An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Arlen Brown

出品人:

页数:307

译者:

出版时间:1994-12-16

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387943695

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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深入解析现代数学分析的基石 书名：《微积分的严谨基础：从实数系统到泛函分析的桥梁》 作者： [虚构作者姓名，例如：艾伦·R·麦克道尔] 出版社： [虚构出版社名称，例如：先驱学术出版社] --- 内容概述：构建分析学的坚实框架 本书旨在为高年级本科生和研究生提供一个全面、严谨且富有洞察力的现代数学分析导论。它不仅仅是对微积分概念的简单重复，而是深入探究支撑这些概念的深层逻辑结构、拓扑性质以及极限背后的精确定义。全书的叙事主线围绕着从最基本的实数系统出发，逐步构建起实分析、度量空间理论，并最终触及泛函分析的初步门槛。 本书的独特之处在于其对“严谨性”的坚定承诺，同时又不失对直觉和几何理解的引导。我们坚信，只有扎实的理论基础才能支撑起对复杂数学对象的有效处理。 第一部分：实数系统的逻辑基石 (The Logical Foundation of the Real Number System) 本部分是全书的起点，我们花费大量篇幅来构建和检验我们日常依赖的实数系统 $(mathbb{R})$ 的严格定义。 第一章：集合论与逻辑预备 尽管我们假设读者具备基本的集合论知识，但本章仍将聚焦于构建分析学所需的特定工具：良序原理、良序归纳法、以及对皮亚诺公理的简要回顾。重点在于建立严格的证明结构，如反证法、对立命题的精确表述。 第二章：自然数与整数的构造 从集合论的视角出发，使用集合的并和交来定义自然数集 $mathbb{N}$。我们随后通过构造有序对来定义整数集 $mathbb{Z}$。此处的关键是展示如何从最原始的集合概念推导出加法和乘法的结合律、分配律等基本代数性质，而无需依赖事先的“直觉”。 第三章：有理数与实数的完备性 本章是理解分析学核心的关键。我们首先定义有理数集 $mathbb{Q}$。随后，我们将引入两种主要的实数构造方法： 1. 戴德金分割 (Dedekind Cuts)： 详细阐述如何用 $mathbb{Q}$ 的两个子集来定义一个实数，并证明这种构造满足“完备性公理”（即：任何非空、有上界的 $mathbb{Q}$ 的子集都有上确界在 $mathbb{R}$ 中）。 2. 柯西序列构造： 引入 $mathbb{Q}$ 上的柯西序列，并证明其收敛的极限构成了 $mathbb{R}$。 最后，本章将聚焦于阿基米德性质和密度性的严格证明，这些性质是后续极限理论的基石。 第二部分：一元函数序列与拓扑入门 (Sequences, Series, and Preliminary Topology) 在稳固了实数系统之后，本部分开始应用这些工具研究函数的局部行为，并引入必要的拓扑概念。 第四章：序列的极限与收敛 严格定义 $epsilon-N$ 语言，并将其作为衡量收敛性的唯一标准。我们将深入探讨： 子序列收敛性： 证明有界序列必存在收敛子序列（Bolzano-Weierstrass 定理的初步应用）。 柯西序列： 证明在 $mathbb{R}$ 中，序列收敛等价于它是柯西序列。 单调收敛定理与双向逼近原理。 第五章：级数与绝对收敛 讨论无穷级数的收敛性，引入比较判别法、比值判别法、根值判别法。重点分析交错级数的条件收敛性，并详细探讨黎曼级数定理的深刻含义——即改变求和顺序如何改变结果。 第六章：连续性与紧致性 本章是迈向拓扑学的第一步。 1. 拓扑基础： 在 $mathbb{R}$ 上定义开集、闭集、邻域的概念。 2. 函数连续性： 采用 $epsilon-delta$ 的语言定义连续函数。随后，讨论一致连续性，并证明连续函数在紧致集上的性质。 3. 紧致集的本质： 引入 Heine-Borel 定理，并从其出发证明了闭区间上的连续函数必有最大值和最小值（Extreme Value Theorem），以及一致连续性定理。 第三部分：微积分的严谨重构 (The Rigorous Reconstruction of Calculus) 本部分将微积分从“计算”提升到“理论”层面，为多变量微积分和微分方程奠定基础。 第七章：导数的定义与性质 严格定义导数，并证明微分的代数性质（乘法法则、链式法则）。重点探讨导数的几何意义与中值定理： Rolle 定理与均值定理 (Mean Value Theorem)： 它们的严格证明及其在证明不等式中的应用。 L'Hôpital 法则： 基于均值定理的严格推导。 第八章：黎曼积分 (The Riemann Integral) 这是本书最精细的部分之一。我们详细构建黎曼上和与下和，并严格定义黎曼可积的充要条件：函数在有界区间上可积，当且仅当其不连续点的集合是可测集的（Lebesgue 测度为零）。 第九章：微积分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus) 我们分两部分阐述 F.T.C.： 1. 第一基本定理： 证明一个可积函数的积分函数是连续的，并推导其导数关系。 2. 第二基本定理： 证明一个具有反导数的函数的定积分的计算方法。 本章还包括对反常积分 (Improper Integrals) 的收敛性分析。 第四部分：多变量分析的引子 (Introduction to Multivariable Analysis) 本部分将分析的概念从一维扩展到高维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，为更高级的场论和几何分析做准备。 第十章：$mathbb{R}^n$ 上的拓扑与序列 将开集、闭集、紧致性的概念自然推广到 $mathbb{R}^n$。引入范数和度量，证明所有范数在有限维空间中是等价的。讨论 $mathbb{R}^n$ 中序列的收敛性（坐标分量收敛）。 第十一章：偏导数与方向导数 定义偏导数和方向导数。关键在于区分偏可微性和全微分性 (Differentiability)。我们将通过反例说明偏可微性并不能保证函数连续或可微。 第十二章：多元函数的微分与链式法则 严格定义多元函数的导数（雅可比矩阵）。本章的重头戏是多元链式法则的精确表述和证明，这对于理解梯度和偏微分方程至关重要。最后，我们将利用这些工具初步探讨极值问题（利用海森矩阵进行二阶判别）。 总结与展望 本书以严谨的逻辑结构和清晰的论证过程，为读者搭建了从实数公理到基础多元微积分的完整阶梯。后续的学习者可以基于此坚实基础，无缝过渡到勒贝格积分、傅里叶分析或更专业的拓扑学与泛函分析领域。本书的每一个定理和推论都伴随着详尽的证明和直观的几何解释，旨在培养读者独立进行数学发现与验证的能力。

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这本书，名为《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》，我刚拿到手，就被它厚重的封面和书脊上“Graduate Texts in Mathematics”的字样所震撼。一看这书就知道不是泛泛之辈，必定是数学领域里的一部硬核著作。我虽非数学专业出身，但对数学的逻辑美和严谨性一直抱有浓厚的兴趣。这本书的标题“Introduction to Analysis”让我对接下来的阅读充满了期待，我想它应该会带领我进入一个全新的数学世界，探索那些关于极限、连续、收敛等看似抽象却又深刻影响着我们理解世界本质的概念。我设想，这本书的讲解方式会是循序渐进的，从基础的实数系统开始，逐步构建起实分析的大厦。每一个定义、每一个定理、每一个证明，想必都经过了深思熟虑，力求清晰明了，又不失数学的严谨性。我特别希望书中能包含一些引人入胜的例子，能够将抽象的数学理论与具体的现象联系起来，让我这个非专业读者也能感受到分析学的魅力。同时，“Graduate Texts in Mathematics”这个系列，通常意味着其内容会比较深入，适合研究生或者对数学有深入研究需求的人。这意味着我可能需要花费相当长的时间去消化和理解，但这正是学习的乐趣所在，不是吗？我期待着这本书能成为我探索数学奥秘的一把钥匙，引领我领略分析学的风采。

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在众多数学教材中，《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》这本书给我留下了深刻的印象。作为一名在数学领域探索的学生，我一直在寻找一本能够系统性地介绍分析学核心概念的著作，而这本书的名字恰好契合了我的需求。我设想，这本书的编排会非常有条理，从最基本的实数公理体系出发，逐步构建起分析学的大厦。从数列的收敛性，到函数的连续性，再到导数和积分的定义及其性质，每一个章节想必都会层层递进，逻辑严密。我特别期待书中能够深入探讨诸如“ε-δ语言”这样的基础概念，因为我知道这是理解分析学严谨性的关键。同时，我也希望能从中看到一些经典的定理，比如介值定理、极值定理等等，并且作者会提供详尽的证明，让我能够透彻理解其背后的数学思想。对于非专业背景但对数学有浓厚兴趣的读者而言，一本好的分析学入门书，除了严谨的理论，还需要清晰易懂的解释和生动的例子。《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》是否能做到这一点，我抱有极大的期待。我希望它能不仅是一本教科书，更能成为一个激发我深入研究数学的热情之源。

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这本《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》给我的第一印象是，它是一部充满挑战但同时又极其 rewarding 的作品。我是一名对数学怀有强烈热情，但可能在某些基础概念上略显薄弱的学生。这本书的出现，恰好能填补我知识体系中的某些空白。我了解到，分析学是数学的核心分支之一，它涉及微积分、测度论、拓扑学等多个领域，而这本书的“Introduction”字样，预示着它将以一种相对系统和全面的方式来介绍这些内容。我设想，作者在编写这本书时，一定精心设计了课程的逻辑结构，从最基本、最直观的实数性质出发，逐步深入到更复杂的概念，比如序列的收敛、函数的连续性、导数与积分的定义及其性质等等。我希望书中不仅会给出定理的陈述，更会提供严谨的证明过程，让我能够理解这些结论是如何一步步推导出来的，从而培养我的数学思维能力。同时，我也期待书中能够出现一些经典的应用案例，展示分析学在物理学、工程学、经济学等领域的重要作用，这样可以让我更好地理解数学的价值和意义。虽然我知道这本书的难度不小，但我相信，通过认真研读，我一定能从中获益匪浅，为我未来的学术研究打下坚实的基础。

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手持《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》这本书，我感受到了一种学术的庄重感。作为一名正在攻读数学相关专业的学生，我对数学分析的严谨性和抽象性早有体会，也深知理解这一领域的精髓对于未来学习的重要性。这本书的厚度和其所属的“Graduate Texts in Mathematics”系列，无疑预示着它是一部具有相当深度和学术价值的作品。我期望这本书的叙述风格会是非常专业的，每一个定义都会精确无误，每一个定理的证明都会滴水不漏。我想象中，它会从最基础的实数性质开始，系统地介绍序列、函数、极限、连续性、导数、积分等核心概念，并且会非常注重概念之间的内在联系和逻辑推理。我希望作者能够巧妙地设计出能够引导读者思考的例题，而不是仅仅罗列证明，这样可以帮助我更好地掌握分析学的精髓，培养我独立思考和解决问题的能力。对于数学的学习者来说，一本好的分析学教材，不仅要教授知识，更要传递数学的思维方式。《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》这本书，我期待它能够成为我理解和掌握数学分析这门学科的重要工具，并且能够在我未来的数学探索道路上，为我提供坚实的理论基础和深刻的数学启迪。

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我选择阅读《An Introduction to Analysis (Graduate Texts in Mathematics)》这本书，主要是出于对数学严谨性和逻辑性的一种向往。我一直认为，数学中最令人着迷的部分，就在于它能够用一套精确的语言和规则，来描述和解释我们周围的世界。而分析学，更是将这种描述推向了极致，它处理的是关于无限、逼近和变化的数学语言，这些概念在现代科学的许多领域都扮演着至关重要的角色。当我看到这本书的标题时，我便立刻被吸引住了。我预设这本书会以一种非常严谨、系统的视角来阐述分析学的基础理论。我期待作者能够像一位经验丰富的向导，带领我深入探索实数空间的性质，理解序列和级数的收敛性，以及函数的连续性、可微性和可积性等核心概念。我希望书中提供的证明不仅是逻辑的堆砌，更能蕴含着深刻的数学思想，让我能够从中领悟到数学家们是如何思考和构建这些理论的。此外，我也希望这本书能够提供一些练习题，这些题目能够帮助我巩固所学知识，并挑战我的理解深度，让我能够将理论知识运用到实际问题的解决中。这本书对我而言，不仅是一本学习工具，更是一种精神的洗礼，我希望通过它，能够培养出更加敏锐的数学直觉和更强的分析能力。

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