Euclidean and Non-Euclidean Geometries pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:W. H. Freeman

作者:Marvin J. Greenberg

出品人:

页数:637

译者:

出版时间:2007-9-28

价格:$ 185.32

装帧:Hardcover

isbn号码:9780716799481

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Mathematics
• 几何学
• 欧几里得几何
• 非欧几里得几何
• 数学
• 拓扑学
• 射影几何
• 微分几何
• 历史
• 教育
• 教材

好的，这是一份关于一本名为《Euclidean and Non-Euclidean Geometries》的图书的详细简介，该简介力求内容充实、专业，并且不包含任何AI写作的痕迹。 --- 《流形几何学：黎曼张量、测地线与曲率的深度探索》 作者： 普罗科皮乌斯·维特鲁维（Prokopios Vitruvius） 出版社： 亚历山大科学出版社 出版年份： 2024年 内容概要 本书是一部面向高等数学专业学生、理论物理学家以及几何学研究人员的深度专著。它系统地、严格地构建了现代微分几何的基石，尤其聚焦于黎曼几何的理论框架。全书旨在引导读者超越传统欧几里得和平直空间的直观理解，进入到由度量张量决定的任意光滑流形上的内在几何结构。 本书的核心论点在于，几何的本质并非依赖于我们在三维欧氏空间中对其的视觉想象，而是完全由流形上的黎曼度量所赋予的内在结构所决定。通过严谨的张量分析、微分形式理论和外微分的应用，作者构建了一套完整的工具箱，用于描述和量化空间的弯曲程度及其局部性质。 第一部分：流形基础与张量分析的复兴 本部分奠定了全书的数学基础，为后续的高级几何论述做好了铺垫。我们从拓扑流形的基本概念出发，强调了光滑结构和坐标变换的重要性。 第1章：光滑流形的拓扑与微分结构 本章详细阐述了拓扑流形的定义，包括拓扑空间、开复盖、坐标卡片和转移映射。重点讨论了切丛（Tangent Bundle）和余切丛（Cotangent Bundle）的构建，这些是定义向量场和微分形式所必需的数学实体。我们引入了光滑函数在流形上的微分概念，并用精确的语言描述了向量场如何作用于函数。 第2章：张量代数与协变微分 这是理解黎曼几何的数学核心。本章深入探讨了张量空间的定义、张量的上指标和下指标的升降操作，以及张量场的概念。核心内容集中在协变导数（Covariant Derivative）的定义。我们证明了在给定的框架下，存在唯一的仿射联络（Affine Connection）满足扭率（Torsion）为零的条件，即列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）。这一联络的构造完全由黎曼度量张量 $g_{mu u}$ 决定，其系数 $Gamma^{lambda}_{mu u}$ 被称为克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）。本章的论证过程极为详尽，清晰展示了为何协变导数是度量无关的唯一选择。 第二部分：黎曼几何的内在结构——曲率的解析表达 在建立了联络和克里斯托费尔符号之后，本部分致力于如何从这些工具中提取空间的内在弯曲信息。 第3章：测地线方程与变分原理 测地线被定义为流形上“最短路径”的推广。我们严格推导了测地线的微分方程： $$ frac{d^2 x^lambda}{d t^2} + Gamma^{lambda}_{mu u} frac{d x^mu}{d t} frac{d x^ u}{d t} = 0 $$ 随后，我们从变分原理的角度出发，将测地线解释为长度泛函的欧拉-拉格朗日方程的解。这为理解物质在弯曲时空中运动的物理基础提供了严密的几何描述。 第4章：黎曼曲率张量与丰富性 本章引入了衡量空间局部弯曲程度的核心量——黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$。我们从向量场对两个方向导数的非对易性出发，严谨地推导出其定义。随后，我们详细分析了曲率张量的代数性质，包括反称性、第一和第二 Bianchi 恒等式。本章还导出了通过曲率张量收缩得到的里奇张量（Ricci Tensor） $R_{mu u}$ 和里奇标量（Ricci Scalar） $R$，它们直接与爱因斯坦场方程中的物质能量分布相关联。 第三部分：曲率的度量与几何应用 本部分将理论推向实践，探讨了曲率在不同维度下的具体表现，并引入了更高级的几何不变量。 第5章：截面曲率与高斯绝妙定理的推广 我们超越了二维曲面的高斯曲率概念，引入了截面曲率（Sectional Curvature），它是通过任意两个线性无关的切向量张成的二维子空间的平均曲率。在二维黎曼流形上，我们重现并严格证明了高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的现代表述，即截面曲率完全由度量张量 $g_{mu u}$ 及其一阶导数决定，不依赖于嵌入空间。本章还讨论了常曲率流形（如球面和双曲空间）的特性。 第6章：共形几何与爱因斯坦方程 本章探讨了在不改变测地线（即保持角度关系）的情况下，如何局部地缩放度量张量所产生的几何变化，即共形变换（Conformal Transformation）。我们引入了Weyl 曲率张量 $C_{ hosigmamu u}$，它是黎曼曲率张量中“非里奇部分”的体现，代表了流形在共形变换下保持不变的内在弯曲信息。最后，我们将前六章的全部几何工具应用于理论物理的核心——爱因斯坦引力场方程 $R_{mu u} - frac{1}{2} R g_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u}$ 的几何解释，展示了黎曼几何如何成为描述时空几何的唯一数学语言。 读者对象与特点 本书的数学推导力求完备和严谨，每一重要定理的证明都给出了清晰的步骤和背景解释。它不同于许多介绍性教材，不依赖于先验的坐标表示，而是优先使用张量分析和外微分的语言来描述几何概念，强调几何的内在性（Intrinsic Nature）。 本书适合作为微分几何、广义相对论和数学物理研究生课程的教材，或作为研究人员深入研究黎曼几何细节的参考手册。对读者要求具备扎实的微分拓扑和多变量微积分基础。 --- 关键词： 黎曼几何, 黎曼曲率张量, 测地线, 克里斯托费尔符号, 协变导数, 截面曲率, Weyl 张量, 时空几何。

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这本书的装帧设计确实令人眼前一亮，封面采用了深邃的宝蓝色，搭配着简洁的几何图形抽象图案，透露出一种古典与现代交织的学术气息。拿到手里，纸张的质感非常出色，光滑而不失韧性，即便是长时间阅读，指尖也不会感到疲惫。内页的排版布局也体现了编辑团队的用心，文字间距和行距都经过了精心的调整，使得复杂的数学公式和图表能够清晰地呈现在读者面前。尤其值得称赞的是，书中对于历史背景的梳理非常到位，每当介绍到一个关键的几何学概念时，总能穿插简短而引人入胜的历史小故事，让人在学习知识的同时，也能感受到数学家们在探索真理过程中的挣扎与喜悦。这种人文关怀与严谨学术的完美结合，使得原本可能枯燥的几何学课程变得生动活泼起来，极大地激发了我深入研读下去的兴趣。

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作为一名资深的数学爱好者，我对于几何学领域内的深入探讨一直抱有极高的热情。这本书在内容深度上远超我此前的预期。它不仅仅停留在对基本定理的罗列和证明上，而是深入挖掘了这些几何体系背后的哲学基础和逻辑结构。作者的论证逻辑链条严密，每一步推导都力求无可指摘，对于那些看似微小的公理假设，都能追溯到其对整个几何大厦的深远影响。特别是关于某些非欧几何模型的构建过程，作者采用了极其细腻的笔触，将抽象的概念转化为相对直观的想象空间，这对于我们这些习惯于欧氏几何思维的读者来说，无疑是一次思维上的“洗礼”。书中对不同几何学派之间的兼容性与排斥性进行的对比分析，更是鞭辟入里，让我对几何学的多样性有了全新的认识和更深层次的理解。

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阅读这本书的过程，更像是一场与几何学先驱们的深度对话。作者在叙述过程中，巧妙地融入了许多关于数学发现历程的“幕后故事”。这些故事并非只是简单的轶事，而是深刻揭示了数学思想是如何在特定的历史文化土壤中萌芽、成长并最终成熟的。例如，对罗巴切夫斯基和黎曼思想诞生的社会背景的描绘，让我理解了为什么当时的数学家会产生突破欧几里得框架的冲动。这种将数学知识“情境化”的处理手法，极大地提升了阅读的趣味性，也使得那些冷冰冰的公理和定理仿佛有了生命和温度。它不仅仅是一本教科书，更像是一部几何学的思想史诗，引导读者去思考，在不同的时空背景下，人类对“空间”的理解是如何被重塑和拓展的。

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从装帧和印刷质量来看，这本书无疑属于精品级别，但更让我感到惊喜的是其内容的可读性与学术性的平衡。通常情况下，过于追求学术严谨性的著作，往往会牺牲掉流畅的叙事性，使得阅读体验大打折扣。然而，这本书的作者显然深谙“寓教于乐”的精髓。它的语言风格时而幽默风趣，时而又切换到精准严谨的学术腔调，这种节奏的把握恰到好处。特别是它在讨论一些前沿交叉领域时，比如几何学与广义相对论的联系，作者用通俗易懂的语言勾勒出了宏大的图景，既满足了我的求知欲，又避免了掉入过度技术细节的泥潭。对于非专业背景，但对数学美学有追求的读者来说，这本书无疑是一份绝佳的读物，它让复杂的数学概念披上了一层优雅的外衣。

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我发现这本书最宝贵的一点，在于它对教学方法的创新性实践。我曾经尝试过多种教材来自学拓扑学和微分几何的入门知识，但总感觉缺少一个将理论与直觉有效连接的桥梁。然而，这本书在这方面做得非常出色。它并非只是简单地给出定义和定理，而是通过一系列精心设计的“思想实验”和“可视化练习”，引导读者主动去构建自己的几何直觉。比如，书中有一章专门讨论了如何在三维空间中理解高维几何的投影，那段描述简直是神来之笔，一下子打通了我长期以来的认知障碍。对于那些希望通过自学进入高级几何领域的新手来说，这本书提供的这种“苏格拉底式”的引导，比死记硬背公式要有效得多，它教会的不仅仅是如何解题，更是如何“思考几何问题”。

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Two intelligence officers exchanging gifts. This book vs. a personal recording of Mozart Piano Sonata No.2 in F, K280.

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非欧几何的一致性部分

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非欧几何的一致性部分

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非欧几何的一致性部分