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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Eberlein, Ernst; Talagrand, M.; Hahn, Michel

出品人:

页数:348

译者:

出版时间:1998-3-20

价格:USD 189.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764358679

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 概率论
• 高维数据
• 统计学习
• 随机过程
• 数学
• 机器学习
• 理论统计
• 泛化能力
• 集中不等式
• 度量集中

《几何学与拓扑学前沿探索》 简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探索现代几何学与拓扑学领域中几个关键且富有活力的分支。内容聚焦于理论基础的构建、核心概念的阐释以及当前研究热点的前沿进展，特别关注黎曼几何、微分拓扑学、代数拓扑学的相互渗透与最新成果。本书的目标读者是具备扎实的微积分、线性代数和基础抽象代数知识的研究生、高年级本科生以及希望拓宽知识边界的数学工作者。 本书内容组织结构严谨，力求在保持数学严密性的同时，兼顾概念的直观理解。我们避免了对概率论或统计物理等相邻领域的直接引用或深入探讨，而是将全部精力集中于纯粹的几何与拓扑结构本身。 --- 第一部分：微分几何基础与黎曼流形 本部分从光滑流形的基本概念出发，逐步构建起理解弯曲空间所必需的数学框架。 第一章：光滑流形的结构与张量分析 详细讨论流形的拓扑基础，包括可微分结构、坐标图、转移映射的平滑性要求。重点建立张量场的概念，包括切丛、余切丛以及张量积的构造。我们引入指标符号约定，详细推导协变导数、黎曼度量张量 $g$ 的性质，并严格定义李导数，作为衡量向量场对某一几何结构影响的工具。内容涵盖了联络的定义及其唯一性——爱因斯坦联络的构造，并清晰区分了黎曼几何中不可或缺的不扭率条件。 第二章：曲率的几何诠释 曲率是描述空间弯曲程度的核心量。本章深入探讨曲率张量的定义及其分解。首先，介绍黎曼曲率张量 $R$ 的精确公式，并将其分解为里奇（Ricci）张量、里奇标量以及魏尔（Weyl）张量，清晰阐述了各部分在局部几何性质描述中的角色。里奇曲率被视为衡量体积变化的敏感指标，而魏尔曲率则捕捉了与共形（Conformal）结构相关的几何信息。 本章后续内容侧重于测地线（Geodesics）的研究。我们通过变分原理导出测地线方程，并分析测地线的存在性、唯一性及其焦点（Focal Points）的几何意义。重点讨论卡尔森定理（Cartan-Hadamard Theorem），阐述在零截面曲率或负截面曲率流形上的单连通性与测地线的行为模式。 第三章：黎曼几何中的等距与共形变换 等距（Isometries）是保持流形内在度量结构不变的自同构。本章分析等距群 $ ext{Isom}(M, g)$ 的性质，包括其作为一个李群的结构。我们详细讨论希尔伯特不动点定理在紧致流形上等距作用中的应用。 随后，深入探讨共形几何。定义共形等价关系，并引入共形结构。本章将重点分析共形联络、共形曲率张量，并阐述庞加莱度量在共形嵌入中的特殊地位。对于三维和四维流形，将详细分析外尔方程（Weyl Equations）在共形不变性分析中的作用。 --- 第二部分：微分拓扑学与流形上的分析 本部分从拓扑学的视角审视流形的性质，并引入分析工具来研究流形上的函数和微分形式。 第四章：流形上的微分形式与德拉姆上同调 本章聚焦于微分形式的代数结构及其在流形上的外微分运算。详细构造微分形式空间 $Omega^k(M)$，定义外积 $wedge$ 和外导数 $d$。建立德拉姆复形 $( Omega^(M), d )$，并严格证明 $d^2 = 0$。 核心内容是德拉姆上同调群 $H^k_{ ext{dR}}(M)$ 的定义。利用精确微分形式与闭微分形式的关系，解释上同调群如何度量流形上“洞”的结构。本书将详细推导德拉姆定理（在欧氏空间和复流形上的特例），阐明拓扑不变量与微分形式之间的深刻联系。 第五章：向量丛与纤维丛理论 向量丛是研究流形上局部结构差异的关键工具。本章从基础的拓扑定义出发，介绍截面、联络以及曲率在向量丛上的推广（如陈-西蒙斯联络）。 重点分析主丛和陪丛（Associated Bundles）之间的关系。详细讨论陈类（Chern Classes）的构造，特别是第一陈类 $c_1$ 和庞加莱对偶后的陈示类在描述流形拓扑性质（如霍普夫定理）中的作用。本书对规范场论的几何起源不作深入探讨，而是专注于陈类作为流形固有拓扑不变量的内在性质。 第六章：流形上的基本拓扑不变量 本章将微分几何工具应用于提取流形的拓扑信息。核心在于高斯-博内定理的推广形式，它将截面曲率的积分（局部几何量）与流形的拓扑特性（如欧拉示性数 $chi(M)$）联系起来。 随后，引入荷奇理论（Hodge Theory）的局部视角，解释流形上调和微分形式空间 $mathcal{H}^k(M)$ 的维度如何通过拉普拉斯算子 $Delta$ 的零空间来确定，并与德拉姆上同调联系起来。本书将简要提及阿蒂亚-辛格指标定理的几何背景，即分析椭圆算子指标与拓扑量之间的关系，但侧重于对欧氏空间上单连通流形中调和形式性质的直接推导。 --- 第三部分：代数拓扑学进阶概念 本部分转向更抽象的代数结构，专注于同伦群和同调理论的现代观点。 第七章：同伦群与纤维丛的精确序列 本章从拓扑空间的基本群 $pi_1(X)$ 出发，将其推广到高阶同伦群 $pi_n(X)$。重点讨论纤维丛的长正合序列（Long Exact Sequence of a Fibration），展示了如何通过考察底空间、纤维空间和总空间的同伦群之间的关系，来计算复杂的同伦群。 详细分析胡普夫纤维丛（Hopf Fibration $S^1 o S^3 o S^2$）的例子，利用其精确序列来计算 $S^3$ 的同伦群，以此为例说明长正合序列在计算中的强大威力。 第八章：奇异同调论与万有系数定理 本章引入奇异同调群 $H_n(X)$ 作为区分拓扑空间的主要代数工具。详细定义奇异单纯形、链复形和边界算子，并严格构造同调群。 重点阐述万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），揭示同调群与上同调群之间的代数关系，特别是挠系数（Torsion Coefficients）的几何意义。本章随后介绍辛涅-韦尔斯尼克序列（Singular/Wernicke Sequence），讨论如何利用单纯复形的边界信息来构建连续映射的同调诱导映射。 第九章：截面曲率零流形的拓扑性质 本章将纯粹的拓扑不变量与特定的几何约束相结合。在不引入随机性或统计过程的前提下，我们专门研究截面曲率恒为零的流形的拓扑结构。 这类流形本质上是局部欧几里得空间。我们将证明，在连通的零截面曲率流形上，测地线平行性的推广（即 $ abla$ 作用下的常数性）与流形的拓扑结构紧密相关。本章探讨了这类流形中覆盖映射的性质，以及由覆盖空间诱导的 $pi_1(M)$ 与欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 上的格点结构之间的关系，严格证明了它们在某些条件下是局部对称空间的子集，其拓扑特性可完全由其基本群和维度决定。 --- 结语 本书构建了一个完整的、以几何和拓扑结构为核心的研究路径，从光滑流形的微分结构到曲率的几何意义，再到高阶拓扑不变量的代数计算，全面覆盖了现代几何拓扑学的主流思想和方法。全书的论证严格遵循纯粹数学的范式，所有概念和定理的建立均围绕空间内在结构展开，与随机过程或概率模型无关。

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从一个长期在应用领域工作的角度来看，这本书的理论深度令人印象深刻，但坦白说，与实际工程应用的连接点需要读者自己去挖掘。它更侧重于“为什么”会发生，而不是“如何”在代码中实现。我尝试着将书中的某些不等式应用到我们日常处理的海量数据中，发现理论的优雅和现实世界的噪音之间存在着巨大的鸿沟。这本书的价值在于它提供了理解那些“黑箱”模型内在稳定性的数学框架，它让你知道，在你盲目依赖于某个强大的算法时，其背后的概率保证到底有多坚固。对于那些需要编写前沿算法并对其鲁棒性进行严格证明的研究人员来说，这本书无疑是宝贵的工具箱，但对于追求快速解决方案的工程师而言，可能需要配合其他更具应用导向的材料。

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这本书拿到手里的时候，那种厚重感就让人肃然起敬，纸张的质感也相当不错，翻开第一页，扑面而来的是密密麻麻的数学符号和公式，瞬间感觉自己进入了一个全新的世界。我本来以为自己对概率论多少有些了解，但这本书的内容深度远远超出了我的预期。它不是那种轻松的入门读物，更像是为那些已经有了扎实基础，渴望深入探索高维空间概率现象的专业人士准备的。章节的组织逻辑非常严谨，每一步的推导都清晰可见，但同时也需要读者投入大量的时间和精力去消化。我花了整整一个周末的时间，才勉强啃完了前几章，感觉大脑都在超负荷运转。对于那些想在统计学、机器学习或者金融工程领域深耕的人来说，这本书绝对是值得收藏的经典，只是学习曲线陡峭得令人望而生畏。

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这本书的叙事风格极其冷静和客观，几乎没有多余的阐述，所有的焦点都集中在数学原理的精确表达上。我特别欣赏作者在引入新概念时所展现的耐心，尽管过程艰涩，但每一步的铺垫都为最终的结论打下了坚实的基础。举个例子，当涉及到高维空间中的集中性原理时，作者没有简单地给出一个结论，而是通过一系列精心设计的思想实验和引理，逐步引导读者理解为什么在维度增加时，某些函数会表现出“坍缩”的特性。这种教学方式，虽然要求读者具备较高的抽象思维能力，但一旦你真正理解了背后的直觉，那种豁然开朗的感觉是其他教材难以比拟的。它更像是一部数学的史诗，记录了人类在理解随机性边界时的探索历程。

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这本书的排版设计是其一大亮点，虽然内容晦涩，但清晰的字体和合理的行间距，大大减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。作者似乎深谙数学文本阅读的痛苦，尽量将复杂的证明模块化，使得读者可以暂时跳出全局的复杂性，专注于眼前的细节。我特别喜欢它在某些关键定理后面附带的“历史背景”或“直觉解释”的小注——这些简短的旁白，就像是在漫长冰冷的证明中提供的一点暖意，提醒你这些冰冷的公式背后所蕴含的深刻洞察。虽然这些注脚篇幅不大，但它们对于构建完整的知识体系至关重要，避免了纯粹的机械记忆。

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总而言之，这本书是概率论领域的一座里程碑式的著作，它无疑为高维概率提供了一个权威性的参考点。它不是一本可以随便翻阅的“睡前读物”，它要求的是一种严肃的、近乎朝圣般的投入。我的书架上摆满了各种领域的专业书籍，但这本书无疑占据了一个独特的位置——它代表着对一个复杂数学领域的终极探索。阅读它，更像是一次对自身智力极限的挑战和拓宽。那些试图在现代数据科学的顶层设计上有所建树的人，最终都会发现，没有这座“高维概率”的灯塔指引，他们的理论大厦终将缺乏坚实的地基。这是一部需要被珍视和反复研读的经典。

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