Outer Billiards on Kites (Annals of Mathematics Studies) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Richard Evan Schwartz

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2009-10-20

价格:USD 45.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691142494

丛书系列:Annals of Mathematics Studies

图书标签:

• 数学
• 数学
• 动力系统
• 几何学
• 双曲空间
• 外场台球
• Kite动力学
• Annals of Mathematics Studies
• 拓扑学
• 微分几何
• 离散动力系统

好的，这是一份关于一本假设名为《曲面上的台球运动研究：经典力学与几何光学的新视角》的图书简介，其内容完全独立于您提到的《Outer Billiards on Kites (Annals of Mathematics Studies)》。 --- 图书简介：《曲面上的台球运动研究：经典力学与几何光学的新视角》 作者： [此处填写虚构作者名，例如：林逸凡、张子谦] 出版社： [此处填写虚构出版社名，例如：恒星数学与物理出版社] 深入探索：从经典力学到黎曼几何的桥梁 《曲面上的台球运动研究：经典力学与几何光学的新视角》是一部立足于经典物理学基础，却以前沿数学工具深入剖析系统动力学本质的专著。本书聚焦于在非欧几里得曲面上进行的台球（或更广义的弹跳）运动的轨迹分析。我们跳脱出二维平面上的“比尔亚兹”（Billiards）模型，将研究领域拓展至具有内在曲率的表面，这些表面可以是球体、环面、乃至更复杂的黎曼流形。 本书的核心贡献在于系统地建立了一套将几何光学原理与牛顿力学定律相结合的分析框架。通过引入测地线偏离率、曲率对反射角的影响以及系统的辛结构保持性，我们旨在揭示曲面上弹跳运动的长期行为、周期性与混沌特性。 --- 第一部分：基础回顾与曲面动力学的建立 (Foundation and Framework) 本部分为后续深入研究奠定坚实的数学和物理基础。 第1章：平面比尔亚兹的再审视与推广 我们首先简要回顾了平面比尔亚兹运动的经典理论，重点关注其相空间结构、辛积分以及Poincaré截面的应用。随后，引入了从平面到曲面的过渡——如何将标准的反射定律（入射角等于反射角）推广到具有规范场或度量的曲面之上。我们详细讨论了在特定曲面上，例如旋转对称曲面和可展曲面（如圆柱面、锥面）上，能量守恒与角动量守恒的对应物。 第2章：测地线几何与运动方程 测地线是曲面上“最短路径”，它构成了无碰撞弹跳运动的自然路径。本章深入探讨了黎曼流形上的测地线方程。我们利用拉格朗日力学框架推导出在曲面上，一个自由粒子（即台球）的运动方程。关键在于如何处理速度向量在切空间上的演化，以及如何通过切线束上的 Hamiltonian 来描述系统的演化。 第3章：反射的几何光学处理 弹跳本身是系统中的非光滑交互事件。本章从几何光学的角度处理反射。我们引入了法向单位向量场和曲面张量，精确描述了反射瞬间动量在切空间中的投影与转换。重点分析了在具有恒定高斯曲率的表面上，反射的稳定性与能量耗散（在理论模型中通常忽略能量耗散，但强调动量结构的非线性变化）。 --- 第二部分：特定曲面上的动力学分析 (Dynamics on Specific Manifolds) 本部分将理论应用于具有明确几何结构的曲面，展示复杂动力学现象的出现。 第4章：球体上的台球：球面几何的挑战 在单位球面上研究台球运动，是一个结合了球面三角学与动力学的经典问题。我们分析了穿过球心和平行于赤道的轨道。一个核心议题是球面上的“双曲”效应：曲率如何使原本平行的轨道快速发散。我们展示了如何利用球面上的辛积分和椭圆函数来描述周期性轨道。 第5章：环面与二次曲面上的准周期性 环面 $mathbb{T}^2$ 提供了理解准周期运动的理想模型。我们分析了在环面上的弹跳，将其等价地转化为在展开的平面上，考虑边界周期性的运动。本章着重于如何利用扭曲的边界条件来描述环面上弹跳的复杂性，并将其与二维Donut比尔亚兹进行对比。 第6章：高斯曲率对混沌的影响 本章是本书的理论高潮之一。我们研究了高斯曲率（Gaussian Curvature）如何在局部影响系统的稳定性。我们引入了Jacobi场与测地线偏离率（Geodesic Deviation）的概念，证明了在曲率非零的区域，即使初始条件微小差异，系统也倾向于指数发散，从而加速了混沌行为的出现。具体案例分析了椭圆抛物面和双曲抛物面上的运动。 --- 第三部分：拓扑、不变式与长期行为 (Topology, Invariants, and Long-Term Behavior) 本部分将视野提升至拓扑学和遍历理论的高度，研究系统的长期可预测性。 第7章：辛结构与体积保持性 在保守系统中，相空间的体积（或在规范化后的李维尔体积）必须保持不变。本章严谨地证明了在光滑曲面上的台球运动，只要不跨越奇点或边界，其演化流保持了哈密顿系统的时间可逆性和辛结构。我们讨论了如何在曲率影响下，保持相空间测度的不变性。 第8章：奇点与穿孔：拓扑效应 曲面上的台球运动常常受到拓扑结构的限制。我们分析了具有“孔洞”或“边界”的流形上的运动。例如，在带有环形边界的表面上，如何处理轨道“逃逸”或被边界吸收的问题。本章还探讨了当台球撞击曲率奇异点（如锥形的尖端）时，反射规则如何通过局部坐标系的变换得以修正。 第9章：遍历性与测度理论的应用 对于非周期性的运动，遍历理论提供了描述系统长期密度的工具。我们探讨了在特定曲面上，台球运动是否能遍历其能量面。通过引入 Patterson 测度（Patterson Measure）的概念，我们分析了系统中哪些区域的轨道密度最大，以及这些轨道是否最终填满了整个切线束空间。 --- 总结与展望 《曲面上的台球运动研究：经典力学与几何光学的新视角》超越了传统比尔亚兹研究的平面限制，为物理学家、几何学家和应用数学家提供了一个统一的平台，用以理解在弯曲时空中，粒子的基本反射动力学。本书材料深入且富有挑战性，适合具有扎实微分几何和经典力学背景的研究人员和高年级研究生。我们相信，对曲面上弹跳运动的深入理解，不仅能深化我们对混沌动力学的认知，也将为未来在非欧几里得介质中的波传播和光线追踪问题提供重要的数学工具。 --- 关键词： 测地线、黎曼几何、辛动力学、高斯曲率、几何光学、混沌系统、球面运动、哈密顿系统。

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仅仅是看到这本书的封面设计，就足以点燃我内心对纯粹数学探索的渴望。那简洁而富有力量的排版，搭配着“Outer Billiards on Kites”这样充满数学韵味的标题，暗示着这是一部关于深入挖掘几何动力学奥秘的著作。我尤其对“Outer Billiards”这个概念感到着迷，它突破了我们对传统台球运动的认知，将焦点放在了物体与边界的“外围”相互作用，这本身就蕴含着一种独特的数学视角。而“Kites”，这种在我们孩提时代就已熟悉的几何形状，一旦被置于动力学系统的框架下，其隐藏的复杂性和美感必然会得到淋漓尽致的展现。我猜想，书中会涉及到大量的迭代过程、轨道分析，以及可能存在的不可预测性。更何况，它是“Annals of Mathematics Studies”系列的一员，这意味着它必定是经过了严格的同行评审，内容精炼且具有里程碑意义。我渴望通过这本书，去理解数学家们是如何在看似简单的几何场景中，发现如此深刻的数学规律。

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作为一名对数学抽象概念情有独钟的爱好者，这本书的书名《Outer Billiards on Kites (Annals of Mathematics Studies)》就如同一道数学谜语，激起了我强烈的好奇心。我并非专业的数学家，但对于那些能够将几何、动力学和拓扑学巧妙融合的课题，我总是充满兴趣。想象中的“Outer Billiards”，即在图形外部进行的台球运动，与“Kites”（风筝形）这种非凸的几何形状相结合，必然会产生极为丰富和出乎意料的动力学行为。我预计这本书会深入探讨这些系统的长期行为、吸引子、以及可能存在的混沌现象。或许，它还会涉及一些与数论或代数几何的深刻联系，毕竟，许多几何问题最终都会归结到代数的语言。我期待书中会有大量的图示和可视化，帮助我理解那些复杂的数学构造。更重要的是，我希望这本书能为我提供一个观察和理解复杂动力学系统的新视角，即使我的理解可能只是皮毛，但能够触碰到数学前沿的脉搏，已然足够令人兴奋。

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这本书的标题，无疑是我在书店里驻足的起点。坦白说，“Outer Billiards on Kites”这样的组合，第一眼看上去就充满了挑战性和独特性。它并非那种一眼就能望穿其内容的教科书，而是那种需要你静下心来，一点点去啃、去品的“硬菜”。我是一个对数学理论的应用性充满兴趣的读者，所以，“Billiards”这个词立刻引起了我的注意，因为它让人联想到动态的系统和演化过程。而“Kites”，这种形状特殊的几何体，又为这个动态过程增添了非线性和不规则的色彩，这无疑会带来更加复杂而有趣的数学现象。我预想这本书中会充斥着精密的证明、巧妙的构造，以及一些令人拍案叫绝的数学洞见。我甚至可以想象到，作者们是如何将抽象的数学概念，用严谨的语言和符号勾勒出来的。更何况，它属于“Annals of Mathematics Studies”这个系列，这本身就是质量的保证。我期待它能为我打开一个全新的研究领域，或者至少，能让我对现有的数学知识有一个更深层次的理解。这本书，对我来说，是一次智力上的冒险，一次对数学边界的探测。

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这本书的光辉封面，在我的书架上就如同一颗沉睡的宝石，散发着一种数学的神秘光芒，让我对它充满了好奇与期待。虽然我对“Outer Billiards”和“Kites”这两个词在数学语境下的确切含义还处于懵懂状态，但这恰恰是吸引我的地方——数学的魅力往往就隐藏在那些看似晦涩却又引人入胜的概念之中。想象一下，在无限的空间里，一个不规则的几何图形，而我们扮演着一位“外围的台球手”，用想象中的球沿着图形的边界进行无数次的反射，这个场景本身就充满了诗意和哲学的思考。更何况，这套“Annals of Mathematics Studies”系列本身就以其严谨与深刻著称，每一本都代表着数学前沿的智慧结晶。我甚至能够想象到，当翻开这本书的扉页，扑面而来的不是枯燥的公式，而是一种对数学美学全新的探索旅程。我渴望理解那些隐藏在几何运动背后的深刻规律，期待它能像一扇窗户，让我窥见数学世界的另一番景象，或许是关于混沌、关于迭代，亦或是关于隐藏的对称性。这本书不仅仅是一本学术著作，对我而言，它更像是一份邀请，邀请我去挑战自己的认知边界，去探索那些尚未被完全理解的数学奇观。

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这本书的书名，如同一串神秘的密码，在我脑海中勾勒出一幅幅关于抽象几何与动态演化的画面。我并非数学领域的专家，但对于那些能够将直观概念推向极致的数学分支，我总是充满敬意。想象一下，在无限的空间中，一个风筝形状的边界，而我们扮演着一个“外围的”台球手，不断地将球沿着边界反射，追踪其运动轨迹。这本身就是一个极富想象力的数学实验。我期待在这本书中，能够深入了解这种“外围台球”运动在非凸几何体上的独特表现，或许会发现一些与凸体情况截然不同的复杂行为。我好奇作者们是如何用严谨的数学语言描述这些动态过程，又是如何揭示其中隐藏的模式和规律。更重要的是，我希望这本书能够激发我对于数学研究的兴趣，让我看到数学如何能够如此精妙地捕捉和分析自然界及抽象世界中的运动与变化。这本书，对我来说，是一扇通往数学深邃世界的大门，充满了未知与惊喜。

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