Templates for the Solution of Linear Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Society for Industrial Mathematics

作者:Michael Berry

出品人:

页数:142

译者:

出版时间:1987-01-01

价格:USD 39.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780898713282

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 线性代数
• 数值分析
• 线性方程组
• 迭代法
• 矩阵分解
• 模板
• 算法
• 科学计算
• 数学软件
• 数值方法

《矩阵运算与数值方法导论》 书籍简介 本书是一部全面而深入的教材，旨在为读者提供坚实的矩阵代数基础和高效的数值计算方法，以解决各类工程、科学和经济领域中遇到的线性系统问题。全书内容经过精心组织，从基础概念出发，逐步过渡到高级的算法设计与分析，力求在理论严谨性与实际应用性之间达到完美的平衡。 第一部分：线性代数基础与矩阵理论 本书的开篇部分致力于构建坚实的线性代数基础。我们首先从向量空间、子空间、线性相关性、线性无关性以及基和维数等核心概念入手，为后续的矩阵理论打下坚实的基础。 向量空间与线性变换： 详细阐述了抽象向量空间的定义及其性质，并引入了线性变换的概念。通过矩阵表示法，将抽象的线性变换与具体的数值计算联系起来。重点讨论了核空间（零空间）和值域（像空间）的性质及其在求解线性系统中的作用。 矩阵的结构与性质： 深入剖析了方阵的性质，包括行列式的计算、秩的定义及其重要性。特别关注了矩阵的逆、伴随矩阵的计算方法，并详述了矩阵乘法的几何意义。矩阵的迹及其在迹恒等式中的应用也被详细介绍。 特征值与特征向量： 这是本书的核心理论部分之一。详细介绍了特征值问题的求解过程，包括特征多项式的求法。通过对相似矩阵的讨论，引出了对角化（Diagonalization）的概念，并展示了其在简化矩阵运算中的强大威力。对于非对角化矩阵，我们引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的概念，以确保对所有矩阵都能进行完备的分析。 正交性与分解： 强调了内积空间的概念，并在此基础上引入了正交基和施密特（Gram-Schmidt）正交化过程。本书系统地介绍了几种关键的矩阵分解方法，包括： LU 分解： 详细探讨了带部分选主元的LU分解，并分析了其在求解线性方程组中的效率和稳定性。 QR 分解： 通过Householder反射和Givens旋转两种方法详细推导了QR分解的构建过程，并阐明了其在最小二乘问题中的核心地位。 对称矩阵的分解： 重点讨论了对称正定矩阵的Cholesky分解，分析了其计算优势。 第二部分：线性系统的求解与数值稳定性 本部分聚焦于如何使用计算方法高效、精确地求解大型线性系统 $Ax=b$。我们将数值方法的稳定性和收敛性作为核心考量。 直接法（Direct Methods）： 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 详细解析了从概念到实际操作的每一步，并探讨了数值稳定性问题。我们强调了主元选择（Partial Pivoting 和 Full Pivoting）对误差控制的重要性。 矩阵分解法的应用： 阐述了如何利用预先计算好的LU、QR或Cholesky分解来快速求解多个不同右侧向量 $b$ 的系统，体现了分解方法的“一次计算，多次使用”的效率优势。 迭代法（Iterative Methods）： 针对大规模稀疏或病态系统，迭代法是不可或缺的工具。本书系统地介绍了以下经典迭代方法： 雅可比（Jacobi）迭代法： 阐述其原理和收敛条件，并指出其计算上的并行潜力。 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法： 比较其与Jacobi法的收敛速度差异，并引入了局部超松弛（SOR）方法，详细分析了松弛因子 $omega$ 对收敛性的影响。 迭代法的理论分析： 引入了收敛半径和谱半径的概念，为判断迭代法的可行性提供了严格的数学依据。 求解线性最小二乘问题： 在实际应用中，超定系统（方程多于未知数）非常常见。本书专门开辟章节讲解最小二乘问题的解法： 正规方程（Normal Equations）： 介绍了通过最小化误差平方和导出的正规方程，但同时指出其可能导致的病态性问题。 基于QR分解的求解： 强调了QR分解方法在最小二乘问题求解中的数值优越性，并详细说明了如何利用增广矩阵或秩一修正来处理最小二乘问题的迭代改进。 第三部分：特征值问题的数值求解 特征值和特征向量的计算在动力学分析、量子力学和数据降维（如PCA）中至关重要。 非对称矩阵的特征值计算： 幂法（Power Iteration）： 用于寻找最大特征值及其对应特征向量，并讨论了其收敛速率和限制。 反幂法（Inverse Iteration）： 展示了如何通过求解线性系统来高效逼近特定特征值，特别是那些最接近给定估值的特征值。 QR 算法的基础： 系统地介绍了QR算法的迭代过程，包括如何通过一系列相似变换将矩阵转化为上Hessenberg形式，从而大幅加速后续的QR迭代过程。 对称矩阵的特征值计算： 由于对称矩阵的特殊性质（实特征值，正交特征向量），可以采用更稳定和高效的算法： 雅可比（Jacobi）平面旋转法： 详细阐述了利用平面旋转矩阵消除矩阵中的非对角元素，直至矩阵对角化的过程。 分治法（Divide and Conquer）： 介绍了基于矩阵分块的快速特征值求解策略。 病态性分析与精度控制 本书的最后部分强调了计算实践中的关键要素——矩阵的条件数。 条件数（Condition Number）： 详细定义了矩阵的条件数，并阐释了它如何量化输入数据微小变化对解的影响程度。高条件数（病态矩阵）的识别和处理是数值计算的重中之重。 误差传播与浮点运算： 简要回顾了计算机浮点数的表示和基本运算中的舍入误差，并将这些误差与算法本身的稳定性联系起来，指导读者选择更可靠的数值算法。 本书内容覆盖全面，理论与算法并重，旨在培养读者利用先进的数值方法解决复杂线性问题的能力。它不仅适用于线性代数、数值分析的本科生和研究生课程，也是相关工程技术人员的重要参考工具书。

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坦白说，我最初选择这本书，是冲着它名字中“Templates for the Solution”这个颇具操作性的表述去的。我期望它能提供一套系统化、可复用的方法论框架，而不仅仅是停留在理论的阐述层面。读完前几章，我发现这本书果然没有让我失望，它构建的逻辑框架异常坚固，仿佛一座座精确测绘的数学脚手架，可以支撑起各种复杂的实际应用场景。作者似乎非常擅长将抽象的数学概念，通过一系列精心设计的“模板”，转化为可以直接应用于工程或科学计算中的蓝图。这种从宏观理论到微观操作的无缝过渡，极大地提高了学习效率，让人感觉不是在被动接受知识，而是在主动构建一个强大的问题解决工具箱。对于那些需要快速将线性系统求解能力融入到日常工作流中的专业人士来说，这本书无疑是一把解锁复杂计算难题的金钥匙。

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如果用一个词来形容阅读这本书的感受，我会选择“沉浸式”。作者的叙事风格非常独特，它不像传统教科书那样干巴巴地陈述事实，而是用一种引导性的、富有启发性的口吻，带着读者一步步深入到线性代数问题的核心。每当引入一个新的概念或方法时，总会伴随着清晰的动机阐述和历史背景介绍，这使得学习过程充满了探索的乐趣。你会不自觉地进入一种心流状态，将书中的例子和思考与自己手头的问题联系起来。这种将理论与实践巧妙结合的教学法，极大地激发了读者的求知欲，让我感觉自己正在跟随一位经验丰富的导师进行深度研讨，而不是在独自面对一本冷冰冰的学术著作。

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这本书的价值，我认为很大程度上体现在它对“为什么”的解释上，而非仅仅是“怎么做”。很多教材会直接给出结论或公式，但这本书却花费了大量的篇幅去探讨这些求解方法产生的历史背景、它们在特定数学结构下的优势与局限性，以及它们是如何应对现实世界中数据带来的病态性和不确定性的。这种对底层原理的深刻挖掘，使得读者不仅仅学会了如何操作，更重要的是理解了这些操作背后的数学哲学。对于渴望真正掌握线性系统求解艺术，而不是满足于调用库函数的读者来说，这种深度的探究是无可替代的。它培养的是一种基于深刻理解的、灵活应变的解决问题的能力。

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这本书在对不同类型线性系统求解方法的深入剖析上，展现了惊人的广度和深度。它并未仅仅满足于介绍标准的直接法或迭代法，而是深入挖掘了这些方法的内在机制、收敛性分析，以及在特定数值环境下如何进行优化和调整。例如，它对稀疏矩阵系统的处理，不同预处理器的选择及其对求解速度的影响，都有着非常细致的探讨，这远远超出了我以往阅读的任何一本入门或进阶教材所能提供的细节层次。我特别欣赏作者那种不回避困难、直面数值稳定性和计算效率挑战的态度，每一个论述都建立在坚实的数学基础和丰富的计算经验之上，读起来让人感到既充实又踏实，仿佛每一页都在传授“内行”的经验。

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这本书的装帧设计着实让我眼前一亮，封面那深沉的墨蓝色调，配上烫金的细致字体，散发出一种古典而又严谨的气息。拿到手中，那种沉甸甸的质感，让人立刻感受到作者对内容编排的用心。内页纸张的选取也非常考究，光洁而不反光，即便是长时间阅读也不会让眼睛感到疲劳，这对于一本涉及复杂数学模型的书籍来说，简直是福音。排版上，作者显然花了不少心思，公式和文字的留白处理得恰到好处，使得那些密集的线性代数符号排列得井井有条，即便初次接触这类专业书籍，也能感受到一种清晰的逻辑脉络在其中流动。我想，光是这种对细节的关注，就足以说明作者对读者体验的尊重，让人对书中内容的深度和广度抱有极高的期待。翻开扉页，那份匠心独运的排版艺术，简直就像是为严谨的数学真理量身定制的舞台。

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