Answer key for Contemporary abstract algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:D.C. Heath

作者:Joseph A Gallian

出品人:

页数:96

译者:

出版时间:1994

价格:0

装帧:

isbn号码:9780669339086

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• 抽象代数
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• 数学
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• Joseph Gallian

深入探索纯粹数学的基石：代数结构与美学 本书旨在为那些渴望踏入抽象代数深邃领域，但又寻求一套独立于特定教材或特定解答集之外的严谨、全面、且富有洞察力的指南的读者提供一份理想的蓝图。我们聚焦于代数结构这一纯粹数学的核心，从最基础的集合论概念出发，层层递进，直至构建起群论、环论、域论的宏伟殿堂，并适当地触及更高阶的模与伽罗瓦理论的精妙之处。 本书的叙事结构是精心设计的，它不依赖于任何特定教科书中预设的问题顺序或特定的解题技巧，而是完全建立在数学原理的逻辑推导之上。我们的目标是培养读者对代数概念的深刻理解，使其能够独立地分析问题、构建证明，并欣赏代数语言的内在优雅性。 --- 第一部分：基础的奠基——集合、映射与代数结构的萌芽 在深入代数结构之前，我们必须确保读者对作为数学语言基础的工具拥有坚实而灵活的掌握。本部分将细致梳理集合论的基础，但其目的并非成为一本集合论教材，而是精确地界定后续讨论所需的精确术语和工具。 1.1 集合论的回顾与精确化： 我们将简要回顾集合的定义、子集、幂集、笛卡尔积，并着重强调关系与函数（映射）的性质。特别地，对单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）的深入分析至关重要，因为双射是我们在构造同构时赖以生存的桥梁。 1.2 运算的公理化： 代数的本质在于运算。本章将探讨一元和二元运算的严格定义，以及它们在不同集合上表现出的性质——结合律、交换律、单位元、逆元等。这些看似简单的性质，正是区分不同代数结构的关键所在。 1.3 模运算与同余关系： 在为群论做准备时，我们必须对整数环上的同余关系进行详尽的探讨。这不仅是理解模运算的起点，更是未来理解商群和商环的几何直观基础。我们将严格证明同余关系的等价性，以及在同余类集合上定义运算的良好性（Well-definedness）。 --- 第二部分：群论的精粹——对称性与抽象的统一 群论是现代代数的心脏，它以最简洁的公理捕捉了对称性的本质。本部分将以严谨的逻辑推导，构建起群论的完整体系。 2.1 群的定义与初探： 从最简单的例子入手，如整数加法群 $mathbb{Z}$ 和非零有理数的乘法群 $mathbb{Q}^$，定义群的四个公理。随后，我们将证明群中单位元和逆元的唯一性，并引入子群的概念。 2.2 子群的检验与构造： 我们将详细介绍子群判别准则，并探讨由集合生成子群（Cyclic Subgroups）的概念。循环群 $mathbb{Z}_n$ 将被深入分析，作为理解有限群结构的范例。 2.3 陪集与拉格朗日定理： 陪集的引入是通往群结构深层洞察的关键一步。我们将严格证明拉格朗日定理，并探讨其推论，例如元素阶的性质。对右陪集和左陪集的比较将自然地引出正规子群的定义。 2.4 正规子群与商群： 正规子群是使我们在群的结构上“取商”成为可能的桥梁。我们将详细阐述 $H riangleleft G$ 的等价定义，并构造商群 $G/H$。对商群中运算的定义及其良好性证明是本节的重点。 2.5 同态与同构： 映射在代数中的意义在于保持结构。我们定义群同态，并区分同构、内同态和自同构。第一、第二、第三同构定理将被逐一精确地阐述、证明，并配以结构清晰的图示说明，展示它们如何连接不同群之间的关系。 2.6 有限群的结构： 重点分析 $p$ 群、Sylow 定理的精确表述和证明。我们将利用 Sylow 定理来分析特定阶数的群（如阶为 $p^2$ 或 $pq$ 的群）的结构，这是群论应用中的核心工具。 --- 第三部分：环与域——代数运算的丰富性 在群论的基础上，我们引入第二个运算，从而进入环论的世界，探讨同时具有加法和乘法结构的代数对象。 3.1 环的公理与基本性质： 环的定义、交换环、单位环。我们将考察整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$ 以及矩阵环 $M_n(R)$。对零因子、幂零元和幂等的讨论将为理解环的“破损”之处奠定基础。 3.2 子环、理想与商环： 子环的检验与生成。理想（Idieals）作为加法结构中的特殊子群，其在环论中的重要性不亚于正规子群在群论中的地位。我们将构造商环 $R/I$，并证明环同态与商环结构之间的对应关系（类似于群论中的同构定理）。 3.3 整环与域： 域被定义为“没有零因子”的交换环。我们将证明所有有限整环都是域。对 $mathbb{Z}_p$（$p$ 为素数）和有理数域 $mathbb{Q}$ 的分析将巩固这一概念。 3.4 积分域的特殊结构： 深入探讨主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD）。我们将严格证明 $mathbb{Z}$ 是 PID，并证明所有 PID 都是 UFD。在多项式环 $F[x]$（$F$ 为域）上的因子分解理论将被详细考察。 3.5 域的扩张与根域： 介绍域扩张的基本概念。我们将构造并分析根域（Splitting Fields），证明任何多项式在某个域上都存在一个根域。本节将为进入伽罗瓦理论做必要的代数准备。 --- 第四部分：延伸与展望——从模到伽罗瓦理论的触角 本部分旨在提供一个窗口，窥视更广阔的代数领域，尽管篇幅有限，但会严格定义核心概念。 4.1 模的基本概念： 模是群论和环论概念的推广。我们将定义左 $R$-模和右 $R$-模，并探讨子模、模同态。特别是，当 $R$ 是一个域时，模即是向量空间，这再次印证了域在代数中的特殊地位。 4.2 伽罗瓦理论的初步： 概述伽罗瓦理论的核心目标——利用群论来研究域的扩张，特别是多项式的根的性质。我们将定义伽罗瓦群 $Gal(E/F)$，并阐述基本定理的核心思想：域的扩张与群的子群之间存在一一对应关系。 --- 本书的最终价值在于其思维方式的训练。每一章的结构都旨在引导读者从定义出发，通过逻辑的链条，抵达复杂的定理。它提供的不是一组可以背诵的答案，而是一套可以应用到任何新代数问题上的普适性推理工具。读者在合上本书时，应当能够自信地面对任何初级到中级的抽象代数难题，并独立地构建其逻辑证明路径。

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这本书带给我的最大感受是“严谨而不失温度”。在处理那些需要精确定义的抽象概念时，作者一丝不苟，确保定义的完备性和无歧义性。任何一个符号的引入，任何一个假设的提出，都有明确的上下文和逻辑支撑。然而，这种极度的严谨性并没有让阅读过程变得冷冰冰。相反，作者的语言风格非常清晰、精确且富有条理，读起来有一种被引导者清晰领航的感觉。它既保持了高等数学教材应有的学术高度，又通过大量的注解和例子，保持了对读者的友好度。总而言之，这是一本我愿意推荐给任何希望系统学习抽象代数的人的入门和进阶参考书。它不仅是一本工具书，更像是一位耐心而智慧的导师，陪伴学习者走过从懵懂到理解的整个过程。

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这本书的封面设计真是让我眼前一亮，那种沉稳的深蓝色调，搭配着简洁有力的白色字体，一下子就抓住了我的眼球。我一直对数学中的抽象代数领域抱有浓厚的兴趣，但市面上很多教材要么过于晦涩难懂，要么就是排版得让人望而却步。然而，这本书的排版风格却非常现代和清晰，即便是初次接触这个领域的读者，也能感受到它在努力降低学习的门槛。内页的纸张质量也相当不错，阅读起来眼睛不容易疲劳，长时间沉浸在那些复杂的概念和定理中也感到舒适。我尤其欣赏它在章节过渡时的设计，总能用一些巧妙的图示或简短的引言来引导读者的思绪，让人感觉这不是在阅读一本枯燥的教科书，而是在进行一场精心策划的思维探险。整体来看，从视觉到触觉，这本书都展现出一种专业且充满诚意的态度，让人愿意拿起它，并期待接下来的知识旅程。

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作为一个自学者，我深刻体会到教材的“可交互性”有多么重要。这本书在这方面做得非常出色。它似乎一直在与读者进行一种无声的对话。练习题的设计非常有层次感，从基础的计算题到需要综合运用多个定理的证明题，难度梯度设置得极为合理。更难能可贵的是，作者在很多关键的定理证明后，都会附带一些“思考题”或者“探索性问题”，这些问题往往不要求完整的解答，而是引导读者去思考定理的边界条件、推广的可能性，甚至是证明过程中的关键技巧。这种设计极大地激发了我的主动探索欲望，让我不再是被动地接收知识，而是主动地去挖掘知识的深层含义。如果能配有一本详细的解答手册，那无疑是如虎添翼，但即便没有，这些精妙的引导也足以让人受益匪浅。

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关于这本书的深度和广度，我必须给予高度评价。它覆盖了抽象代数的核心内容，从基础的群论到更高级的环、域以及伽罗瓦理论的初步介绍，都有相当扎实的论述。但最让我感到惊喜的是，它不仅仅满足于教科书的本分，还巧妙地穿插了一些历史背景的介绍和现代数学中相关领域的研究热点。这些“花边”内容虽然不是考试的重点，但极大地拓宽了读者的视野，让人明白这些数学工具是如何在现实世界中发挥作用的。对于那些希望将代数知识应用于密码学、编码理论或者理论物理学的读者来说，这本书提供的理论基础是足够坚固且具有前瞻性的。它鼓励读者去思考“为什么”这些结构如此重要，而不是仅仅停留在“是什么”的层面，这种引导性的教学思维，对于培养真正的数学家至关重要。

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这本书在内容组织上的匠心独运，实在令人称道。它没有急于抛出那些令人头晕目眩的群论或环论的定义，而是采用了循序渐进的教学方法。我发现作者非常注重概念之间的逻辑联系，每一个新引入的结构或定理，都能清晰地回溯到前文已经建立的基础之上。这对于我这种习惯于“知其所以然”的学习者来说，简直是福音。例如，在讲解同态和同构时，作者不仅给出了严格的数学定义，还辅以了大量的例子和反例，特别是那些与几何、线性代数交叉的实例，极大地增强了抽象概念的可视化和直观性。这种“先铺垫，后推导，再应用”的结构，让我在学习过程中很少感到“卡壳”，知识的积累过程显得非常自然和顺畅。它成功地将抽象代数这门学科的“美感”和“力量”有效地传达了出来，而不是仅仅停留在公式的堆砌。

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