双曲面（Hyperboloid）的特征方程，并辅以三维绘图软件的辅助理解。读者将明白，仅仅通过改变一个二次方程中的符号或系数，就可以在代数上“塑造”出截然不同的空间形态。 --- 第三部分：体积、表面积与积分的桥梁 几何学与微积分的结合是精确计算复杂形体的关键。本部分侧重于对三维形体的量化度量。 3.1 经典体积的计算技巧 我们回顾了圆柱体、圆锥体、球体的体积公式的几何推导过程，强调卡瓦列里原理（Cavalieri's Principle），即“等高处横截面积相等，则体积相等”。通过切割法，我们将不规则的立体分解为可计算的部分，展示了几何直觉如何指导积分思想的产生。 3.2 旋转体的生成与表面积 本章探讨了如何通过曲线绕轴旋转来生成三维实体（如圆环体、甜甜圈形体）。我们将介绍表面积公式的几何意义，并展示如何利用线积分（Arc Length Integral）的概念来精确计算这些旋转体的曲面面积。 3.3 简单形体的质量分布与几何重心 对于不均匀或具有复杂边缘的物体，如何确定其几何重心（Centroid）？本章介绍了如何利用对称性简化计算，并介绍了针对柱体、锥体等基本形体的重心坐标的确定方法。这为后续学习物理中的质心概念打下了坚实的几何基础。 --- 第四部分：更深层的结构与应用 最后一部分将视野拓宽，触及更抽象或与实际应用紧密相关的空间几何主题。 4.1 欧几里得变换：刚体的运动 空间几何不仅关注静止的形状，也关注形状的运动。本章系统地分析了刚体变换（Rigid Body Transformations），包括平移（Translation）、旋转（Rotation）和反射（Reflection）。我们解释了旋转矩阵（Rotation Matrices）在三维空间中的应用，以及它们在计算机图形学和机器人学中用于描述物体姿态（Orientation）的关键作用。 4.2 晶体学与空间群的几何 本书的压轴部分将几何学与现实世界的前沿科学联系起来。我们简要介绍了晶体学中的布拉维晶格（Bravais Lattices）的概念，展示了如何利用群论和空间对称性来分类和理解物质的基本结构。读者将看到，那些看似随机的分子排列，背后隐藏着高度有序的几何规律。 4.3 拓扑学在空间几何中的回归 在全书的收尾，我们再次回归拓扑学的视角，讨论流形（Manifolds）的概念。通过理解球面、环面等光滑曲面的内在几何性质，读者将对高维空间和非欧几何产生初步的认识，为未来学习更高级的微分几何做好准备。 --- 本书特色 1. 强烈的视觉导向： 大量使用清晰的剖视图、透视图和三维模型渲染图，将抽象概念可视化。 2. 直觉优先： 每一章节的引入都基于对现实世界现象的观察和几何直觉的培养，避免过早陷入复杂的符号运算。 3. 应用导向： 穿插了大量来自工程制图、建筑设计、计算机图形学和自然科学的应用实例，展示空间几何学的实用价值。 4. 面向自学： 结构清晰，语言流畅，适合对空间感有追求的爱好者、工程专业的学生以及希望巩固几何基础的数学学习者。 《空间几何的奇妙旅程》是一本邀请函，邀请您进入一个由点、线、面构建的、充满逻辑美感和无限可能的三维世界。准备好挑战您的空间思维，迎接一次令人兴奋的几何冒险吧。

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这本《数学之径》简直是为我量身定做的“救星”。我一直对高等数学有种莫名的恐惧，每次翻开厚厚的教科书，那些密密麻麻的符号和抽象的理论就让我头晕目眩。但这本书的叙述方式完全不同，它更像是一位耐心的、学识渊博的老师在耳边娓娓道来。作者似乎深谙普通学习者在理解微积分、线性代数时会遇到的思维陷阱，因此在关键概念的引入上做得极其巧妙。比如在讲解多变量函数的偏导数时，它没有直接抛出复杂的公式，而是先从一个非常直观的物理场景——描述一座山峰的坡度——入手，将抽象的数学概念“拉”到了现实世界中。这种由具体到抽象的过渡非常平滑，让人感觉自己不是在“啃”知识点，而是在“探索”一个真实存在的问题。书中大量的插图和图示也起到了画龙点睛的作用，很多原本需要花费大量时间在脑海中构建的三维空间想象，通过书中的二维图示瞬间变得清晰明了。更值得称赞的是，习题设计也充满了智慧，它们不是简单的重复运算，而是引导读者去思考数学工具如何解决实际问题。读完前几章，我竟然开始对数学产生了兴趣，这在以前是绝对不敢想象的事情。

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说实话，我对市面上大多数声称“直观易懂”的数学教材都抱持着怀疑态度，因为它们往往为了追求表面的流畅性而牺牲了严谨性。然而，《数学之径》在这两者之间找到了一个近乎完美的平衡点。它的论证过程清晰、逻辑链条完整，即便是涉及到一些较为复杂的证明，作者也能将每一步推理的动机解释得一清二楚，而不是生硬地堆砌定理。我特别欣赏它在处理“为什么”这个问题上的态度。很多教材只告诉你“怎么做”（How），但这本书却花了大量的篇幅来解释“为什么非这样不可”（Why）。例如，在介绍傅里叶分析时，它没有止步于告诉我们如何进行级数展开，而是深入探讨了为什么正弦和余弦函数能够成为构建任何周期函数的“基石”，这触及到了数学的本质美感。对于那些希望不仅仅停留在应用层面，而是想真正掌握数学思想和方法的读者来说，这本书的深度和广度是无可替代的。它要求读者思考，而不是盲目接受，这种教学方式真正培养了读者的数学素养。

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作为一名已经工作多年的工程师，我重拾数学是为了更好地理解现代数据科学的底层逻辑。《数学之径》在连接纯数学与应用领域方面做得尤为出色。它没有陷入纯理论的泥潭，也没有流于肤浅的应用罗列。在介绍完扎实的矩阵理论后，它紧接着探讨了如何用奇异值分解（SVD）来处理高维数据的降维问题，并简要提及了其在推荐系统中的应用雏形。这种“理论先行，应用呼应”的模式，使得学习的动力非常强劲，因为读者能明确知道自己正在学习的知识点在未来将如何被有效利用。更重要的是，它教会了我们如何用数学的视角去“建模”——如何将一个复杂的现实问题抽象化，转化为可以用代数或分析工具解决的形式。这种思维训练，比单纯记住公式要重要得多。这本书真正实现了理论与实践的有效桥接，对于希望将数学知识转化为解决实际工程或科研问题的专业人士来说，它提供了必要的深度和清晰度。

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我必须承认，我对这本书的评价带有一定的个人偏好，因为它极大地弥补了我过去学习中的一个遗憾：缺乏对数学史和数学家思维方式的了解。《数学之径》巧妙地穿插了一些关于重要数学概念如何被历史上的伟大头脑一步步确立起来的故事片段。这些片段不是无关的轶事，而是紧密地服务于概念的阐释。了解欧拉、高斯等人在面对特定难题时是如何挣扎、如何突破的，能极大地激励人心，也能帮助我们理解某些看似“天经地义”的数学结论，其背后蕴含了多少思想的碰撞和时间的沉淀。这种人文关怀和科学精神的结合，让这本书超越了纯粹的工具书范畴，成为了一部富有感染力的数学读物。它让我们意识到，数学不是冷冰冰的逻辑机器，而是人类智慧的伟大结晶。这种“带着故事去学习”的体验，是我在其他任何同类教材中都未曾获得的宝贵财富。

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这本书的装帧和排版也为阅读体验加分不少。在长时间面对密集的数学公式时，眼睛很容易疲劳，但《数学之径》在版式设计上显然下了大功夫。字体选择和行间距的调整都非常人性化，使得阅读过程更加舒适。更重要的是，它的内容组织结构呈现出一种螺旋上升的特点。基础概念在初次介绍时是简练而核心的，随后在后续章节中，会以更复杂的背景和更严格的框架被重新审视和深化。比如，对“极限”这个核心概念的讨论，在微积分基础部分给出直观理解，然后在实分析的章节中，则用$epsilon-delta$语言进行了最严谨的定义和探讨，前后呼应，层层递进，让人对知识的掌握更加牢固，不会出现“学了后面忘了前面”的现象。这种精心设计的学习路径，确保了知识的系统性构建，避免了零散学习的弊端。对于自学者而言，这种结构上的清晰度，比面对面有老师指导更为重要，因为它提供了一个清晰的导航图。

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