A First Course in Differential Equations with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:PWS Pub. Co.

作者:Dennis G. Zill

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1988-01

价格:USD 52.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534915681

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 数学
• 应用数学
• 高等教育
• 工程数学
• 数学建模
• 科学计算
• 偏微分方程
• 教材

深度解析：现代数学物理中的张量分析与微分几何 导言：超越传统微积分的视野 本书旨在为读者提供一个深入而系统的框架，用以理解和应用现代数学物理，特别是广义相对论、微分几何和连续介质力学等领域的核心工具——张量分析与微分几何。我们认识到，许多初级课程在介绍微积分时，侧重于欧几里得空间中的向量和标量运算，但当问题涉及到弯曲时空、非线性物质本构关系或黎曼几何时，这些工具便显得捉襟见肘。本书的编写目标，正是弥补这一鸿沟，引导读者从基础的张量代数出发，逐步攀登至复杂的流形上的微分结构。 第一部分：张量代数——基础结构的建立 本部分奠定了整个分析大厦的基石。我们首先回顾并扩展了线性代数的概念，将其推广到更广阔的张量空间。 第一章：多线性映射与张量的定义 我们从对多线性形式（Multilinear Forms）的严格定义入手，阐明张量作为特定线性映射的本质。区分协变张量（Covariant Tensors，或称下指标张量）和反变张量（Contravariant Tensors，或称上指标张量）的物理和几何意义至关重要。协变张量描述的是“测量”或“形变梯度”这类依赖于基矢变化的量，而反变张量则描述“位移”或“速度”这类直接作用于空间方向的量。我们详细讨论了指标的升降运算，这依赖于度规张量（Metric Tensor），并解释了度规在确定几何结构中的核心作用。 第二章：指标表示法与运算规则 爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）是张量分析的标志性工具，我们对其进行详尽的介绍和严格的应用规范。本章着重于张量代数中的基本运算：张量的加法、缩并（Contraction）、张量的积（外积与内积），以及如何通过坐标变换来验证一个物理量是否是真正的张量——即其分量必须服从特定的变换律（张量变换律）。对于复杂的张量运算，如张量的对称化与反对称化，我们提供了详尽的例子，并展示了它们在描述特定物理现象（如应力张量与电磁场张量）中的不可替代性。 第二部分：微分几何的初步——在弯曲空间中求导 传统微积分的挑战在于，在非欧几里得空间中，一个向量在空间不同点的值不能直接相加或比较，因为“平行移动”的概念依赖于局部坐标系的选择。本部分引入了微分几何的核心工具，以克服这一障碍。 第三章：曲线与曲面的几何 在进入抽象的流形之前，我们首先通过研究三维欧几里得空间中的曲线和曲面来建立直观理解。我们引入了自然参数化、挠率（Torsion）和曲率（Curvature）的概念，并推导了弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式。对于曲面，我们详细分析了第一、第二基本形式，并定义了主曲率、高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature），这些是衡量曲面内在几何性质的关键不变量。 第四章：协变导数与联络 这是本书中数学上最关键的一步。我们探讨了为什么普通的方向导数在弯曲空间中不适用。我们引入了联络（Connection）的概念，它定义了“如何将一个点上的切向量平行移动到邻近点”。在黎曼几何的背景下，我们聚焦于列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），它唯一地由度规张量确定，并保证了无挠性（Torsion-free）和度规相容性（Metric Compatibility）。协变导数（Covariant Derivative）的引入，使得我们可以在弯曲空间中对张量进行一致的微分运算，从而定义真正的“场梯度”。 第五章：测地线与曲率张量 测地线是弯曲空间中的“直线”——两点之间最短（或最长）的路径。我们通过变分原理推导了测地线方程，并讨论了其在经典力学（如牛顿引力中的轨道运动）中的体现。在此基础上，我们构建了描述空间弯曲程度的终极工具：黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。我们详细剖析了黎曼张量的四个指标，展示了它如何通过计算两个不同路径的平行移动的差异来量化空间的非平直性。随后，我们推导了里奇张量（Ricci Tensor）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），它们是连接几何与物理场（如爱因斯坦场方程）的桥梁。 第三部分：应用与拓展——张量在物理场中的实现 本部分将理论工具应用于具体的物理场景，展示张量分析的强大威力。 第六章：流体动力学与连续介质力学中的张量描述 在描述物质形变时，我们必须使用张量。我们详细讨论了应变率张量（Rate-of-Strain Tensor）和应力张量（Stress Tensor）的框架。针对不可压缩和可压缩流体，我们引入了牛顿流体（Newtonian Fluid）和非牛顿流体（Non-Newtonian Fluid）的本构方程，展示了粘性张量如何通过协变导数与流速梯度联系起来。这些方程的张量形式确保了它们在任何坐标系下都保持形式上的不变性。 第七章：狭义相对论中的张量形式化 本书回顾了狭义相对论的洛伦兹不变性，并将其提升到张量框架下。我们定义了闵可夫斯基度规，并用四维时空中的四维矢量（如四维位置、四维速度和四维动量）来简洁地表达能量、动量和质量的关系。电磁场被统一表示为二阶反对称的电磁场张量 $F^{mu u}$，这使得麦克斯韦方程组得以在简洁的张量形式下表达，清晰地揭示了其洛伦兹协变性。 第八章：广义相对论的几何基础 我们将前述的微分几何工具直接应用于爱因斯坦的广义相对论。我们探讨了度规张量 $g_{mu u}$ 如何扮演引力势的角色，而爱因斯坦场方程——将物质能量（里奇张量 $R_{mu u}$ 和物质-能量张量 $T_{mu u}$ 联系起来的方程——是如何建立在里奇张量和标量曲率之上的。我们分析了引力场方程的张量形式，理解为什么物质的分布决定了时空的几何形状，而时空的几何形状又反过来决定了物质的运动路径（测地线）。 结论：从坐标到几何的飞跃 本书的完成，标志着读者已经掌握了从传统微积分到现代微分几何的过渡。张量分析不仅仅是一种更复杂的记号系统，它代表了一种深刻的物理思维方式——关注那些独立于观测者选择的内在几何属性。通过对协变导数、联络和曲率的深入理解，读者将能够自信地处理涉及弯曲时空或复杂连续介质的任何前沿物理问题。 --- 适用读者对象： 物理学、应用数学、工程力学专业的高年级本科生和研究生。本书假设读者已具备扎实的微积分和线性代数基础。

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坦率地说，这本书的排版和字体选择，初看起来确实不那么“现代”，但一旦沉浸到内容中，你就会发现它的价值远超表象。这本书的深度和广度都令人印象深刻，它不仅仅是一本纯粹的解题手册，更像是一位经验丰富的老教授在与你进行一对一的深度对话。我特别喜欢作者在处理高阶常微分方程组时的那种细腻处理。他没有简单地罗列求解矩阵指数的方法，而是花了大量的篇幅去解释为什么特征值和特征向量在这种问题中扮演了核心角色，并且细致地比较了不同方法的优缺点和适用范围。书中的习题设计也极具匠心，从基础的计算题到需要融会贯通才能解出的综合题，难度梯度设置得非常合理。我记得有一道关于振动阻尼系统的题目，需要结合前几章关于拉普拉斯变换的知识才能完美求解，那种豁然开朗的感觉，是其他很多教材无法给予的。阅读这本书的过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼作者对于某个概念的精妙总结，这些总结往往是多年教学经验的结晶，极具概括性和启发性。它教会我的，不仅仅是如何求解方程，更是一种严谨的数学思维方式。

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这本书的行文风格非常**克制而精确**，没有多余的华丽辞藻，每一个句子都像经过精密计算的数学表达式一样，直指核心。在我接触过的所有微积分和微分方程教材中，这本书对偏微分方程（PDE）部分的介绍，是我认为处理得最到位的一个。作者非常巧妙地平衡了理论的严谨性和初学者的接受度。在引入热传导方程和波动方程时，他没有直接跳到复杂的傅里叶级数展开，而是先从最简单的边界条件和初始条件入手，逐步引导读者理解分离变量法的威力。对于那些涉及到分离变量法中需要求解特征值问题的部分，作者的讲解细致入微，清晰地展示了如何通过正交函数的性质来确定系数，避免了许多初学者常犯的代数错误。我个人认为，这本书的价值在于它对“应用”的重视程度。它展示了如何将微分方程模型应用到流体力学、热力学甚至生物种群动态中去，让你深刻理解为何我们要花费如此大力气去学习这些看似枯燥的数学工具。读完这本书，你不会觉得你在浪费时间，反而会觉得时间投入得非常值得。

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这本书最大的魅力在于它的**完整性和体系感**，它仿佛是一部微积分知识体系的完美收官之作。从最基本的概念回顾到拉普拉斯变换的灵活运用，再到偏微分方程的初步探索，所有的知识点都以一种非常流畅且逻辑严密的方式串联起来。我发现，当我遇到其他参考书上晦涩难懂的定义时，我总能回到这本书中找到一个更清晰、更基础的解释。作者在处理积分和收敛性证明时，展现出一种近乎完美的数学严谨性，但这丝毫没有牺牲可读性。他总能找到一个恰到好处的平衡点，既满足了数学专业的深度要求，又不至于让工科或理科其他专业的学生望而却步。我特别推荐这本书给那些对“为什么”比对“怎么做”更感兴趣的读者。它不仅告诉你如何解一个特定的微分方程，更重要的是，它让你理解这个解背后的数学原理和物理意义。这本书是我书架上被翻阅次数最多的参考书之一，每一次重读，都能发现新的理解层次。

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这本书的封面设计得非常朴实，甚至有些过时了，让人一眼就能看出这是一本经典的数学教材。我当初抱着尝试的心态翻开了它，没想到第一章就给了我一个很大的惊喜。作者在讲解微分方程的基本概念时，没有急于抛出复杂的公式，而是通过一些非常贴近实际生活的例子，比如人口增长模型、电路分析中的电流变化等，将抽象的数学理论具象化了。这种“先入脑，再入心”的教学方式，让那些原本觉得微分方程晦涩难懂的知识点，变得生动起来。特别是关于一阶线性微分方程的求解过程，作者的推导步骤详尽得令人感动，每一步的逻辑转换都标注得清清楚楚，即便是初次接触这个领域的学生，也能毫不费力地跟上思路。我特别欣赏作者在章节末尾设置的“应用案例分析”部分，那些深入的案例探讨，让我真切体会到数学并非空中楼阁，而是解决现实世界难题的利器。这本书的配图质量也很高，那些清晰的函数图像和物理模型的示意图，极大地辅助了我的空间想象能力，使我能更直观地理解解的几何意义。整体而言，这本书为我打下了非常坚实的基础，让我对后续更高级的课程充满了信心。

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我必须承认，这本书在某些章节的难度跨度确实有些大，对那些基础不够扎实的读者来说，可能需要多次阅读才能完全掌握。尤其是涉及级数解法和特殊函数（如贝塞尔函数和勒让德多项式）的部分，作者的讲解略显“跳跃”，可能需要读者辅助查阅一些高等代数或复变函数的基础知识来弥补背景的不足。然而，正是这种挑战性，使得这本书在业内获得了很高的声誉。它不是那种“保姆式”教学的书籍，它要求读者主动思考，去填补知识链条上的空白。我最欣赏它的一点是，它对于数值解法的介绍非常务实。它不仅介绍了欧拉法和龙格-库塔法这类经典算法的原理，还深入探讨了它们在计算机实现时可能遇到的收敛性和稳定性问题。这种理论与实践紧密结合的方式，对于希望未来从事工程计算或科学建模的学生来说，是无价的知识财富。这本书虽然老派，但其内在的学术骨架极其健壮，值得反复研读。

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